1、第九章 直线、平面、简单几何体网络体系总览直线平面与简单几何体空 间 两条 直 线平 面空 间 两 个 平 面空 间 向 量简 单 几 何 体空 间 向 量 及 有 关 概 念棱 柱空 间 向 量 的 运 算 及 运 算 律棱 锥空 间 向 量 的 坐 标 运 算多 面 体 和 正 多 面 体空 间 直 线 与 平 面平 行 直 线线 在 面 内线 面 平 行线 面 相 交平 行 公 理定 义等 角 定 理判 定 所 成 的 角 、 距 离判 定 定 理性 质 定 理判 定 (性 质 )定 理判 定 (性 质 )定 理直 交斜 交直 交两 平 面 间 距 离二 面 角 及 平 面 角斜 交平
2、行相 交异 面 直 线相 交 直 线平 面 的 概 念 、 性 质 、 表 示 、 画 法线 面 间 距 离 三 垂 线 定 理 , 线 面 成 角判 定 (性 质 )定 理 ,点 到 面 的 距 离球、考点目标定位1.直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.2.线线、线面、面面的平行与垂直的判定和性质，三垂线定理.3.两条异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角.4.点到平面的距离，线面距离，平行平面的距离，异面直线的距离，两点间的球面距离.5.空间向量及其加法、减法，空间向量的坐标表示，空间向量的数量积.6.直棱柱、平行六面体及正棱锥的性质，球的体积及表面积的计算.复习方
3、略指南1.立体几何不外乎两大问题，一类是空间位置关系的论证，这类问题应熟练掌握公理、定理、定义或用空间向量来论证，位置关系的论证要注意其间的转化.如线面平行可转化为线线平行等；另一类问题是空间量（空间角、距离、体积、侧面积）的计算，如线面角、二面角的求解.2.立体几何在高考中，选择题、填空题一般出中等难度的题，解答题中可能会有难题.3.归纳总结，理线串点，从知识上可分为：（1）平面的基本性质；（2）两个特殊的位置关系，即线线、线面、面面的平行与垂直；（3）三个角、三个距离.根据每部分内容选择典型的例题，总结出解题方法，对于空间位置关系的论证及空间角与距离的求解，还要注意把空间向量贯彻、渗透其中
4、，通过一题多解，使学生把所学知识真正学活、会用.4.抓主线攻重点，可以针对一些重点内容进行训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、距离均与线面垂直密切相关.因此对于这部分内容复习中要强化，并要注意用空间向量去解空间位置关系及空间量的求解.5.复习中要加强数学思想方法的总结与提炼，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，如割补思想、降维转化思想即化空间问题到平面图形中去解决，又如证线面间的位置关系常需经过多次转换才能获得解决，又如可把空间位置关系及空间量的求解转化为空间向量的运算，这些无不体现着化归转化的思想.因此自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍
5、的效果.9.1 平面、空间两条直线知识梳理1.平面的基本性质，即三个公理及推论.2.公理 4 及等角定理.3.空间两条直线的位置关系有且只有三种，即平行、相交及异面.4.两条异面直线所成的角及距离，求作异面直线所成的角时，往往取题中的特殊点.点击双基1.若 a，b 是异面直线，则只需具备的条件是A.a 平面 ，b 平面 ， a 与 b 不平行B.a 平面 ，b 平面 ， =l，a 与 b 无公共点C.a直线 c， bc= A，b 与 a 不相交D.a平面 ，b 是 的一条斜线答案：C2.如 下 图 ， 直 线 a、 b 相 交 于 点 O 且 a、 b 成 60角 ， 过 点 O 与 a、 b
6、 都 成 60角 的 直 线有O60abA.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条解析：在 a、b 所确定的平面内有一条，平面外有两条.答案：C3.（2004 年北京朝阳区模拟题）如下图，正四面体 SABC 中，D 为 SC 的中点，则BD 与 SA 所成角的余弦值是A BCDESA. B. C. D.3326362解析：取 AC 的中点 E，连结 DE、BE，则 DESA， BDE 就是 BD 与 SA 所成的角.设 SA=a，则 BD=BE= a，DE= a，cos BDE = = .21DEB223答案：C4.如下图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a， 那么AA D B
7、 CB CD111 1（1）哪些棱所在直线与直线 BA1 成异面直线？_.（2）直线 BA1 与 CC1 所成角的大小为 _.（3）直线 BA1 与 B1C 所成角的大小为_.（4）异面直线 BC 与 AA1 的距离为_.（5）异面直线 BA1 与 CC1 的距离是 _.答案：（1）D 1C1、D 1D、C 1C、C 1B1、DC、AD （2）45 （3）60 （4）a （5）a5.（2002 年全国）正六棱柱 ABCDEFA1B1C1D1E1F1 的底面边长为 1，侧棱长为 ，2则这个棱柱的侧面对角线 E1D 与 BC1 所成的角是_.解析：连结 FE1、FD ，则由正六棱柱相关性质可得 F
8、E1BC 1，在EFD 中，EF =ED=1， FED=120，FD= = .o20cs22F3在 EFE1 和 EE1D 中 ， 易 得 E1F=E1D= = ， E1FD 是 等 边 三 角 形 ，1)(2FE 1D=60.而FE 1D 即为 E1D 与 BC1 所成的角.答案：60说明：本题主要考查正六棱柱的性质及异面直线所成角的求法.典例剖析【例 1】 如下图，四面体 ABCD 中，E、G 分别为 BC、AB 的中点，F 在 CD 上，H在 AD 上，且有 DFFC=2 3，DHHA =23.求证：EF、GH、BD 交于一点. AB C DE FG H O证明：连结 GE、HF，E、G
9、 分别为 BC、AB 的中点，GEAC.又DFFC=23，DHHA=2 3，HFAC .GEHF.故 G、E、F 、 H 四点共面.又EF 与 GH 不能平行，EF 与 GH 相交，设交点为 O.则 O面 ABD，O面 BCD，而平面 ABD平面 BCD=BD.EF、GH、BD 交于一点.评述：证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线.【例 2】 A 是BCD 平面外的一点，E、F 分别是 BC、AD 的中点，CAB DE FG（1）求证：直线 EF 与 BD 是异面直线；（2）若 ACBD，AC=BD，求 EF 与 BD 所成的角.（1）证明：用
10、反证法.设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，从而 DF 与 BE共面，即 AD 与 BC 共面，所以 A、B、C 、D 在同一平面内，这与 A 是BCD 平面外的一点相矛盾.故直线 EF 与 BD 是异面直线.（2）解：取 CD 的中点 G，连结 EG、FG，则 EGBD，所以相交直线 EF 与 EG 所成的锐角或直角即为异面直线 EF 与 BD 所成的角.在 RtEGF 中，求得FEG=45，即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45.特别提示证明两条直线是异面直线常用反证法；求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为 90；若
11、不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）证算”.注意，异面直线所成角的范围是（0， .2【例 3】 长方体 ABCDA1B1C1D1 中，已知 AB=a，BC=b，AA 1=c，且 ab，求：（1）下列异面直线之间的距离：AB 与 CC1；AB 与 A1C1；AB 与 B1C.（2）异面直线 D1B 与 AC 所成角的余弦值.（1）解：BC 为异面直线 AB 与 CC1 的公垂线段，故 AB 与 CC1 的距离为 b.AA1 为异面直线 AB 与 A1C1 的公垂线段，故 AB 与 A1C1 的距离为 c.过 B 作 BEB 1C，垂足为 E，则 BE 为异面直线 AB 与 B1C 的
12、公垂线，BE= = ，即 AB 与B12B1C 的距离为 .2cbA A B B C C D D 11 11 EF O（2）解法一：连结 BD 交 AC 于点 O，取 DD1 的中点 F，连结 OF、AF，则OFD 1B，AOF 就是异面直线 D1B 与 AC 所成的角.AO= ，OF= BD1= ，AF= ，2ba2cba24cb在AOF 中，cos AOF= = .OFA22 )(22cba解法二：如下图，在原长方体的右侧补上一个同样的长方体，连结 BG、D 1G，则ACBG ，D 1BG（或其补角）为 D1B 与 AC 所成的角 .A A B B C C D GD 11 11BD1= ，
13、BG= ，D 1G= ，22cba2ba24ca在D 1BG 中，cosD 1BG= = ，故1 )(222cba所求的余弦值为 .)(222cba深化拓展利用中位线平移和利用补形平移是处理长方体中异面直线所成角的重要方法.闯关训练夯实基础1.两条相交直线 l、m 都在平面 内且都不在平面 内.命题甲：l 和 m 中至少有一条与 相交，命题乙：平面 与 相交，则甲是乙的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.非充分非必要条件解 析 ： 若 l 和 m 中 至 少 有 一 条 与 相 交 ， 不 妨 设 l =A， 则 由 于 l ， A .而A ， 与 相 交 .反 之 ， 若
14、 =a， 如 果 l 和 m 都 不 与 相 交 ， 由 于 它 们 都 不 在 平面 内 ，l 且 m .la 且 ma，进而得到 lm，与已知 l、m 是相交直线矛盾.因此l 和 m 中至少有一条与 相交.答案：C2.（2004 年天津，6）如下图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 是底面ABCD 的中心，E、F 分别是 CC1、AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD1 所成的角的余弦值等于AA D B CB CD111 1OEFA. B. C. D.510515432解法一：取面 CC1D1D 的中心为 H，连结 FH、D 1H.在FHD 1 中，FD1= ，
15、FH= ，D 1H= .2532由余弦定理，得D 1FH 的余弦值为 .51解法二：取 BC 的中点 G.连结 GC1FD 1，再取 GC 的中点 H，连结 HE、OH ，则OEH 为异面直线所成的角.在OEH 中， OE= ，HE= ，OH = .234由余弦定理，可得 cosOEH= .51答案：B3.如下图，四面体 ABCD 中，E、F 分别是 AC、BD 的中点，若CD=2AB=2，EFAB，则 EF 与 CD 所成的角等于_.A BCD EFG解析：取 AD 的中点 G，连结 EG、FG ，易知 EG=1，FG= .21由 EFAB 及 GFAB 知 EFFG.在 Rt EFG 中，
16、求得GEF=30，即为 EF 与 CD 所成的角.答案：304.（2003 年上海）在正四棱锥 PABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为 60，则异面直线 PA 与 BC 所成角的大小等于_.（结果用反三角函数值表示）答案：arctan25.如下图，设不全等的ABC 与A 1B1C1 不在同一平面内，且AB A1B1，BCB 1C1，CAC 1A1. SAABBCC1 11求证：AA 1、BB 1、CC 1 三线共点.证明：不妨设 ABA 1B1，AA 1BB 1=S，BCB 1C1，BB 1 面 BCC1B1，S面BBC1B1.同理， S面 ACC1A1.SCC 1，即 AA1、BB
17、1、CC 1 三线共点于 S.6.在三棱锥 ABCD 中，AD=BC=2a，E、F 分别是 AB、CD 的中点，EF= a，求3AD 与 BC 所成的角.BCDAE F M解：取 AC 的中点 M，连结 ME、MF ，则 MEBC，MFAD ，所以EMF（或其补角）是直线 AD 与 BC 所成的角.在EMF 中，ME= BC=a， MF= AD=a，EF= a，cos EMF =21213= ，EMF=120，因此异面直线 AD 与 BC 所成的角为 60.3培养能力7.如下图，在三棱锥 PABC 中，AB=AC ，PB=PC ，E、 F 分别是 PC 和 AB 上的点且PE EC=AF FB
18、=32.CEPBFA（1）求证：PABC；（2）设 EF 与 PA、BC 所成的角分别为 、 ，求证： + =90.证明：（1）取 BC 的中点 D，连结 AD、PD .A DB CPGFE则 BC平面 ADP，AP 平面 ADP，APBC.（2）在 AC 上取点 G，使 AGGC=3 2，连结 EG、FG，则 EGPA，FGBC，从而EGF 为 PA 与 BC 所成的角，由（1）知EGF=90，而GEF、GFE 分别是 EF与 PA、EF 与 BC 所成的角 、 ， + =90.8.如下图，设ABC 和A 1B1C1 的三对对应顶点的连线 AA1、BB 1、CC 1 相交于一点O，且 = =
19、 = .试求 的值.1AB1O321ASAABBCC1 11O解：依题意，因为 AA1、BB 1、CC 1 相交于一点 O，且 = = ，所以1A1OCAB A1B1，A C A1C1， BC B1C1.由 平 移 角 定 理 得 BAC= B1A1C1， ABC= A1B1C1， ABCA 1B1C1，所以 =（ ） 2= .1CBAS394说明：利用平移定理，可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等；利用平行公理，可证明空间两条直线平行，从而解决相关问题.探究创新9.如下图，已知空间四边形 ABCD 的对角线 AC=10，BD=6，M、N 分别是 AB、CD 的中点，MN=7，求异面直线
20、 AC 与 BD 所成的角.BCDAM N E 3 5 7解：取 BC 的中点 E，连结 EN、EM，MEN 是异面直线 AC 与 BD 所成的角或其补角.在EMN 中，EN= =3，EM= =5，MN=7，cos MEN= ，MEN=120.2BD2A21异面直线 AC 与 BD 所成的角是 60.思悟小结1.本节重点问题是证明三点共线、三线共点以及求异面直线所成的角.2.证明三点均在两个平面的交线上，可以推证三点共线；求异面直线所成的角，一般先取一个特殊点作它们的平行线，作出所求的角或其补角，再解三角形.教师下载中心教学点睛首先要使学生掌握本节的重点内容：平面的基本性质、异面直线的定义及判
21、断、异面直线所成的角，其次结合例题讲清求异面直线所成的角的方法步骤.拓展题例【例 1】 设异面直线 a 与 b 所成的角为 50，O 为空间一定点，试讨论，过点 O 与a、b 所成的角都是 （0 90）的直线 l 有且仅有几条?解 ： 过 点 O 作 a1 a， b1 b， 则 相 交 直 线 a1、 b1 确 定 一 平 面 .a1 与 b1 夹 角 为 50或130， 设 直 线 OA 与 a1、 b1 均 为 角 ， 作 AB 面 于 点 B， BC a1 于 点 C， BD b1 于 点D， 记 AOB= 1， BOC= 2（ 2=25或 65） ， 则 有 cos =cos 1cos
22、 2.因 为 0 1 90， 所 以0 cos cos 2.当 2=25时，由 0cos cos25，得 25 90 ；当 2=65时，由 0cos cos65，得 65 90 .故当 25时，直线 l 不存在；当 =25时，直线 l 有且仅有 1 条；当 25 65时，直线 l 有且仅有 2 条；当 =65时，直线 l 有且仅有 3 条；当 65 90时，直线 l 有且仅有 4 条；当 =90时，直线 l 有且仅有 1 条.说明：异面直线所成的角就是选点、平移后的平面角.上述解答首先将问题转化为：求过点 O 与 a1、b 1 均成 角的直线的条数，进而通过讨论 的范围去确定直线 l 的条数.
23、【例 2】 已知空间四边形 ABCD，E、H 分别是 AB、AD 的中点，F、G 分别是边BC、DC 的三等分点（如下图） ，求证： AB CDHGFE（1）对角线 AC、BD 是异面直线；（2）直线 EF 和 HG 必交于一点，且交点在 AC 上.证明：（1）假设对角线 AC、 BD 在同一平面 内，则 A、B、C、D 都在平面 内，这与 ABCD 是空间四边形矛盾，AC、BD 是异面直线.（2）E、H 分别是 AB、AD 的中点， EH BD.21又 F、G 分别是 BC、DC 的三等分点，FG BD.EHFG ，且 EHFG.3FE 与 GH 相交.设交点为 O，又 O 在 GH 上，GH 在平面 ADC 内，O 在平面 ADC 内.同理，O 在平面 ABC 内.从而 O 在平面 ADC 与平面 ABC 的交线 AC 上.
