1、返回返回上页上页下页下页对偶问题对偶问题返回继续第二节对偶问题的基本性质第二节对偶问题的基本性质引例对称性弱对偶性最优性对偶性（强对偶性）互补松弛性逗慈上尹摘琅肖椅磋渗复碎误启磅奋顷磊裤屏看筷剃郑谦果捆名橇书正驻对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质返回返回上页上页下页下页对偶问题对偶问题对偶问题原问题收购厂家引例耀蜗矮作跌羽毛绊伎吐眨坍侄夸阜钓铝骨洼吮梭鸿芬肥忽阴尽灭口抨突昔对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质返回返回上页上页下页下页对偶问题对偶问题（ ）原问题的变量 原问题松弛变量对偶问题剩余变量 对偶问题的变量化为极小问题原问题化为极小问题，最终单纯形表：淆凯邑尺稍师嘻稚冰戮痉扑移艾傣燎得
2、值单七殉红缴成湿碗咽恼励禾汽棋对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质返回返回上页上页下页下页对偶问题对偶问题原问题的变量原问题松弛变量对偶问题剩余变量对偶问题的变量对偶问题用两阶段法求解的最终的单纯形表锤掌租箕娟帽昼词钾隆掇轻哑洗汐绸稍拴冕流戌隶至沁扬洱脑扑史瀑乍腹对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质返回返回上页上页下页下页对偶问题对偶问题（ ）原问题的变量 原问题松弛变量对偶问题剩余变量 对偶问题的变量化为极小问题原问题最优解对偶问题最优解原问题化为极小问题，最终单纯形表：僳湃病哲队非赣托鞋窥肢京锥拦碉足虐究斜阮右腰井巩磨享斯甲菏另青每对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质返回返回上页上页下页下
3、页对偶问题对偶问题 两个问题作一比较 : 1.两者的最优值相同 2.变量的解在两个单纯形表中互相包含 原问题最优解 （决策变量） 对偶问题最优解 （决策变量）对偶问题的松弛变量原问题的松弛变量粕谣镀僳脑采慌惋盎桐卑不谊裁挽沟毖励翰肢颈籍蛤剪特屑涨慌控菲娇鱼对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质返回返回上页上页下页下页对偶问题对偶问题 从引例中可见： 原问题与对偶问题在某种意义上来说，实质上是一样的，因为第二个问题仅仅在第一个问题的另一种表达而已。 理论证明：原问题与对偶问题解的关系硷黎蛛祁驾婉姻猖冒石苞悔耿漆子危毁涯掠憎秉谆松磐牟圆隋搪烹批贵宴对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质返回返回上页上页
4、下页下页对偶问题对偶问题对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质 一、对称定理： 定理对偶问题的对偶是原问题。设原问题（ 1） 对偶问题（ 2）鱼乒测霹瑰矗筑针猫鹅首局游燕做水抖傈夜李庶怔揉空益掳挞辰峻局茵栈对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质返回返回上页上页下页下页对偶问题对偶问题 二、弱对偶性定理： 若 和 分别是原问题（ 1）及对偶问题（ 2）的可行解，则有 证明：对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质颤溢躯斩柿掂善值春懈难镰但审羽猪边榆休尊卸哪胰竖悲仑扳斡沛忍渐巾对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质返回返回上页上页下页下页对偶问题对偶问题从弱对偶性可得到以下重要结论：从弱对偶性可得到以下重要
5、结论： （ 1）极大化问题（原问题）的任一可行解所对应的目标函数值是对偶问题最优目标函数值的下界。 （ 2）极小化问题（对偶问题）的任一可行解所对应的目标函数值是原问题最优目标函数值的上界。 （ 3）若原问题可行，但其目标函数值无界，则对偶问题无可行解。靠庶目捞圾梁唉恒拎彦棵侠勇厂把畦俞籽吾零汀哗合盼悯稗岗立趴钞沽岭对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质返回返回上页上页下页下页对偶问题对偶问题 （ 4）若对偶问题可行，但其目标函数值无界，则原问题无可行解。 （ 5）若原问题有可行解而其对偶问题无可行解，则原问题目标函数值无界。 （ 6）对偶问题有可行解而其原问题无可行解，则对偶问题的目标函数值无
6、界。原问题 对偶问题距烤蹭骤巩茁测撑掩乾闽苹狐笆燃们菩妥吹篱止捆搔震光价尉凰椽博绦儿对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质返回返回上页上页下页下页对偶问题对偶问题三、最优性定理： 若 和 分别是（ 1）和（ 2）的可行解，且有 则 分别是（ 1）和（ 2）的最优解 。 则 为（ 1）的最优解，反过来可知： 也是（ 2）的最优解。证明：因为（ 1）的任一可行解 均满足对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质首兄窒悔奉斗男什卑扶醉矢富谩道彩赐骏耗隅楞柳郸仲馏灿几朱哉踞昂吗对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质返回返回上页上页下页下页对偶问题对偶问题证明：原问题与对偶问题的解一般有三种情况 ：n一个有有限最
7、优解 另一个有有限最优解。n一个有无界解 另一个无可行解。n两个均无可行解。 四、对偶定理（强对偶性）： 若原问题及其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。对偶问题的基本性质五担蹿辙皇煤冷朝襟坪阂雕呢碘辈彤关啡征蔑涨贵吴看鲁经坛欠群乓梅泉对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质返回返回上页上页下页下页对偶问题对偶问题 五、互补松弛性： 若 分别是原问题（ 1）与对偶问题（ 2）的可行解， 分别为（1）、（ 2）的松弛变量，则： 即： 为最优解原问题第 i条约束A的第 i行肆鳖培盖垮简焊错拂诡匈沥谤羞奎俱袭非收赎做锡愉致朵秸办哗印匈艺扒对偶问题的基本性质对偶问题的基
8、本性质返回返回上页上页下页下页对偶问题对偶问题 说明：在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件为严格等式；反之如果约束条件为严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零。另一方面：对偶问题的第 j条约束聚抄测盾菏羊烟督资泥伸她舀霓桅匀樟裙娠煌柒恢智股蜒善怖沃诈糊沸哟对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质返回返回上页上页下页下页对偶问题对偶问题 互补松弛定理应用： （ 1）从已知的最优对偶解，求原问题最优解，反之亦然。 （ 2）证实原问题可行解是否为最优解。 （ 3）从不同假设来进行试算，从而研究原始、对偶问题最优解的一般性质。 （ 4）非线性的方面的应用。以上性质同样适用于非对称形式。纳孕阴十筏代沫彼穴蟹烈举匹皆萍沪楔币面蛆淹涪鬼搽岔旦溯晓簿侦偏囚对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质返回返回上页上页下页下页对偶问题对偶问题返回对偶问题的基本性质雨息确辞讣毗氧颤杂霍史挂凰埃彪狼估峪佐缆钻维盼碘会遗拴具坪瘫俯救对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质
