1、第一章 随机事件和概率 （1）排列组合公式从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个
2、试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母 A， B， C， 表示事件，它们是 的子集。为必然事件， 为不可能事件。
3、不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算关系：如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（ A 发生必有事件 B 发生）：如果同时有 ， ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B： A=B。A、 B 中至少有一个发生的事件： A B，或者 A+B。属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表示为 A-AB 或者 ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。A、 B 同时发生： A B，或者 AB。A B=，则表示 A 与
4、 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C分配率：(AB)C=(AC) (B C) (AB)C=(AC)(BC)德摩根率： ， （7）概率的公理化定义设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：1 0P(A)1，2 P() =13 对于两两互不相容的事件 ， ，有常称为可列（完全）可加性。则称 P(A)为事件 的概率。（8）古典概型1 ，2 。设任一事件
5、 ，它是由 组成的，则有P(A)= =（9）几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A= 时，P( )=1- P(B)（12）条件概率定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称 为事件 A 发生条件下，事件
6、 B 发生的条件概率，记为 。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式：更一般地，对事件 A1，A 2，A n，若 P(A1A2An-1)0，则有 。（14）独立性两个事件的独立性 设事件 、 满足 ，则称事件 、 是相互独立的。若事件 、 相互独立，且 ，则有若事件 、 相互独立，则可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立。必然事件 和不可能事件 与任何事件都相互独立。 与任何事件都互斥。多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)； P(BC)=P(B
7、)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、B、C 相互独立。对于 n 个事件类似。（15）全概公式设事件 满足1 两两互不相容， ，2 ，则有。（16）贝叶斯公式设事件 ， ， 及 满足1 ， ， ， 两两互不相容， 0， 1，2 ， ， ，2 ， ，则，i=1，2，n。此公式即为贝叶斯公式。，（ ， ， ），通常叫先验概率。 ，（ ， ， ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯努利概型我们作了 次试验，且满足u 每次试验只有两种可能结果， 发生或 不发生； u 次试验是重复进
8、行的，即 发生的概率每次均一样；u 每次试验是独立的，即每次试验 发生与否与其他次试验 发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为 重伯努利试验。用 表示每次试验 发生的概率，则 发生的概率为 ，用 表示 重伯努利试验中 出现 次的概率， 。第二章 随机变量及其分布 （1）离散型随机变量的分布律设离散型随机变量 的可能取值为 Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk，k=1,2, ，则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：。显然分布律应满足下列条件：（1） ， ， （2） 。（2）连续型随机变量的分布密度设
9、是随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，对任意实数 ，有， 则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质：1 。2 。（3）离散与连续型随机变量的关系积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。（4）分布函数设 为随机变量， 是任意实数，则函数称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。可以得到 X 落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间（ ，x内的概率。分布函数具有如下性质：1 ；2 是单调不减的函数，即 时，有 ；3 ， ；4 ，即 是右连续的；5 。对于离散型随机变量， ；
10、对于连续型随机变量， 。0-1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q二项分布 在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量，设为 ，则 可能取值为 。， 其中 ，则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为 。当 时， ， ，这就是（0-1）分布，所以（ 0-1）分布是二项分布的特例。泊松分布 设随机变量 的分布律为， ， ，则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者 P( )。泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n ）。（5）八大分布超几何分布 随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。几何分布 ，其中 p0，q=1
11、-p。随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。均匀分布 设随机变量 的值只落在a，b内，其密度函数 在a ，b上为常数 ，即axb其他，则称随机变量 在a，b上服从均匀分布，记为 XU(a，b)。分布函数为axb0， xb。当 ax1x1 时，有 F（x 2,y）F(x 1,y);当 y2y1 时，有 F(x,y2) F(x,y1);（3）F （ x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即（4）（5）对于.（4）离散型与连续型的关系离散型 X 的边缘分布为；Y 的边缘分布为。（5）边缘分布连续型 X 的边缘分布密度为Y 的边缘分布密度为离散型 在已知 X=xi 的条件下，Y
12、取值的条件分布为在已知 Y=yj 的条件下，X 取值的条件分布为（6）条件分布连续型 在已知 Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为；在已知 X=x 的条件下， Y 的条件分布密度为一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型 有零不独立连续型 f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布 0（7）独立性随机变量的函数 若 X1,X2,Xm,Xm+1,Xn 相互独立， h,g 为连续函数，则：h（X 1，X 2,Xm）和 g（X m+1,Xn）相互独立。特例：若 X 与 Y 独立，则：h（X）和 g（Y ）独立。例如：若 X 与 Y 独立
13、，则：3X+1 和 5Y-2 独立。（8）二维均匀分布设随机向量（X，Y ）的分布密度函数为其中 SD 为区域 D 的面积，则称（X，Y）服从 D 上的均匀分布，记为（X，Y）U（D ）。例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。y 1D1 O 1 x 图 3.1y D2 11O 2 x 图 3.2y D3 d c O a b x 图 3.3（9）二维正态分布设随机向量（X，Y ）的分布密度函数为其中 是 5 个参数，则称（ X，Y）服从二维正态分布，记为（X，Y） N（由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 XN（但是若 XN（ ， (X，Y)未必是二维正态
14、分布。Z=X+Y 根据定义计算：对于连续型，f Z(z)两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ ）。n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。， Z=max,min(X1,X2,Xn)若 相互独立，其分布函数分别为 ，则 Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函数为：（10）函数分布分布 设 n 个随机变量 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和的分布密度为我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的 分布，记为 W ，其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。分布满足可加性：设则t 分布 设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，且可以证明
15、函数的概率密度为我们称随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布，记为 Tt(n)。F 分布 设 ，且 X 与 Y 独立，可以证明 的概率密度函数为我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1，第二个自由度为 n2 的F 分布，记为 Ff(n 1, n2).第四章 随机变量的数字特征离散型 连续型期望期望就是平均值设 X 是离散型随机变量，其分布律为P( )p k，k=1,2,n，（要求绝对收敛）设 X 是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，（要求绝对收敛）函数的期望 Y=g(X)Y=g(X)（1）一维随机变量的数字特征方差D(X)=EX-E(X)2，标准差， 矩 对于正整数 k，称随机变
16、量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩，记为 vk,即k=E(Xk)= , k=1,2, .对于正整数 k，称随机变量 X 与E（X）差的 k 次幂的数学期望为 X 的k 阶中心矩，记为 ，即= ， k=1,2, .对于正整数 k，称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩，记为 vk,即k=E(Xk)=k=1,2, .对于正整数 k，称随机变量 X 与E（X）差的 k 次幂的数学期望为 X 的 k阶中心矩，记为 ，即=k=1,2, .切比雪夫不等式 设随机变量 X 具有数学期望 E（X ）= ，方差 D（X）= 2，则对于任意正数 ，有下列切比雪夫不等式切
17、比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布的情况下，对概率的一种估计，它在理论上有重要意义。（2）期望的性质（1） E(C)=C（2） E(CX)=CE(X)（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；充要条件：X 和 Y 不相关。（3）方差的性质（1） D(C)=0；E(C)=C（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b（4） D(X)=E(X2)-E2(X)（5） D(XY)=D(X)+D(Y)，充分条件： X 和 Y 独立；充要条件：X 和
18、Y 不相关。D(XY)=D(X)+D(Y) 2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。期望 方差0-1 分布 p 二项分布 np 泊松分布 几何分布 超几何分布 均匀分布 指数分布 正态分布 n 2n（4）常见分布的期望和方差t 分布 0 (n2)期望 函数的期望 方差 协方差 对于随机变量 X 与 Y，称它们的二阶混合中心矩 为 X 与 Y 的协方差或相关矩，记为 ，即与记号 相对应，X 与 Y 的方差 D（X）与 D（Y）也可分别记为 与 。（5）二维随机变量的数字特征相关系数 对于随机变量 X 与 Y，如果 D（X）0, D(Y)0，
19、则称为 X 与 Y 的相关系数，记作 （有时可简记为 ）。| |1，当| |=1 时，称 X 与 Y 完全相关：完全相关而当 时，称 X 与 Y 不相关。以下五个命题是等价的： ；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵 混合矩 对于随机变量 X 与 Y，如果有 存在，则称之为 X 与 Y 的 k+l 阶混合原点矩，记为 ； k+l 阶混合中心矩记为：（6）协方差的性质(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X1+X2
20、, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7）独立和不相关（i） 若随机变量 X 与 Y 相互独立，则 ；反之不真。（ii） 若（X，Y）N（ ），则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 和 Y 不相关。第五章 大数定律和中心极限定理切比雪夫大数定律设随机变量 X1，X 2，相互独立，均具有有限方差，且被同一常数 C 所界：D（ Xi）C(i=1,2,), 则对于任意的正数 ，有特殊情形：若 X1，X 2，具有相同的数学期望 E（X I）=，则上式成为（1）大数定律伯努利大 设 是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数，p
21、是事件 A 在每次试验中发数定律 生的概率，则对于任意的正数 ，有伯努利大数定律说明，当试验次数 n 很大时，事件 A 发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律设 X1，X 2，X n， 是相互独立同分布的随机变量序列，且 E（X n）=，则对于任意的正数 有列维林德伯格定理设随机变量 X1，X 2，相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差： ，则随机变量的分布函数 Fn(x)对任意的实数 x，有此定理也称为独立同分布的中心极限定理。（2）中心极限定理棣莫弗拉普拉斯定理设随机变量 为具有参数 n, p(0p1)的二项分布，则对于任
22、意实数 x,有（3）二项定理 若当 ，则超几何分布的极限分布为二项分布。（4）泊松定理 若当 ，则其中 k=0，1 ，2，n，。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章 样本及抽样分布总体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。（1）数理统计的基本概念个体 总体中的每一个单元称为样品（或个体）。样本 我们把从总体中抽取的部分样品 称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用 n 表示。在一般情况下，总是把样本看成是 n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次
23、抽取的结果时， 表示 n 个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后， 表示 n 个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。样本函数和统计量设 为总体的一个样本，称（ ）为样本函数，其中 为一个连续函数。如果 中不包含任何未知参数，则称 （ ）为一个统计量。常见统计量及其性质样本均值 样本方差 样本标准差 样本 k 阶原点矩 样本 k 阶中心矩， ， ,其中 ，为二阶中心矩。正态分布 设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数t 分布 设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数其中 t(n-1)表示自由度为 n-1 的 t 分布。设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数其中 表示自由度为
24、 n-1 的 分布。（2）正态总体下的四大分布F 分布 设 为来自正态总体 的一个样本，而 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数其中表示第一自由度为 ，第二自由度为 的 F 分布。（3）正态总体下分布的性质与 独立。第七章 参数估计矩估计 设总体 X 的分布中包含有未知数 ，则其分布函数可以表成 它的 k 阶原点矩 中也包含了未知参数 ，即 。又设 为总体 X 的 n 个样本值，其样本的 k 阶原点矩为这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有由上面的 m 个方程中，解出的 m 个未知参数 即为参数（ ）的矩估计量。若 为 的矩估计， 为连续函数，则
25、为 的矩估计。（1）点估计极大似然估计当总体 X 为连续型随机变量时，设其分布密度为 ，其中 为未知参数。又设 为总体的一个样本，称为样本的似然函数，简记为 Ln. 当总体 X 为离型随机变量时，设其分布律为 ，则称为样本的似然函数。若似然函数 在 处取到最大值，则称 分别为 的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。若 为 的极大似然估计， 为单调函数，则 为 的极大似然估计。（2）估计量的评选无偏性 设 为未知参数 的估计量。若 E （ ）= ，则称 为 的无偏估计量。E（ ）=E（X）， E（S 2）=D（X）有效性 设 和 是未知参数 的两个无偏估计量。若 ，则称 有效。标准一
26、致性 设 是 的一串估计量，如果对于任意的正数 ，都有则称 为 的一致估计量（或相合估计量）。若 为 的无偏估计，且 则 为 的一致估计。只要总体的 E(X)和 D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。置信区间和置信度设总体 X 含有一个待估的未知参数 。如果我们从样本 出发，找出两个统计量 与 ，使得区间 以 的概率包含这个待估参数 ，即那么称区间 为 的置信区间， 为该区间的置信度（或置信水平）。设 为总体 的一个样本，在置信度为 下，我们来确定 的置信区间 。具体步骤如下：（i）选择样本函数；（ii）由置信度 ，查表找分位数；（iii）导出置信区间 。已知方差
27、，估计均值 （i）选择样本函数(ii) 查表找分位数（iii）导出置信区间（3）区间估计单正态总体的期望和方差的区间估计未知方差，估计均值 （i）选择样本函数(ii)查表找分位数（iii）导出置信区间方差的区间估计 （i）选择样本函数（ii）查表找分位数（iii）导出 的置信区间第八章 假设检验基本思想 假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。为了检验一个假设 H0 是否成立。我们先假定 H0 是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定 H0 是不正确的，我们拒绝接受 H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝
28、接受 H0，我们称 H0 是相容的。与 H0 相对的假设称为备择假设，用 H1 表示。这里所说的小概率事件就是事件 ，其概率就是检验水平 ，通常我们取 =0.05，有时也取 0.01 或 0.10。基本步骤 假设检验的基本步骤如下：(i) 提出零假设 H0；(ii) 选择统计量 K；(iii) 对于检验水平 查表找分位数 ；(iv) 由样本值 计算统计量之值 K；将 进行比较，作出判断：当 时否定 H0，否则认为 H0 相容。第一类错误 当 H0 为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定 H0。这时，我们把客观上 H0 成立判为 H0 为不成立（即否定了真实的假设），称
29、这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记 为犯此类错误的概率，即P否定 H0|H0 为真= ；此处的 恰好为检验水平。两类错误第二类错误 当 H1 为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则，应当接受 H0。这时，我们把客观上 H0。不成立判为 H0 成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记 为犯此类错误的概率，即P接受 H0|H1 为真= 。两类错误的关系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量 n 一定时，变小，则 变大；相反地， 变小，则 变大。取定 要想使 变小，则必须增加样本容量。在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平 。 大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可 “以假为真”、而不愿“以真当假”时，则应把 取得很小，如 0.01，甚至 0.001。反之，则应把 取得大些。单正态总体均值和方差的假设检验条件 零假设 统计量对应样本函数分布否定域已知N（0，1）未知未知
