1、182 双曲线方程及性质一、明确复习目标1掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质;2理解 a,b,c,e,等参数的几何意义及关系二建构知识网络1双曲线定义：(1)到两个定点 F1 与 F2 的距离之差的绝对值等于定长（ |F1F2|）的点的轨迹（ 为常数）这两个定点叫双曲线的焦点21aP(2)动点到一定点 F 的距离与它到一条定直线 l 的距离之比是常数 e(e1) 时，这个动点的轨迹是双曲线 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j这定点叫做双曲线的焦点，定直线 l 叫做双曲线的准线M2M11 PK2K1A1 A2 F2F1 Oyx2标准方程 =1，c= ，焦点是：ax2by2baF1
2、（c ，0）， F2（c ，0） =1，c = ，焦点是：2aybx2baF1（0，c） 、F 2（0，c ）(图形略)3双曲线的几何性质：范围; 对称轴,对称中心; 顶点;焦点; 准线方程; 离心率; 渐近线方程( 以上可参见课本)焦准距 ；准线间距 ;通径长 ;cbp2ca22ba焦半径公式中符号复杂：建议直接利用第二定义推算 4等轴双曲线， ,a=b,离心率 ,两渐近线互相垂直，分别为 y= ;2yx2e x5共轭双曲线： 有共同的渐近线,相等的焦半径226 渐近线为 即 的双曲线方程可设为 ( ，焦xaby0y 2byax0点在 x 轴上， ，焦点在 y 轴上）07 中结合定义 与余弦
3、定理可推得，21FPaPF2112cotFSb当焦点在 y 轴上时，标准方程及相应性质（略）8从题型与与方法上本节将附带参数取值范围及最值问题,常用的方法有： 法, 目标函数法, 不等式法 ,几何法,向量法等三、双基题目练练手1 (2006 春上海 )若 ，则“ ”是“方程 表示双曲线”的( )Rk3k132kyxA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2 (2006 天津 )如果双曲线的两个焦点分别为 、 ，一条渐近线方)0,(1F),(2程为 ，那么它的两条准线间的距离是（ ）xyA B C D 36423 （ 2006 浙江）若双曲线 上的点到左准线的距离是到
4、左焦点距离的 ，1ymx 31则 ( )mA B C D21238894 (2005 北京)已知双曲线的两个焦点为 ， ，P 是此双曲线上的)0,5(1F),(2一点，且 ， ，则该双曲线的方程是（ ）21PF2|1A B C D32yx32yx142yx142yx5 （ 2004 全国 II）设中心在原点的椭圆与双曲线 2x22 y21 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 6 (2006 湖南 )过双曲线 的左顶点 作斜率为 1 的直线 , 若 与双曲1:2byxMAl线 的两条渐近线分别相交于点 , 且 , 则双曲线 的离心率是MCB|BCM_ 3简答 ：1-3、ACC
5、C ； 5 y 21； 6 x0四、经典例题做一做【例 1】根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1) 与双曲线 有共同渐近线，且过点 ；1692yx )32,(2)双曲线的焦点在 轴上，且过点 和 ，P 是双曲线上异于 A、B 的任一)0,(A,1B点，APB 的垂心 H 总在此双曲线上。【解】：（1）设所求双曲线方程为 ，将点 代入得)0(1692yx)32,(，所以双曲线方程为 。442yx（2 ）设双曲线方程为 为双曲线上任一点， BN，PM 是 APB),(102xPb的两条高，则 BN 方程为 )(0yPM 方程为 0x又 ,120byx得 ，又 H 在双曲线上， ),(20 14
6、20byx ，所以双曲线方程为 12b2【例 2】已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0)，右顶点为 。)0,3(1) 求双曲线 C 的方程；(2) 若直线 l： 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，且2kxy(其中 O 为原点 )，求 k 的取值范围。2AB解：（）设双曲线方程为 21xyab).0,(ba4由已知得 .1,2,232baca得再 由故双曲线 C 的方程为 .1yx（）将 得代 入 322ky .0926)3(2kxk由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 22210,(6)(1)3().即 设 ，则.1322k且 ,),(BAyx2269,22,3ABAB
7、ABxxOyk由 得而 ()()(1)()B AByxkxkx2222967(1) .313kk于是 227,0,k即 解 此 不 等 式 得 .312k由、得 .13故 k 的取值范围为 3(,)(,).提炼方法 ：求参数的取值范围是个综合性的问题,常用的方法有： 法,目标函数法,不等式法,几何法,向量法等【例 3】 设点 P 到点 M（1，0）、N （1，0）距离之差为 2m，到 x 轴、y 轴距离之比为 2，求 m 的取值范围分析：由|PM| | PN|=2m，得 |PM|PN|=2|m |知点 P 的轨迹是双曲线，由点 P 到 x轴、y 轴距离之比为 2，知点 P 的轨迹是直线，由交轨
8、法求得点 P 的坐标，进而可求得 m的取值范围解：设点 P 的坐标为（x ，y ），依题意得 =2，|xy即 y=2x（x0） 因此，点 P（x ，y ）、M（1，0）、N （1，0）三点不共线，从而得 |PM|PN|0， 00， 15m 20解得 0 b0），双曲2xy线 =1 的两条渐近线为 l1、l 2，过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l，使 ll 1，又 l 与 l22axby交于 P 点，设 l 与椭圆 C 的两个交点由上至下依次为 A、 B（如下图） （1）当 l1 与 l2 夹角为 60，双曲线的焦距为 4 时，求椭圆 C 的方程；6（2）当 = 时，求 的最大值FAP剖析：（
9、1）求椭圆方程即求 a、b 的值，由 l1 与 l2 的夹角为 60易得 = ，由双ab3曲线的焦距为 4 易得 a2+b2=4，进而可求得 a、b（2）由 = ，欲求 的最大值，需求 A、P 的坐标，而 P 是 l 与 l1 的交点，故FAP需求 l 的方程将 l 与 l2 的方程联立可求得 P 的坐标，进而可求得点 A 的坐标将 A 的坐标代入椭圆方程可求得 的最大值解：（1）双曲线的渐近线为 y= x，两渐近线夹角为 60，又 b0)，2y其半焦距 c=62 =|PF1|+|PF2|= + =6a2215 =3 ，b 2=a2-c2=45-36=95所以所求椭圆的标准方程为 19452y
10、x(II)点 P(5,2)、F 1(-6，0)、F 2(6，0)关于直线 y=x 的对称点分别为 P(2,5)、F 1(0，-6)，F2（0，6 ）设所求双曲线的标准方程为 (a10,b10)21ax由题意知，半焦距 c1=6，2a1=|PF1|-|PF2|=| - |=4 225a 1=2 ,b =c -a =36-20=1651所以所求双曲线的标准方程为 1620xy8已知双曲线的方程为 , 直线 通过其右焦点 F2，且与双曲线的右支交4l于 A、B 两点，将 A、B 与双曲线的左焦点 F1 连结起来，求| F1A|F1B|的最小值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解：设
11、A(x1,y1),B(x2,y2),9A 到双曲线的左准线 x= = 的距离 d=|x1+ |=x1+ ，ca25454由双曲线的定义， =e= ,dAF|12|AF 1|= (x1+ )= x1+2,2545同理，|BF 1|= x2+2,|F 1A|F1B|=( x1+2)( x2+2)= x1x2+ (x1+x2)+4 (1)545双曲线的右焦点为 F2( ,0), (1)当直线的斜率存在时设直线 AB 的方程为：y=k(x )，5由 消去 y 得 (14k 2)x2+8 k2x20k 24=0,14)5(2yxkx 1+x2= , x1x2= , 58k1402k代入(1)整理得|F1
12、A|F1B|= +4= +45422k62k= +4= +185)(62k)14(82k|F 1A|F1B| ;(2)当直线 AB 垂直于 x 轴时，容易算出| AF2|=|BF2|= ,1|AF 1|=|BF1|=2a+ = (双曲线的第一定义), | F1A|F1B|=2948由(1), (2)得：当直线 AB 垂直于 x 轴时|F 1A|F1B| 取最大值9 已知椭圆具有性质：若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭圆上任意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 kPM、k PN时，那么 kPM与 kPN之积是与10点 P 位置无关的定值 头htp:/w.xj
13、kygcom126t:/.j试对双曲线 C： =1 写出具有类似特性的性质，并加以证2axby明解：类似的性质为若 MN 是双曲线 =1 上关于原点对称的两个点，点 P 是双2axby曲线上任意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 kPM、k PN时，那么 kPM与 kPN之积是与点 P 位置无关的定值设点 M 的坐标为（m，n），则点 N 的坐标为（m，n），其中 =12ab又设点 P 的坐标为（x ，y ），由 kPM= ， kPN= ，mnyxn得 kPMkPN= = ，y2m将 y2= x2b 2，n 2= m2 b2，代入得 kPMkPN=aa2ab点评：本题主要考查椭圆、
14、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求10 如图，已知梯形 ABCD 中 ，点 E 分有向线段 所CDAB2AC成的比为 ，双曲线过 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点当时，求双曲线离心率 的取值范围432e解：如图，以 AB 的垂直平分线为 y 轴，直线 AB 为 x 轴，建立直角坐标系 xoy，则 CDy 轴因为双曲线经过点 C、D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性知 C、D 关于 x 轴对称依题意，记 A(c，0) ， C( ，h)，E(x 0, y0
15、)，其中 c= |AB|为双曲线的半焦距，h 是梯21形的高由定比分点坐标公式得11x0= = ，12c)1(c0hy设双曲线的方程为 ，则离心率 12byaxace由点 C、E 在双曲线上，将点 C、E 的坐标和 代入双曲线方程得， 142bhe 12bh由式得 ， 42e将式代入式，整理得，2142e故 312e由题设 得， 44321e解得 07所以双曲线的离心率的取值范围为 107，【探索题】如图，在双曲线 的上支有三点 ，312xy ),()6,(321yxCByxA它们与点 F（0，5）的距离成等差数列。（1 ） 求 的 值31y（2 ） 证明：线段 AC 的垂直平分线经过某一定点
16、，并求此点坐标解：（1） 故 F 双曲线的焦点，设准线为 ，离心率为 ，,52c le由题设有 CAFB分别过 A、B、 C 作 x 轴的垂线 ，则由双曲线的第1122 CBA, ，于交 lB12二定义有 ，111,FBCeFAee代入式，得 ，1CAB2,2 即于是两边均加上准线与 x 轴距离的 2 倍，有 26313122 yyC， 此 即AC 的中垂线方程为)(6),2( 31231313131 yxyxxyxy 即（2 ）由于 A、 C 在双曲线上，所以有 2,31相减得 132)(,123 31312321 yyxyx于 是 有故（2）式化为 ，易知此直线过定点 。531yx )5,0(D思维点拨 ：利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决，中垂线过弦 AC 的中点，中点问题往往把 A、C 的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题。
