1、九年级数学上期复习资料 第 页 共 6 页1九年级上期北师大版数学典型例题选集一、三角形内切矩形问题 如图：ABC 内的有一个矩形 DEGF。D 点在 AB 上，E 点在 AC 上，F 点和 G 点在 BC 上，AH 是 BC 边上的高。AH 交 DE 于点 I。（1）如果 BC=a，AH=h ，DE=x，EG=y。写出 a、h、x、y 之间的关系（2）如果 BC=20，AH=24，矩形 DEGF 的面积是 30。求矩形的长和宽各是多少？（3）如果 BC=20，AH=24，四边形 DEGF 是正方形，求这个正方形的边长。（4）如果 BC=20，AH=24，矩形 DEGH 的面积为 S，DE=x
2、，写出 S 和 x 之间的函数关系，并判断当 DE 等于多少时矩形 DEGF的面积最大？二、矩形的对折问题 (关键是打直角三角形，用勾股定理)（1）已知四边形 ABCD 是矩形。AB=6，BC=10 。将 AD 沿 AE 对折，点 D 正好落在 BC 边点F 上。求： CE 的长 DE 的长 折痕 AE 的长 CFE 的面积 （2）已知四边形 ABCD 是矩形。AB=6，BC=10 。将 AB 沿 AE 对折，点 B 正好落在对角线AC 边点 F 上。求： CE 的长 BE 的长 折痕 AE 的长 CFE 的面积 AB CEDF H GI此题包含了以下知识：1、 相似（列比例式）2、 分式的计
3、算（整理比例式）3、 一元二次方程4、 配方法求极值。其中相似是基础，分式的计算是关键，难点是函数思想。提高是用配方法来求函数的极值。题目点评：数形结合A DCBEFAEB CDF九年级数学上期复习资料 第 页 共 6 页2（3）已知四边形 ABCD 是矩形。AB=6，BC=10 。将 BC 沿 BD 对折，点 C 正好落在 E 点 F 上。PF 是BDF 边 BD 上的高。求： EF 的长 DF 的长 PF 的长 BDF 的面积。（4）已知四边形 ABCD 是矩形。AB=6，BC=10 。将 BD 对折，点 B 正好落在点 D 上,A 点落在 E 点上。求： EF 的长 BE 的长 折痕 F
4、G 的长 四边形 BGDF 是什么图形? (注意体会与上图的联系 )三、商品的涨跌与销售问题例题：新华商场销售某种冰箱。每台进货价为 2500 元。市场调研表明：当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多卖 4 台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱的定价应为多少元？四、动点变化与方程（或函数）问题（1）坐标轴内的动点问题如图：直角坐标内有三点 A（ a,0） ，B（0，a） ，C（a+4，2） ，且三角形 ABC 的面积为 24。求 a 的值。A FEB CDP分析：（1） 每台冰箱赚多少元？现定价（不是 2
5、900 元）成本（2） 每台冰箱降多少元？(2900现价)（3） 降价后现在售出多少台？(8 台+ 增加的台数)（4） 怎样列出方程？1 台赚的钱卖出台数=8000 元（5） 怎样设计算最简便（可设现定价，也可设降价）（6） 选哪种方法解方程最简单（配方法）（7） 方程的根要检验是否合题意。GA FEB CDP(a+4，4)(0，a)(a，0)ABCyxo九年级数学上期复习资料 第 页 共 6 页3（2）图形中的动点问题（关键是用含用未知数的代数式表示相关线段）如图：矩形 ABCD 中 AB=12cm，BC=20cm。AD 边上有一动点，从 A 到 D，每秒移动 2cm，BC 边上有一动点，从
6、 C 到 B，每秒移动 3cm。（1） 几秒时 PO 距离为 10cm？（2） 几秒时梯形 ABQP 的面积为 100cm2 ？（3） 几秒时，梯形 ABQP 的面积等于梯形 CQPD 的面积？五、求代数式的值问题（1）根据已知条件求代数式的值已知： 的一个根为 ，0124xa求 的值。5022a已知： ，求 的值。32x962x已知： ，求： 的值。03412 324x（2）用配方法求代数式的极值（最大值与最小值） 说明不论 x 取何实数，代数式 的值742总大于 3。说明不论 x 取何实数，代数式 的52x值总大于 。319这类题，如果用方程求出 x 的值，然后再代入求值，计算难度相当大，
7、往往计算出错。最好的办法采取整体代入法。代入一个式子来计算。如题代入 5102a题代入 8x题代入 342小结：整体代入法PQAB CD配方法求二次三项式的极值：关键看二次项和一次项。配一次项系数一半的平方，注意加上一次项系数一半的平方后立即在常数项中减下来，这样才不会改变代数式的结果。九年级数学上期复习资料 第 页 共 6 页4说明不论 x 取何实数，代数式 的值总小于 20。1842x六、投影与三角形问题（1） 平行投影 (关键是相似 (直角)三角形的运用 )如图 AB 和 CD 两根木杆竖立立在地面上，同一时刻在阳光下 AB 的影子如图所示，作出 CD 的影子 DF。 同时量得 DE=3
8、.2m，CD=1m，CD 的影子长 80cm求 AB 的高度。（2） 中心投影 （找出图中的相似三角形列出比例式求解）如图：AB 和 CD 是两根相距 4 米的同样高的标杆，在灯光 P 下的影子。已知 AB 的影子 BE 长 6 米。求灯 P 的垂直高度 PQ。七、三类函数综合问题（正比例函数、一次函数、反比例函数）1、如图，正比例函数 (k0)与反比例函数kxy的图象相交于 A、C 两点，过 A 作 x 轴的垂线xy交 x 轴于 B，连结 BC，求ABC 面积 S。2、正比例函数 与反比例函数 的图象相交xyk1xyk2于点 P（a,b） ，a,b 异号且 OP=5，过 P 作 x 轴的垂线
9、 PQ 交x 轴于 Q，且 SPQO =6（如图）求这两个函数的解析式。ABCDEAPBCD QE九年级数学上期复习资料 第 页 共 6 页5xyABCO3、D 为反比例函数： 图象上一点.过 D 作)0(kxyDCy 轴于 C, DEx 轴于 E,一次函数 与mxy的图象都过 C 点,与 x 轴分别交于 A、B 两点。23xy若梯形 DCAE 的面积为 4，求 k 的值.4、已知反比例函数 与一次函数 y=-x+2 的图象交于xy8A、B 两点， 求：(1)A、B 两点的坐标； (2)AOB 的面积。5、如图所示，一次函数 的图像与反比例函数bkxy的图像交于 M、N 两点。xky（1）求反
10、比例函数和一次函数的解析式（2）根据图像写出使反比例函数的值大于一次函数的值的 x 的取值范围6、如图，已知反比例函数 的图象经过点 A(0)kyx，过点 A 作 ABx 轴于点 B，且AOB 的面积为 。(3)m， 3(1) 求 k 和 m 的值；(2) 若一次函数 的图象经过点 A，并且与 x 轴相1ya(3) 交于点 C，求ACO 的度数和 的值。O:CyxED CBAOOyxABM(2,m)N (1,4)xy九年级数学上期复习资料 第 页 共 6 页6八、韦达定理和根的判别式1、方程 的两个根分别为 和 ,求：752xx12 121 2 x21 | |= 2314212、 已知方程 的
11、一个根是 1，求 另一根与K的值。032kx3、已知 a、b、c 为三角形三边长，且方程 有两个相等的实数0)1(2)(2xcab根.试判断此三角形形状，说明理由.小结：（1） 对称反比例函数关于原点对称，反比例函数与正比例函数的交点也关于原点对称。（2） 代入一点代入法：正、反比例函数只代入一点就可以求出解析式；两点代入法：一次函数需要代入两点才可以求出解析式。（3） 求 k 值反比例函数的 ；正比例函数的 （注意符号与象限） ；一次函数可平移成正xyxyk比例函数来求 k 值。（4） 函数与方程组求两个函数的交点，就是解这两个函数组成的方程组。（5） 函数与面积图象中关键点的横坐标和纵坐标就是图形的高。注意：反比例函数的 K 值就是矩形面积。不好直接求的三角形可分成几个小三角形来求解。九年级数学上期复习资料 第 页 共 6 页14、若一元二次方程 的两根之比为2：3，那么a、b、c间有怎样的关)0(2cbxa系?
