1、 1农产品定价问题的讨论摘要本文针对农产品定价问题，通过合理假设，从建立关于各产品价格提高百分数与销售总收入的抽象二次规划模型入手，根据不同情况将模型具体为基本价格模型和价格稳定浮动模型。针对不考虑政策限制的情况，建立基本价格模型。又根据对文中“价格伸缩性”和“交叉伸缩性”作用时间的不同理解，建立两个基于不同理解的子模型。利用 lingo 软件求出结果：二者先后作用时：价格分别定为524.27、583.71、1086.60、1840.57 万元，最大销售总收入 234768.7 万元；二者同时作用时：价格分别定为 523.19、557.82、1213.67、1943.82 万元，最大销售总收入
2、 235626.0 万元。针对考虑政策限制的情况，我们从商家利益和顾客利益两方面考虑，通过增加约束条件，并对“价格指标”做出合理化理解，建立价格稳定浮动模型，避免了基本价格模型的局限性，使模型更加符合现实情况。最后讨论了“价格指标”取不同值时对销售总收入的影响，利用 lingo 软件求出结果：考虑商家利益时，限定奶酪 1 的价格在 10%以内浮动，最大销售总收入 232166.6 万元；考虑顾客利益时，限定牛奶的价格在 10%以内浮动，最少购买总支出 200799.8 万元。关键词：定价问题 二次规划 价格指标 lingo一、 问题重述某国政府要为其牛奶、奶油和奶酪等奶制品定价。现共有原料 6
3、0 万吨脂肪和 70 万吨奶粉，可用于生产牛奶、奶油和两种奶酪，相关数据如下表：表 1：各种产品的百分比组成脂肪 奶粉 水牛奶 4 9 87奶油 80 2 18奶酪 1 35 30 35奶酪 2 25 40 352表 2：往年的国内消费和价格牛奶 奶油 奶酪 1 奶酪 2消费量（万吨） 482 32 21 7价格（元/吨） 297 720 1050 815规律 1：价格的变化会影响消费需求。定义需求的价格伸缩性 E：E=需求降低百分数/价格提高百分数规律 2：两种奶酪的需求，随它们价格的相对变化，在某种程度上可以相互替代。定义需求关于价格的交叉伸缩性 EAB：EAB=A 需求提高百分数 /B
4、价格提高百分数通过数理统计的方法已经求出牛奶、奶油、奶酪 1、奶酪 2 的 E 值依次为0.4，2.7，1.1 和 0.4 以及 E12=0.1, E21=0.4问题 1：试求出 4 种产品的价格，使所导致的需求使销售总收入为最大。问题 2：由于政策不允许某种产品的价格指标上升，这使得新的价格必须使该产品消费的总费用较上一年度不增加。因此，对问题的一个特别重要的附加要求，是对这一政策限制的经济代价，给出数量表示。二、 问题分析本题属于数学规划类问题，根据价格的变化影响消费需求的原理，确定 4种产品新的价格使得销售总收入达到最大值。建立价格与需求的二次规划模型利用 lingo 求解，并利用经济学
5、原理分析检验模型的正确性。题目最后还增加了一个限定条件：“不允许某种价格指标上升”使得“新的价格必须使消费的总费用较上一年度不增加” 。我们将这里的“价格指标”理解为价格正常上下浮动范围的界限， “消费的总费用”理解为对应产品的销售总收入，即政策控制某种产品的价格浮动界限，使得该产品的消费总费用不大于往年消费费用。三、 模型假设1、 各产品的生产计划完全按照计算所得的需求量，即不考虑产品有剩余2、 原料中的水的成本不计，且水的供应足够3、 题中所给数据信息都真实准确4、 价格在一定范围 w（具体数值需讨论）内浮动时我们认为价格指标不变四、 符号系统Pi0 第 i 种产品的往年价格Si0 第 i
6、 种产品的往年需求量3Pi 第 i 种产品的新价格Si 第 i 种产品的新需求量z 销售总收入Ei 第 i 种产品的价格伸缩性Eij 第 j 种产品对第 i 种产品的交叉伸缩性xi 第 i 种产品的价格提高百分数第 i 种产品的脂肪含量百分比i第 i 种产品的奶粉含量百分比iw 价格指标的合理浮动范围五、 模型建立由模型分析我们知道问题主要讨论在约束条件下，如何确定产品价格使得产生最大销售总收入。根据“销售收入=产品价格*消费量”的基本定义，我们先建立抽象的关于价格和消费量的二次规划模型： 4maxizPS460i47iS目标函数要求：求出 4 种产品的价格，使所导致的需求使销售总收入最大约束
7、条件有：脂肪与奶粉总量的限制下面将建立的抽象模型分为基本价格模型和价格稳定浮动模型展开讨论： 基本价格模型一）模型分析：需求的价格伸缩性和交叉伸缩性的两种理解：价格的变化会影响消费需求，对于牛奶和奶油不受交叉伸缩性的影响，仅需考虑其自身的价格伸缩性。对于奶酪 1 与奶酪 2 两者都要考虑，我们可以考虑两者价格影响需求的过程是先后的两个阶段（第一阶段奶酪 1 与奶酪 2 的需求因为自身的价格伸缩性而变化，第二阶段两者需求在前一阶段变化的基础上因为交叉伸缩性相互影响） ；或者考虑成同一个过程的两个部分（奶酪 1 与奶酪 2 需求的变化一部分来源于自身价格变化，另一部分源于对方的价格变化带来的需求的
8、交叉伸缩性改变） 。我们认为前者是价格变化通过价格伸缩性与交叉伸缩性先后影响对应的产品需求量的变化并且将价格伸缩性变化之后的新需求作为奶酪 1 与奶酪 2 交叉4伸缩性变化的原始需求量，而后者是两者同时影响改变相应产品的需求量。二）模型准备：设四种产品的价格提高百分数为 x1,x2,x3,x4则四种产品的新价格为 297(1+x1),720(1+x2),1050(1+x3),815(1+x4) （元/ 吨）牛奶的需求量： 482(1-x1E1) 万吨奶油的需求量： 32(1-x2E2) 万吨1） 考虑价格伸缩性与交叉伸缩性先后影响对于产品需求量奶酪 1 的需求量： 21(1-x3E3)(1+x
9、4E12) 万吨奶酪 2 的需求量： 7(1-x4E4)(1+x3E21) 万吨或者：2） 考虑价格伸缩性与交叉伸缩性同时影响对于产品需求量奶酪 1 的需求量： 21(1-x3E3+x4E12) 万吨奶酪 2 的需求量：7(1-x4E4+x3E21) 万吨我们先考虑第 1 种理解：生产四种产品所需的脂肪：482(1-x1E1) *4%+32(1-x2E2)*80%+21(1-x3E3)(1+x4E12)*35%+7(1-x4E4)(1+x3E21)*25%生产四种产品所需的奶粉：482(1-x1E1) *9%+32(1-x2E2)*2%+21(1-x3E3)(1+x4E12)*30%+7(1-
10、x4E4)(1+x3E21)*40%销售总收入：297(1+x1)*482(1-x1E1)+720(1+x2)*32(1-x2E2)+1050(1+x3)*21(1-x3E3)(1+x4E12)+815(1+x4)* 7(1-x4E4)(1+x3E21) （万元）三）模型建立：目标函数：Max z=297(1+x1)*482(1-x1E1)+720(1+x2)*32(1-x2E2)+1050(1+x3)*21(1-x3E3)(1+x4E12) +815(1+x4)* 7(1-x4E4)(1+x3E21)约束条件：482(1-x1E1) *4%+32(1-x2E2)*80%+21(1-x3E3)
11、(1+x4E12)*35%+7(1-x4E4)(1+x3E21)*25%=1.5 时，曲线部分在横线部分下面，牛奶的销售收入比往年要小，即满足新的价格才能使消费的总费用较上一年度不增加的条件。而我们的价格指标 w 给定的最大值为 10%，步长取 0.02，即 x1 取值-10%10%，在同时满足总消费费用的前提下，牛奶价格提高百分数 x1 的有效取值区间为-0.1,0，在这个区间内牛奶销售总收入是关于价格提高百分数单调递增，在 x1=0 处取到最大值，因此在价格指标从 10%变8到 0 的过程中，x1 区间分别为：-0.1,0.1,-0.08,0.08,-0.06,0.06,-0.04,0.0
12、4,-0.02,0.02,0,0时，最优解和最优值不变，都在 x=2 处取到。图二：奶油销售总收入与价格提高百分数的关系图对图二做类似的分析：奶油价格提高百分数在 x2=0 的部分时，曲线在横线的下面，奶油的销售总收入比往年要小，也就是满足了新的价格才能使消费的总费用较上一年度不增加的条件。我们的价格指标 w 给定的最大值为 10%，即 x2 取值-10%10% ，在同时满足总消费费用的前提下，牛奶价格提高百分数 x2 的有效取值区间为0,0.1，在这个区间内牛奶销售总收入是关于价格提高百分数单调递减的，在 x2=0 处取到最大值，因此在价格指标从 0 变到 10%，步长为 2%的过程中，即
13、x2 区间分别为：-0.1,0.1,-0.08,0.08,-0.06,0.06,-0.04,0.04,-0.02,0.02,0,0时，最优解和最优值不变,都在 x2=0 处取到。六、 模型分析本文一共建立了两个模型：基本价格模型和价格稳定浮动模型。基本价格模型仅仅考虑价格变化与需求的关系，直接利用给定数据建立二次规划模型，能够很直接得反映价格变化影响消费需求的关系，也能在一定程度上得到问题的正确结果。缺点是考虑过于简单，与现实情况有一定差异。价格稳定浮动模型利用经济学原理将“价格指标”引申为价格稳定浮动界限，解决了单纯考虑价格这一指标的局限性，更加符合经济学理论。同时在选择最优解的时候考虑到商
14、家和顾客的不同利益给出了不同的价格方案，能比较直接地反映政府宏观调控的作用，是一种较好的模型。七、 模型推广9本文主要采用二次规划的模型，具有广泛的实际应用。利用上述模型可以方便地解决商品与需求量相互影响的问题，制定出最优的定价方案。另外，本文对模型的评价方法也值得推广，在定价问题中从商家和顾客两种角度去得到模型的最优解，使模型结果更加真实可靠。八、 结论本文针对农产品定价问题，从建立抽象二次规划模型入手，针对不考虑政策限制的情况，先建立了基本价格模型，根据对“价格伸缩性”和“交叉伸缩性”的不同理解得到两个子模型，最终结果分别为：基于第 1 种理解调整后的价格与消费量产品 牛奶 奶油 奶酪 1
15、 奶酪 2价格提高百分数 76.52% -18.92% 3.49% 125.84%价格（元/吨） 524.27 583.71 1086.60 1840.57消费量（万吨） 334.47 38.06 22.74 3.53最大销售总收入 z=234768.7（万元）基于第 2 种理解调整后的价格与消费量产品 牛奶 奶油 奶酪 1 奶酪 2价格提高百分数 76.16% -22.52% 15.59% 138.51%价格（元/吨） 523.19 557.82 1213.67 1943.82消费量（万吨） 335.17 51.46 20.31 3.56最大销售总收入 z=235626（万元）针对文中提出的
16、政策限制，我们从商家利益和顾客利益两方面考虑，通过增加约束条件，保持原目标函数，并对“价格指标”做出合理理解，建立允许价格稳定浮动的二次规划模型。最终结果为：所有情况下的最大销售总收入（万元）w=0% w=2% w=4% w=6% w=8% w=10%牛奶价格指标不上升200799.8 200799.8 200799.8 200799.8 200799.8 200799.8奶油价格指标不上升229628.8 229628.8 229628.8 229628.8 229628.8 229628.8奶酪 1 价格指标不上升231050.6 231224.5 231426.9 231654.6 23
17、1903.1 232166.6奶酪 2 价格指标不上升231050.6 231080.9 231082.2 231082.2 231082.2 231082.2考虑商家利益时，限定奶酪 1 的价格在 10%以内浮动，最大销售总收入10232166.6 万元；考虑顾客利益时，限定牛奶的价格在 10%以内浮动，最少购买总支出200799.8 万元。九、 参考文献1 赵静,但琦等. 数学建模与数学实验. 北京：高等教育出版社,2008年.2 李维铮等. 运筹学（第三版）. 北京：清华大学出版社,2006年.3 刘焕彬等. 数学模型与实验. 北京：科学出版社,2008年.附录附录 1、基于第 1 种理
18、解调整后的价格与消费量max=10000*(482*(1-0.4*x1)*297*(1+x1)+32*(1-2.7*x2)*720*(1+x2)+21*(1-1.1*x3)*(1+0.1*x4)*1050*(1+x3)+7*(1-0.4*x4)*(1+0.4*x3)*815*(1+x4);0.04*482*(1-0.4*x1)+0.8*32*(1-2.7*x2)+0.35*21*(1-1.1*x3)+0.25*7*(1-0.4*x4)=0;32*(1-2.7*x2)=0;21*(1-1.1*x3)=0;7*(1-0.4*x4)=0;free(x1);free(x2);free(x3);free
19、(x4);附录 2、基于第 2 种理解调整后的价格与消费量MAX=297*(1+x1)*482*(1-0.4*x1)+720*(1+x2)*32*(1-2.7*x2)+1050*(1+x3)*21*(1-1.1*x3+0.1*x4)+815*(1+x4)*7*(1-0.4*x4+0.4*x3);482*(1-0.4*x1)*0.04+30*(1-2.7*x2)*0.8+21*(1-1.1*x3+0.1*x4)*0.35+7*(1-0.4*x4+0.4*x3)*0.25=0;32*(1-2.7*x2)=0;21*(1-1.1*x3)=0;7*(1-0.4*x4)=0;free(x1);11fre
20、e(x2);free(x3);free(x4);附录 3、控制牛奶价格指标不上升时的价格与消费量max=10000*(482*(1-0.4*x1)*297*(1+x1)+32*(1-2.7*x2)*720*(1+x2)+21*(1-1.1*x3)*(1+0.1*x4)*1050*(1+x3)+7*(1-0.4*x4)*(1+0.4*x3)*815*(1+x4);0.04*482*(1-0.4*x1)+0.8*32*(1-2.7*x2)+0.35*21*(1-1.1*x3)+0.25*7*(1-0.4*x4)=0;32*(1-2.7*x2)=0;21*(1-1.1*x3)=0;7*(1-0.4*x4)=0;free(x1);free(x2);free(x3);free(x4);x1=-0.0;x1=0.0;482*(1-0.4*x1)*297*(1+x1)=482*297;
