1、第五章 角动量关于对称性,5.1质点的角动量,一、质点的角动量,二、力对一参考点的力矩,三、质点对参考点的角动量定理和守恒定律,四、质点对轴的角动量定理和守恒定律,第五章 角动量关于对称性,5.1质点的角动量,一、质点的角动量,1.质点相对某参考点运动的共同特征,掠面速度,行星绕太阳公转时，掠面速度守恒,水平面上一端固定的橡皮筋其另一端小物体对固定点的掠面速度守恒.,作匀速直线运动的质点对O点的掠面速度定恒.,定义,是质点对参考点的动量矩(角动量),方向：,是参考点指向质点的矢量.,单位：,量纲：,角动量是描述物体的转动特征的物理量.,大小：,是矢量,是状态量.它与参考系和参考点都有关.,2.
2、质点对参考点角动量,例题1 如图质点m以速率v 做圆锥运动,求对O 点和对O点的角动量. 设摆长为b.,解 如图对O点,方向:,向上,是常矢量.,对O点,方向 :,垂直摆线向外,方向始终在变,不是常矢.,二、力对一参考点的力矩,参考点指向质点 的位置矢量.,方向：,单位：Nm 量纲：ML2T-2,大小:,定义,若质点受N个力同时作用时,即诸力对参考点的力矩的矢量和等于合力对同一参考点的力矩.,说明,(1)力矩与功不同; 力矩是瞬态量， 功是过程量;,(2)力矩与参考点的选择有关.,例题2求作用于圆锥摆质点m上的重力,拉力及合力的力矩.（摆长r0.）,质点m 相对圆锥运动中心O矢径,对O 点,解
3、质点 m 相对圆锥摆悬点O 的矢径,对质点，合力对某一参考点的力矩等于各分力对同一参考点力矩的矢量和，如本题.,对O点,三、质点对参考点的角动量定理和守恒定律,设参考点静止，则,由,角动量定理微分形式.,得,1.质点角动量定理,掠面速度,质点对任一固定点的角动量的时间变化率 等于合外力对该点的力矩.,2.质点角动量守恒定律,即:外力对定点的力矩为零时,质点对该点的角动量守恒.,为恒矢量,质点作平面运动(初条件定).掠面速度守恒.,四、质点对轴的角动量定理和守恒定律,1.质点对轴的角动量定理,过参考点O建立坐标轴，则上式在 z 轴上的投影为,称质点对 z 轴的角动量定理的微分形式.,质点对参考点
4、O的角动量,2. 力对轴的力矩,如图,力对O力矩 点,因,若参考点选在O 点, Mz 不变.,力矩在 z 轴上的投影为,力对 z 轴上任意一点力矩在z 轴上的投影等于力对z 轴的力矩.,均在与 z 轴垂直的平面上,角动量同样有,3.角动量在轴上的投影,均在与 z 轴垂直的平面上,4.质点对轴的角动量守恒定理,例题3卢瑟福等人发现用 粒子轰击金铂时有些入射偏转角很大，甚至超过90.卢瑟福于1911年提出原子必有一带正电的核心，即原子核；此即原子结构的行星模型。已知 粒子的质量为m，以速度 接近电荷为Ze 的重原子核. 瞄准距离为b，如图所示. 求 粒子接近重核的最近距离. 设原子核质量比 粒子大
5、很多，可近似看作静止.,(a),解设 z 轴垂直于粒子运动平面且通过重核中心.,对z 轴的角动量,故,粒子最接近重核（距离为d）时角动量为 dmv,对z轴的角动量守恒,得,只有静电力作用，故能量守恒,将v代入得,因d只能为正，故式负号无物理意义，舍去.,5.2质点系的角动量定理 及角动量守恒定律,一、质点系对参考点的角动量定理及守恒律,二、质点系对轴的角动量定理及守恒律,5.2质点系的角动量定理 及角动量守恒定律,一、质点系对参考点的角动量定理及守恒律,1.质点系对参考点的角动量,对参考点,对质点系中的第 i 个质点,有,其中,对质点系，有,2.内力的力矩,因质点i与质点 j 间的相互作用力关
6、系为,且二力到参考点O的垂直距离相等，,故成对出现的内力对O点的力矩矢量和为零.即,3.质点系对参考点的角动量定理,即质点系对给定点(参考点)的角动量的时间变化率等于作用在体系上所有外力对该点力矩矢量和.,4. 质点系对参考点角动量守恒定律,若,即若外力对参考点的力矩的矢量和始终为零，则质点系对该点的角动量保持不变.,二、质点系对轴的角动量定理及守恒律,设质点在垂直于z 轴的平面内运动，第i个 质点对z轴的角动量,1.质点系对轴的角动量,质点系对轴的角动量,2.质点系对轴的角动量定理,质点在垂直于z 轴的平面内运动，第i个 质点,对质点系,而,称质点系对z 轴的角动量定理.,3.质点系对轴的角
7、动量守恒定律,若,若质点系各质点绕 z 作圆周运动,例如茹可夫斯基凳，花样滑冰等.,讨论,例题装置如图所示.滑轮两边悬挂的重物与盘的质量相同而处于平衡，现有距盘底高为h质量为m 的胶泥自由下落，求胶泥粘在盘上时盘获得到初速度.滑轮和绳质量不计.不计轴承摩擦及绳的伸长.,解胶泥自由下落至盘面的速度为 .将盘、重物和胶泥视为质点系，绳的拉力及物体所受重力为外力. 因不计滑轮、绳质量及轴承摩擦，两边绳的拉力相等；重物与盘所受重力也相等.它们对轴心O的力矩之和为零，故质点系所受外力对O点的力矩之和就等于胶泥的重力矩，不等于零. 但在碰撞时，胶泥与盘之间的碰撞内力对O点的力矩远大于外力矩之和，即内力矩对
8、质点系内各质点运动的影响远大于外力矩的影响. 讨论质点系内各质点的运动时，可不计外力矩。故在碰撞时，可用质点系对O轴角动量守恒方程求近似解. 取垂直纸面朝向读者的方向为O轴正方向，有,本题也可以利用对点的角动量守恒求解，读者可自行完成.,得,绳不伸长，故,将 代入，得,5.3质点系对质心的角动量定理 和守恒定律,1.质心系中的角动量定理,2. 质点系对质心的角动量守恒定律,3.例题,5.3质点系对质心的角动量定理 和守恒定律,角动量定理和角动量守恒定律只在惯性系中成立.,1.质心系中的角动量定理,以质心C为参考点，建质心坐标系，各坐标轴与基本参考系平行. 由于质心具有加速度，所以要计入相应的惯
9、性力力矩.,=0,而惯性力的力矩,因而,质点系对质心的角动量定理.,质点系对质心的角动量的时间变化率等于外力相对质心的力矩的矢量和.,在质心系中角动量定理同样适用.,当,如跳水运动员等在空中翻筋斗.,2. 质点系对质心的角动量守恒定律,例题质量为m1和m2的两个质点，其位矢和速度分别为 和 ，试求：,（1）每个质点相对于它们质心的动量.,（2）两质点相对于它们的质心的角动量.,解,（1）在质心系中两质点的速度分别为,（2）,故两质点相对于它们质心的角动量为,5.4对称性对称性与守恒定律,5.4.1关于对称性,5.4.2守恒律与对称性,5.4对称性对称性与守恒定律,5.4.1关于对称性,1.对称
10、性,关于对称性的普遍的严格的定义是德国数学家魏尔（H.Weyl）1951年给出的：对一个事物进行一次变动或操作，如果经过操作后，该事物完全复原，则称该事物对所经历的操作是对称的. 而该操作就叫对称操作. 由于操作方式不同而有若干种不同的对称性.,(1)镜象对称或左右对称,常见的对称性,(2)转动对称,(3)平移对称,2.对称性概念在物理学中的应用,(1)加速度对伽利略变换具有对称性,(2)牛顿第二定律对伽利略变换具有对称性,(3)动量守恒定律对伽利略变换具有对称性,对称性概念在现代物理学中具有重要作用. 它为物理学家致力于认识错综复杂的宇宙提供了强有力的工具.,5.4.2守恒律与对称性,在物理
11、学中具有更深刻意义的是物理定律的对称性. 物理定律的对称性是指经过一定的操作后，物理定律的形式保持不变，因此物理定律的对称性又叫不变性.,关于物理定律的对称性有一条很重要的定律：对应于每一种对称性都有一条守恒定律. 如：对应于空间均匀性的是动量守恒定律；对应于空间的各向同性的是角动量守恒定律；对应于空间反演对称的是宇称守恒定律；对应于量子力学相移对称的是电荷守恒定律等等. 物理定律的时间平移对称性决定了能量守恒.,1.机械能对空间坐标系平移对称性与动量守恒,设体系由两个相互作用的粒子组成.且只限于在x轴上运动（如图）,不受其它外力.,当两粒子间的距离 x = x2 - x1时，,体系的势能,当
12、体系发生一平移 x 时，两粒子的坐标为,但两者的距离仍为 x = x2 - x1.,即动量守恒.,空间的平移对称必性意味着势能 Ep 应与x无关. 势能对空间坐标系平移保持不变性要求,即,粒子受力,又得,即,2.机械能对空间坐标系转动对称性与角动量守恒,设体系由两个相互作用的质点组成，其中一个质点位于坐标原点且保持静止，另一质量为m的质点处于运动状态且不再受其它力的作用.,空间坐标无限小转动,运动质点的位置矢量和速度矢量增量为,机械能对坐标系旋转的不变性有,表明质点受有心力作用，有心力对力心的力矩等于零，角动量守恒.,3.机械能对时间平移对称性与机械能守恒,设体系由两个相互作用的质点组成，其中一个质点位于坐标原点且保持静止，另一质量为m速度为 vx 的质点位于x处.,系统总机械能,机械能对时间平移具有对称性，则,而,故,即 E = 常量,其实，某些量也有不守恒的时候，如在弱相互作用过程中宇称不守恒.,5.5 经典动力学的适用范围,1.经典力学的应用受质点速率的限制,2.经典力学的研究对象是宏观物体，对微观粒子的运动需用量子理论.,经典理论是量子理论的特例，量子理论是更为普遍的理论. 经典力学是量子力学在普朗克常数 h 0 时的极限.,即物体的运动速度应远远小于真空中的光速.,
