1、第三章 有穷自动机,要点：1. DFA和NFA的定义2. NFADFA的转换；3. DFA的化简4. 正规文法、正规式、有穷自动机之间的相互转换；,编译原理,有穷自动机,有穷自动机（或有限自动机）作为一种识别工具，它能正确地识别正规集，即识别正规文法所定义的语言和正规式所表示的集合。引入有穷自动机这个理论，正是为词法分析程序的自动构造寻找特殊的方法和工具。 分类：确定的有穷自动机（DFA）不确定的有穷自动机（NFA）,3.1 概述 有穷自动机（FA）,有穷自动机（FA，Finite Automata）是一种有限离散数字系统的抽象数学模型。这个系统具有有限数目的内部“状态”。所谓状态，是可以将事
2、物区分开的一种标识。例如：数字电路（0，1），十字路口的红绿灯等都是离散状态系统，其状态数目是有限的。连续状态系统则如水库的水位、室内温度变化等。电梯的控制机制，不需要保存所有以前的服务要求，仅需记住当前的层次、运动的方向以及未满足的服务要求。文本编辑程序和词法分析程序是有限状态系统，计算机本身和人的大脑也可看成有限状态系统。,例 过河问题 题目,一个人带着一头狼、一头羊以及一棵青菜，处于河的左岸，需要渡到河的右岸。有一条小船，每次只能携带人和其余的三者之一。不能让狼和羊单独在一起，无论在左岸还是右岸，否则狼会吃掉羊。同样，也不能让羊和青菜单独一起。如何才能安全渡过河呢？,例 过河问题 分析,
3、观察每次摆渡后河两岸的局势，使问题模型化。人（M），狼（W），羊（G），菜（C）。存在有16种子集，用连字号”-”连接子集的对偶表示状态，例如：MG-WC，表示：人和羊在左岸，狼和菜在右岸。16种状态中的某些状态，是不应该引入系统的，例如GC-MW，有关死活。人所进行的摆渡活动，可作为系统的输入。人可单独过河（输入为M），带着狼过河（输入为W），带着羊过河（输入为G）或者是带着菜过河（输入为C）。问题：初始状态应该是什么？终止状态应该是什么？,例 过河问题 分析（续）,初始状态：MWGC-；终止状态：-MWGC。,MWGC-,WC-MG,g,问题：,例 过河问题 状态转换图,MWGC-,WC-
4、MG,C-MWG,MWG-C,MGC-W,G-MWC,MG-WC,-MWGC,W-MGC,MWC-G,g,g,g,g,m,g,g,g,g,m,m,m,c,c,c,c,w,w,w,w,起始,有穷自动机（FA）,数字系统：可以从一个状态移动到另一个状态；每次状态转换，都上由当前状态及一组输入符号确定的；可以输出某些离散的值集。FA：一个状态集合；状态间的转换规则；通过读头来扫描的一个输入符号串。读头：从左到右扫描符号串。移动（扫描）是由状态转换规则来决定的。,d,d,d,;,.,d,d,+,;,输入符号串,一个FA的例子,读头,数字,接收：若扫描完输入串，且在一个终止状态上结束。 阻塞：若扫描结束
5、但未停止在终止状态上；或者为能扫描完输入串（如遇不合法符号）。 不完全描述：某些状态对于某些输入符号不存在转换。,练习：+34.567 .123 3.4.5,=,8,0,;,0,1,3,4,2,5,6,e,n,i,L,字母,字母,字母,字母,数字,数字,数字,=,=,；,；,0,1,2,4,5,6,3,L,i,n,e,=,8,0,;, id , Line, = , , num, 80, ;, ,数字,数字,字母,字母,1,1,=,=,0,0,0,3,;,;,1,输入符号串,输出,有限控制器,读头,3.2 有穷自动机的形式定义,DFA: Deterministic Finite Automata
6、 NFA: Nondeterministic Finite Automata DFA的定义 定义3.1 一个确定的有穷自动机(DFA) M是一个五元组：M = ( K, , f, S, Z )(1)K是一个非空有穷集合，它的每一个元素称为一个状态；(2)是一个有穷字母表，它的每一个元素称为一个输入字符； 也称为输入符号字母表,确定的有穷自动机DFA的定义（续）,(3) f是从K到K的单值部分映射；f(ki,a)=kj， 其中kiK，kjK说明：当前状态为ki ，输入字符a时，将转换到下一个状态kj ，把kj称为ki的一个后继状态。DFA的确定性就表现在f是单值函数，即对任意状态kK，输入符号a
7、，f(k,a)唯一确定一个状态。 (4)SK，是唯一的初态；(5)Z是K的子集，是一个终态集，终态也称为可接收状态或结束状态。,确定的有穷自动机DFA的表示,3.2.1 状态转换图设DFA有m个状态，n个输入字符，那么这个图含有m个状态结，每个结点最多有n条箭弧射出和别的结点相连接，每条弧用中的一个不同输入符号作记号。整个图含有唯一的一个初态和若干个（可以0个）终态结。习惯上，初态结可以用“=”或“”表示，终态结用双圆圈表示或标以“+”。对f(ki,a)=kj指从状态结ki到状态结kj画标记a的弧。,例,题：DFA M=(0, 1, 2, 3，a, b，f，0，3)，其中f定义为：f(0,a)
8、=1， f(0,b)=2， f(1,a)=3， f(1,b)=2，f(2,a)=1， f(2,b)=3， f(3,a)=3， f(3,b)=3解：该DFA M的状态图：,确定的有穷自动机DFA的表示（续）,3.2.2 状态转换矩阵矩阵的行表示状态，列表示输入字符，矩阵元素表示相应的状态行在输入字符列下的新的状态，即f(k,a)的值。,例（题同）,解：该DFA M的矩阵表示,0 0 0 1,3.2.3 有关自动机术语,(1)道路：对于*中的任何字，若存在一条从初态到某终态的路径。 (2)识别：道路上所有弧的标记连接成的字等于，则称可为DFA M所识别（所接受）。即若t*, f(S,t)=P，其中
9、S为DFA M的初始状态，PZ（终态集）。若M的初态结同时也是终态结，则空字可为M所识别，即QK, f(Q, )=Q (3)运行：f(Q, t1t2) = f(f(Q, t1), t2)，其中QK， t1t2为输入字符串，且t1 ，t1t2 *,例,解：f(0, abba) = f(f(0,a), bba)= f(1, bba)= f( f(1,b), ba) = f(2, ba) = f(f(2,b), a) = f(3, a)= 3 得证,题：试证abba可为例1的DFA M所识别（所接受）。,3.2.4 有关确定有穷自动机的结论,把DFA M所能接受的所有字（字的全体）记为L(M)。上的
10、一个字集V*是正规的，当且仅当存在一个上的确定有穷自动机M，使得L(M)=V。,有限自动机识别的语言 例子,例：下图中的自动机所能识别的语言是什么？,q0,q2,q1,q3,a,b,b,a,b,a,定义3.4 一个不确定的有穷自动机NFA N也是一个五元组：M = ( K, , f, S, Z )(1)K是一个有穷集合，它的每一个元素称为一个状态；(2)是一个有穷字母表，它的每一个元素称为一个输入字符； 也称为输入符号字母表(3) f是一个K*到K的子集的映射：f : K*2k(4)S是K的子集，是非空的初态集；(5)Z是K的子集，是一个终态集，也称可接收状态或结束状态。,3.2.5 不确定的
11、有穷自动机(NFA)的定义,NFA的表示,用状态转换图（ f是多值函数）由NFA的定义，可把一个含有m个状态和n个输入字符的NFA表示如下：图中有m个状态结，对每个状态结可射出若干条弧和别的状态结相连，且每条弧用*中的一个字（不一定要不同的字且可以是空字）作标记（或称输入字）。整个图中至少含有一个初态结以及若干个（可以是0个）终态结。某些结既可以是初态结也可以是终态结。,例,题：一个NFA M(s, t，0, 1，f，s，t)，其中f(s, 0)=s, t, f(s, 1)=t,f(t, 0)=, f(t, 1)=s, t,解：其状态图如下：,例,如下状态图也是一个NFA,有关非确定有穷自动机
12、的术语,对于*中的任何一个串t可被NFA M识别是指：若对这个字（串）t存在一条从某个初态结到某一个终态结的道路，且这条道路上所有弧的标记字依序连接起来的字（不理睬那些标记为的弧）等于t，则t可识别（或可接受）若M的某些结点既是初态结也是终态结，或存在一条从某个初态结到某个终态结的道路，则空字可为M所识别（所接受）。,补充：递归思想构造文法,在某些复杂的语言中，字符串可能包含一种结构，它递归地作为另一种（或者同一种）结构的一部分而出现，可利用递归思想来构造对应的文法。 例1：定义语言L=| 中a和b的个数相同的文法。 解：先构造出基础情况的文法：S- ab | ba | 再递归地构造出归纳情况
13、的文法（新的生成式不能改变a和b的个数关系）：S- Sab | aSb | abS | Sba | bSa | baS,递归思想构造文法 （续）,例1：求一个文法G，使得(G)即该文法的语言是奇数个和奇数个的组合。 解： 因为语言是奇数个和奇数个的组合，所以打头的最小语言有四种组合： aa bb ab ba定义S和A，S是表示奇数个 a和奇数个b的组合，而A是表示偶数个a和偶数个b的组合。开始递归构造文法：S-aaS | bbS | abA | baA A-aaA | bbA | abS | baS | ,补充：如何设计有限自动机,如同文法的设计，自动机的设计也是一个创造过程。有一种做法，在设
14、计各种类型的自动机时都很有帮助，即采用一种心理上的技巧，把自己放在要设计的机器的位置上，考虑自己该如何实现自动机的任务。假定自己是一台有限自动机，接受到一个输入符号串时，必须确定到目前为止所看到的字符串是否可为该自动机所识别。为了能够判断这一点，必须估算出识别时需要记住哪些关键的东西。为什么不记住所有看到的东西呢？因为你是一台有限自动机，只有有限个状态，而这些状态是你记住事情的唯一办法。输入串可能很长，而你不可能记住所有的事情。幸运的是，许多语言只需要记住某些关键的信息就可以了。,设计有限自动机（续1）,例1：构造一台有限自动机，识别所有由奇数个a和奇数个b组成的字符串。,解：为了确定a和b的
15、个数是否是奇数，不需要记住所看到的整个字符串，而只需要记住至此所看到的a、b个数是偶数还是奇数即可。一旦确定了关键信息，就可以开始设计状态了。这些信息有如下四种可能性：,设计有限自动机（续2）,例1：(1)到此为止是偶数个a和偶数个b;(2)到此为止是奇数个a和偶数个b;(3)到此为止是偶数个a和奇数个b;(4)到此为止是奇数个a和奇数个b。根据每种可能性设计一个状态，并根据可能的输入符号来设计状态之间的转移条件。,设计有限自动机（续3）,例2：设计有限自动机M，识别含有00作为子串的所有0，1*上的字符串组成的语言。如：0010，1001，110001001,解：3种可能性：(1)到此为止未
16、看到模式“00”的任何符号;(2)到此为止看见了一个0;(3)到此为止已经看见整个模式“00”。,设计有限自动机（续4）,例2自动机的状态转换图为：,或者为（NFA）：,设计有限自动机（续5）,例3 构造一个有穷自动机M，识别所有形如0k的字符串，其中k是2或3的倍数。,（2）识别0k的字符串，其中k是3的倍数：,（1）识别0k的字符串，其中k是2的倍数：,设计有限自动机（续6）,例3 的有穷自动机M为：,以上两个自动机是否等价？,这个自动机显示了转换的方便之处。,设计有限自动机（续7）,1.思考题： 构造一个有穷自动机M，识别0，1，2上的语言，该语言的每个字符串代表的十进制数能被3整除。如
17、：102，1020，10201，110,2.编程题：根据有穷自动机M，编写程序，识别所有由奇数个a和奇数个b组成的字符串。,(1)用户输入：ab组成的符号串； (2)一个字符一个字符地读、分析； (3)不要使用计数器。,设计有限自动机（续8）,1.思考题： 构造一个有穷自动机M，识别0，1，2上的语言，该语言的每个字符串代表的十进制数能被3整除。如：102，1020，10201，110,思路(1) :所有位数之和；(2): q0: 3n+0q1: 3n+1q2: 3n+2 q0+1-q1，因 (3n+0)*10+1)/3余1； q1+1-q2，因 (3n+1)*10+1)/3余2； .,NFA
18、和DFA的关系,DFA是NFA的一个特例。对于每个NFA M，存在一个DFA M，使得L(M)=L(M)对于任何两个有穷自动机M和M，如L(M)=L(M)则称M和M是等价的。 如果M仅通过重新标记它的状态，就能转换成M，则M和M称为同构的。 对于每一个FA M，存在一个等价的、具有最少状态个数的FA M，对于其它的FA M，若M的状态个数与M相同且等价与M，则必然有M与M同构，即：M在结构上是唯一的。,3.3 NFA DFA的转换（NFA的确定化）,通过以下步骤，可以将一个NFA转换为等价的DFA： 1.寻找并消除空移环路； 2.消除余下的空移； 3.确定化。,3.3.1 NFA中空移环路的寻
19、找和消除,空移环路：一个空移环路，是一个从状态A开始，并以状态A结束的空移动序列。,消除方法： 合并环路上的结点为新结点。 若含初态，则新结点为初态。 若含终态，则新结点为终态。 课本P56 例3.4,3.3.2 NFA的消除空移,A,B,a1,q1,q2,qn,a2,an,a1,a2,an,消除方法： 删除弧，产生新弧。 若A为初态，则B结点也为初态。 若B为终态，则A结点也为终态。,3.3.4 NFA的确定化子集法,添加一个例子( 无空移)介绍一种称子集法的算法来将NFA转换成接收同样语言的DFA。算法的基本思想是：把DFA中的每一个状态对应NFA中的一组状态。即由于NFA中的f是多值的，
20、所以在读入一个输入符号后可能达到的状态是集合，而子集法就是用DFA的状态记录该状态的集合。,确定化的有关运算,（2）Move(I, a)状态集合I的a弧转换假定I是状态集的一个子集，a是中的一个字符，定义Ia _closure(J) 其中J是所有那些可从I中的某一状态出发经过一条a弧而到达的状态结的全体。(3)Ia _closure(Move(I, a),（1）_closure(I) 状态集合I的闭包(等价状态集)设I是状态集的一个子集， _closure(I)定义为：a. 若SI，则S _closure(I)；b. 若SI，那么从S出发经过任意弧而能到达的任意状态S都属于_closure(I
21、)；,题：有一个状态图如下：,假定 I= _closure(1)1, 2 从状态集I出发经过一条a弧而能到达的状态结全体J为5, 3, 4； 而_closure(J) =5, 6, 2, 3, 8, 4, 7,例,NFA的确定化,从NFA N (K, , f, K0, Kt)构造一个DFA M (S, , D, S0, St)，其中(1) S是由K一些子集组成；(2) M与N的输入字母表相同，都是；(3)D定义： D(S1, S2, Sj, a)=R1, R2, Ri，其中_closure(move(S1, S2, Sj, a)= R1, R2, Ri(4) S0 = _closure(K0)
22、为M的开始符号（初态）；(5) St =Sj, Sk, Se，其中Sj, Sk, Se S且Sj, Sk, SeKt ,子集化的具体过程,为了方便起见，令中只有a,b两个字母，即a, b （1）构造一张表，此表的每一行有三列，第一列为I，第二列为Ia，第二列为Ib。即,首先置该表的第一列为_closure(K0)。,（2）一般而言，若某一行的第一列的状态子集已确定，例如记为I，则可以求出Ia和Ib ；,子集化的具体过程（续）,（3）检查Ia和Ib是否已在表的第一列中出现，把未曾出现者填入到后面空行的第一列位置上。（4）对未重复Ia 、 Ib的新行重复上述过程(2)、(3) ，直到所有第二列和第
23、三列的子集全部在第一列中出现；,上述过程必定在有限步内终止，因为N的状态子集的个数是有限的。我们也可将表看成状态转换矩阵，即把其中每个子集看成一个状态，就可以由这张表唯一刻划出一个确定的有穷自动机DFA。其初态就是该表的第一行第一列的_closure(K0) ，终态就是那些含有的Kt子集。,例,题：将下图NFA N确定化。,解：(1)构造转换矩阵,接上页,(2)对表中所有的子集重新命名，其中0是初态，4是终态。 对应的DFA M：,例,题：将下图确定化：,解：(1)构造转换矩阵,接上页, DFA M为：,3.3.6 消除不可达状态,有穷自动机的多余状态：是指这样的状态，从该自动机的开始状态出发
24、，任何输入串也不能达到的那个状态。,3.3.7 DFA的化简,对已求得的DFA，可以进一步将其化简，即求最小DFA。也就是对于任意给定的DFA M构造另一个DFA M，使L(M)=L(M)，且DFA M的状态个数少于DFA M的状态个数。消除多余状态DFA M状态最少化的过程：把M的状态集分割成一些不相交的子集，使得任何不同的两个子集的状态都是可区别的，而同一子集中的任何两个状态都是等价的。,有关分割法所用的概念,定义3.8 等价设s,t是M的两个不同的状态，s,t等价的意思是：如果从状态s出发能读出某个字而停于终态，那么同样从t出发也能读出同一个字而停于终态；反之，若能从t出发读出某个字而停
25、于终态，那么同样从s出发也能读出字而停于终态。,等价的条件： (1)一致性条件 状态t,s必须同时是可接受状态或不可接受状态； (2)蔓延性条件 对于所有输入符号，状态s和状态t必须转换到等价的状态里(注：状态s对应有输入a而状态t无输入a时，这两个状态是不等价的）。,有关分割法所用的概念,定义3.9 可区分若DFA M中的两个状态s,t不等价，则这两个状态是可区别的。 例如：终态和非终态是可区别的（读出）；下图中的状态2与状态3（读出b字）；,分割法,(1)把K的终态和非终态分开，分成两个子集 终态组和非终态组，形成基本分划；显然，属于这两个不同子集的状态是可区别的。 (2)假定到某个时候含
26、有m个子集，记=I(1), I(2), , I(m)，若存在一个输入字符a使得Ia( i )不全包含在现行的某个子集I( j )中，就将I( j )一分为二；至此把I( i )分成两半，形成新的划分 new。,分割法（续）,(3)重复上述过程(2)，直到所含的子集不再增长为止，此时得到最后的划分 finish； 此时， 中的所有子集已是不可再分的了。也就是说，同个子集中的状态都是互相等价的，而不同子集中的状态则是可区别的。(4)对于 finish中的每一个子集，选取子集中的一个状态代表其它状态，这个代表就是化简了的DFA M的状态。 例如：假定I=S1, S2, S3这样一个子集，则可选S1代
27、表这个子集，那么在原自动机中，凡导入到S2, S3的弧都导入到S1,然后把S2, S3结点从原来的状态集合中删除，因为它们已成了一些多余的状态（从开始状态出发，任何输入串也不能达到的状态）。,对划分的说明,例如：假定I( i )中的状态S1和S2经a弧分别到达状态t1和t2，而t1和t2属于现行中的两个不同子集，则将一分为二，使得一半含有S1 ： I( i1 ) =S | S I( i1 )且S经a弧到达t1，则另一半含有S2 ： I( i2 ) = I( i ) I( i1); 由于t1和t2是可区别的，即存在一个字， t1将读出而停于终态，而t2或读不出字或虽可读出字但不到达终态，或情况恰
28、好相反。因而字将S1和S2区别开来，也就是说， I( i1 )和I( i2 )中的状态是可区别,若I中含有原来的初态，则S1是新初态；若含有原来的终态，则S1是新终态。 经过消除多余状态和合并等价状态而得到的DFA M，便是最简化的（包含最少状态的）DFA。,化简后初态和终态的确定,例：化简下图中的DFA,解：(1)把M的状态分成两组：1,2,3,4、5,6,7；,例：DFA化简,(2)考察5,6,7，由于5,6,7a=4,7，因此对5,6,7一分为二：5、6,7；,(3) 考察1,2,3,4，由于1,2,3,4a=1,4,6,7，因此对1,2,3,4一分为二：1,2、3,4；,(4)考察3,
29、4，由于3,4a=1,4，因此将3,4一分为二：3、4；,至此，整个划分为：1,2、3 、4 、5 、6,7。用1，3，4，5，6分别来代替子集1,2、3 、4 、5 、6,7 化简了的DFA M为：,例：化简后的DFA,化简后的DFA,例,思考题：将下列DFA M最小化。,解：整个划分为：0,2、1 、3、4,0,1,2,34 b:0,2,1,3,4,例,将下图DFA最小化。,解：(1)把M的状态分成两组：终结组C、非终结组A,B,D；(2)考虑A,B,D，由于A,B,D1=A,C，因此对A,B,D一分为二，分成A、B,D,例(续),至此，整个集合含有三组：A、B,D、C。 最后，令状态B代
30、表B,D，将原来导入到D的弧都导入到B，并删除D。这样，所得的化简DFA M为：,原因：B,D0 时B无出边，D有出边，不满足蔓延性条件 正确的划分：A、B、C、D,例,化简如下DFA M,解：整个划分为：0,1、2,5、3、4,7、6，用0,1,2,3,4分布代替子集0,1、2,5、3、4,7、6,3.4 正规文法和有穷自动机间的转换,3.4.1 (1)正规文法GNFA M： 构造规则：(a) 与G中的VT相同；(b) M中的K与G中的VN相同，即文法G中的每个非终结符生成自动机M中的一个状态，G的开始符号S是M的初态；增加一个新的状态Z，作为接受状态。(c) 对产生式AtB，其中t VT或
31、，A,BVN，构造M的一个转换函数f(A,t)=B；(d) 对产生式At，构造M的转换函数f(A,t)=Z（终态集）。,正规文法GNFA M 例1 课本P73,构造正规文法GS等价的NFA M。GS: S+N S-N Sd NSd NdN Nd,解：与文法G等价的NFA M如下图：,正规文法GNFA M 例2,构造正规文法GS等价的NFA M。GS: SaA SbB SbAaB AbABaS BbA B,解：与文法G等价的NFA M如下图：,3.4.1 左线性文法-NFA M,转换规则：(a) 文法的开始符号S是M的终态。 (b) 引入一个新的非终结符R作为初态结点。(c) 对于文法中的每一个
32、形如A-a的产生式，从初态结点画一条弧到结点A，且用a标记该弧线。(d) 对于文法中的每一个形如A-Ba的产生式，从结点B画一条弧到结点A，且用a标记该弧线。,3.4.1 左线性文法-NFA M,例：GS: S-S1 S-A1 A-A0 A-0,3.4.2 NFA M 正规文法G,转换规则：(a) 对转换函数f(A,t)=B，写成产生式AtB；(b) 对终态Z，增加产生式Z；(c) VN为NFA所有状态中的标记（K），VT为NFA的， NFA的初态就是开始符号S。,例,例：给出与NFA等价的正规文法G,解：与NFA等价正规文法G=(VN, VT, P, S)=(A,B,C,D,a,b, P,
33、A)，其中P为：AaB AbD BbC CaA CbDC DaB DbD D ,3.5 正规表达式与FA,单词的描述工具：正规文法 正规文法（3型文法）的形式定义设G=( VN, VT, P, S)为一文法，若G的任何产生式A 或A B ，其中A、B VN ， VT* 。,正规文法的例子,例：“无符号实数”定义d | . | e d | . | e | d e | d | d | s d d | 其中s 正负符号+、,3.5.1 单词的描述工具正规式的定义,正规式也叫正则表达式，用于描述称为正规集的语言。 定义3.10 字母表上的正规式和正规集的递归定义为： (1)和是上的正规式，它们所代表的
34、正规集为 ()； (2)任何a，a是上的一个正规式，它所表示的正规集为a； (3)假定e1与e2都是上的正规式，它们所表示的正规集为L(e1)和L(e2)，那么(e1)、 e1| e2、 e1 e2和e1*也是正规式，它们所表示的正规集分别为 L(e1)、L(e1)L(e2)、 L(e1) L(e2)、 (L(e1) * (4)仅用有限次使用上述三步骤而定义的表达式方是上的正规式，仅有这些正规式所表示的字集才是上的正规集。,正规式运算符优先关系, |(或) (连接) *(闭包) *、|都满足左结合 注：连接号可省略,例：正规式,例2,令=l, d, ., e, +, -，则上的正规式 d*(.
35、dd*|) (e(+|-|)dd*| )l (l|d)*dd*,正规集 所有无符号的数 标识符 所有无符号整数,定义 3.11 正规式等价,若两个正规式e1, e2所表示的正规集相等(即L(e1)=L(e2)，则e1, e2等价，记为e1=e2。例如： a|b=b|a ， b(ab)*=(ba)*b， (a|b)*=(a*b*)*,正规式的代数规律,定理3.1 设 r, s, t为正规式 （1）r|s = s|r “或”满足交换律 （2）r|(s|t)=(r|s)|t “或”满足结合律 （3）r(st)=(rs)t “连接”的可结合律 （4）r(s|t)=rs|rt，(s|t)r=sr|tr
36、分配律 （5）r =r = r 的恒等式 参考课本P75定理3.1,3.5.3 正规式和有穷自动机的等价性,正规式和有穷自动机的等价性由以下两点说明： (1)上的非确定自动机M所能识别的字的全体L(M)是上的一个正规集； （或对于 上的NFA M，可以构造一个 上的正规式R，使得L(R)=L(M)） (2)对于上的每个正规集V，存在一个上的确定有穷自动机M，使得V=L(M)； （或对于 上的每个正规式R，可以构造一个NFA M，使得L(M)=L(R)）,3.5.5 NFA M正规式R,把状态图的概念拓广，令每条弧可用一个正规式作标记 1.添加x,y结点构造NFA M，其中x与所有的初始结弧连接
37、，y与所有终态结弧连接。 2.反复使用以下规则，消去M中的所有结，直到只剩下x,y结； 在消结过程中逐步用正规式来标记箭弧，其消结的规则如下：,R1,R2,R1 R2,NFA M正规式R（续）,R1,R2,R1 | R2,R1,R2,R1 R2 *R3,R3,最后，x和y结点间弧上的标记则为所求的正规式R。,例,NFA M的状态图如下，求正规式R，使得L(R)=L(M)。,所求的正规式R=(a|b)*(aa|bb)(a|b)*,0,a, b,(aa|bb)(a|b)*,Y,y,例,NFA M的状态图如下，求正规式R，使得L(R)=L(M)。,解：正规式R=(aa|bb) | (ab|ba)(a
38、a|bb)*(ab|ba)*,0,aa,bb,x,(ab|ba)(aa|bb)*(ab|ba),例,有些自动机比较复杂，我们也并不完全按照上述规则进行转换。例如,可分四种走向（要点，划分图成多个子图,本题4个）： (1) sut： a(ba)*a(a|b)* (2) suvt： ab(ab)*b(a|b)* (3) svut： ba(ba)*a(a|b)* (4) svt： b(ab)*b(a|b)*,(|b)a(ba)*)|(|a)b(ab)*)(a|b)+,3.5.4 正规式NFA,从正规式R构造NFA的算法： 首先把正规式R表示成如下图的拓广转换图：,R,然后通过对R进行分裂和加进新结的
39、方法，逐步把这个图转换变成每条弧标记为的一个字符或。其转换规则如下：,注： 在整个分裂的过程中，所有新结均采用不同的名字，结点x,y为构造成的NFA的唯一的初态和终态。,正规式 转换系统,a (a),s | t (s,t是正规式),st,s*,正规式NFA（续）,正规式NFA（续）例1,R=(a|b)*abb构造NFA N，使得L(N)=L(R)。,解：,正规式NFA（续）例2,构造与正规式R=(a*b)*ba(a|b)*等价的最简DFA M，使得L(M)=L(R)。,语法制导法,用正规式的语法结构指导构造过程。首先构造识别和中的任何符号的自动机，然后构造识别含一个选择（或）、并置（连接）和闭
40、包算符的正规式的自动机。 例如正规式R，首先把R分解成子表达式，然后使用以下构造规则为R构造NFA，对R的各种语法结构的构造规则具体描述如下： 1. (a)对于正规式 ，所构造的NFA为：,(b)对于正规式 ，所构造的NFA为：,(c)对于正规式a(a) ，所构造的NFA为：,语法制导法（续）,2.若s,t为上的正规式，相应的NFA分别为N(s)和N(t)，则(a)对于正规式R=s|t，所构造的NFA(R)如下：,其中x,y分别是NFA(R)的初态和终态，从x到N(s)和N(t)的初态各有一条弧，从N(s)和N(t)的终态各有一条弧到y 。,语法制导法（续）,(b)对于正规式R=st，所构造的
41、NFA(R)如下：,其中N(s)的初态成了N(R)的初态, N(t)的终态成了N(R)的终态， N(s)的终态和N(t)的初态合并为N(R)的一个既不是初态也不是终态的状态。,(c)对于正规式R=s*，所构造的NFA(R)如下：,其中，x和y分别是NFA(R)的初态和终态,语法制导法（续）,(d)对于正规式(s)，其NFA同s的NFA一样。每次构造新的状态时，都给它不同的名字，这样所有的状态都有不同的名字。根据上述方法构造的NFA具有以下性质：(1) NFA(R)的状态数最多是R中符号和算符数的两倍（ 构造的每步最多引入两个新结点）；(2) NFA(R)只有一个初态和一个终态；(3) NFA(
42、R)的每个状态（除终态）有一个用的符号标记的向外的转换，或者最多两个向外的弧转换。 例：为R=(a|b)*abb构造NFA N，使得L(N)=L(R)。 解：参见书本P61,综合题,构造正规式R=(a|b)*(aa|bb)(a|b)*相应的DFA。,解：(1)构造NFA N,4.4 正规式和有穷自动机的等价性,(2)对NFA N确定化： 构造状态转换矩阵,4.4 正规式和有穷自动机的等价性, DFA M为：,(3)对DFA M进行化简,整个划分为：0,1,2,3,4,5,6,3.5.6 正规文法和正规式间的转换,一个正规语言，可以由正规文法来定义，也可以由正规式定义。任意正规文法，存在一个对应
43、的正规式；反之亦然。 方法： 1.直接转换 2.间接转换 正规文法有穷自动机正规式 正规式有穷自动机正规文法,3.5.6 正规式-正规文法,将上的一个正规式r，转换为正规文法G=( VN, VT, P, S). 1.令VT= 2. S-r , S为开始符号 3. 若x和y都是正规式，则产生式 重写为： r1. A-xy A-xB B-y r2. A-x*y A-xA A-y r3. A-x|y A-x A-y不断做变换，直到每个产生式右端最多只含一个VN,3.5.6 正规式-正规文法,例 将正规式R=a(ad) 转换为相应的正规文法。 VT=a,d Sa(ad) r1. SaA A(ad)r2
44、. A(ad)A A,r3. SaAAaA AdAA VN=S,A,3.5.6 正规文法-正规式,对G= ( VN, VT, P, S), 存在一个 = VT上的正规式R，使得 L(R)=L(G) 。在此介绍2种转换方法： 一： 1.令 =VT 2.转换规则文法产生式 正规式AxB By A=xy AxAy A=xy Axy A=xy不断做变换，直到只剩下一个开始符号定义的产生式，且该产生式右端不含VN,3.5.6 正规文法-正规式 例子,例 文法Gs:SaA AaA AdA Sa Aa Ad 解答： SaAa AaAadAd A(ad)A(ad) A(ad)(ad), S=a(ad)(ad)
45、a =a(ad)(ad) =a(ad) 所以，R=a(ad),3.5.6 正规文法-正规式,对G= ( VN, VT, P, S), 存在一个 = VT上的正规式R，使得 L(R)=L(G) 。在此介绍2种转换方法： 二：方程组求解法 课本P83 如果S=aS+b 则有S=a*b例子：关于标识符的文法- 字母 - 数字- 字母= 字母 + 数字 + 字母 = （字母+数字）+ 字母 所以， =字母(字母+数字)* 即，标识符可以用正规式: 字母(字母|数字)* 来表示,补充：右线性语言的封闭性,3型文法中的右线性文法所对应的语言，右线性语言。 右线性语言恰好是正则集。 对右线性语言L1,L2进
46、行并、积和闭包运算的结果，仍然是右线性语言。 设L，L1,L2是右线性语言，则有: (1) L1L2为右线性语言 (2) L1L2为右线性语言 (3) L*为右线性语言 (4) L的补集为右线性语言 (5) L1L2为右线性语言 ,补充：右线性语言的封闭性(续1),(4) L的补集为右线性语言 例子： 根据下图DFA M，对字母表a,b,c求语言的补。,a,接受状态和非接受状态的改变；另外增加一个新的接受状态。,补充：右线性语言的封闭性(续1),(4) L的补集为右线性语言 课堂练习： 习题三 3.1.4：构造自动机，识别字母表a,b上的符号串，不能含有2个相邻的a,也不能含有两个相邻的b.,s1. 构造能够识别含有aa或者bb的自动机； s2. 确定化，化简 s3. 求补 s4. 化简,
