1、2.1.1 合情推理与演绎推理,归纳推理,歌德巴赫猜想的提出过程：,3710，31720，131730， 1037，20317，301317,偶数奇质数奇质数,63+3，, 一个偶数（不小于6）总可以表示成两个奇质数之和；, 没有发现反例 。,83+5，105+5，125+7，147+7，165+11，1 00029+971，,归纳推理的定义:,由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).,简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。,例如：金、银、铜、铁受热后体积膨胀。它们是金属的部分小类
2、对象，受热后分子的凝聚力减弱，分子运动加速，分子彼此距离加大，从而导致体积膨胀。 所以，所有的金属受热后都体积膨胀。,归纳推理的一般步骤, 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； 提出带有规律性的结论，即猜想； 检验猜想。,例1、已知数列an中，a1=1，且 试归纳出这个数列的通项公式。,费马猜想：任何形如 （nN*）的数都是质数,注意：归纳推理仅是猜想，其结论不一定正确,反例：,可能存在生命,这种由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理,类比推理的定义, 找出两类对象之间可以确切
3、表述的相似特征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； 检验猜想。,观察、比较,联想、类推,猜想新结论,类比推理的一般步骤,例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.,圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.,球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.,圆 弦 直径 周长 面积,球,截面圆,大圆,表面积,体积,球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆,与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大,球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点,经过切点且垂直于切面的直线必经过球心,课本P72
4、探究：,类比推理举例,可以从不同角度确定类比对象：,构成几何体的元素数目：四面体 三角形,例3、类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想,3个面两两垂直的四面体,PDFPDEEDF90 4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S,2.1.2 演绎推理,因为tan三角函数,观察与思考,1.所有的金属都能导电,2.一切奇数都不能被2整除,3.三角函数都是周期函数,4.全等的三角形面积相等,所以铜能够导电.,因为铜是金属,所以(2100+1)不能被2整除.,因为(2100+1)是奇数,所以是tan期函数,那么三角形ABC与三角形A1B1C
5、1面积相等.,如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等,从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理,注：,演绎推理是由一般到特殊的推理；,“三段论”是演绎推理的一般模式；包括 大前提-已知的一般原理； 小前提-所研究的特殊情况 结论-据一般原理，对特殊情况做出的判断,“三段论”是演绎推理的一般模式；包括 大前提-已知的一般原理； 小前提-所研究的特殊情况； 结论-据一般原理，对特殊情况做出的判断,3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:,若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.,M,S,a,例4.如图;在锐角三角形ABC中,A
6、DBC, BEAC,D,E是垂足,求证:AB的中点M到D,E的距离相等.,(1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,在ABC中,ADBC,即ADB=900,所以ABD是直角三角形,同理ABD是直角三角形,(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,M是RtABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线,所以 DM= AB,同理 EM= AB,所以 DM = EM,大前提,小前提,结论,大前提,小前提,结论,证明:,例:证明函数f(x)=-x2+2x在(-,1上是增函数.,满足对于任意x1,x2D,若x1x2,有f(x1)f(x2)成立的函数f(x),是区间D上的增函数.,任取x1,x2 (-,1 且x10 因为x1,x21所以x1+x2-20 因此f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)=-x2+2x在(-,1上是增函数.,大前提,小前提,结论,证明:,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.,数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.,合情推理与演绎推理的区别:,归纳是由特殊到一般的推理; 类比是由特殊到特殊的推理; 演绎推理是由一般到特殊的推理. 从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;演绎推理得到的结论一定正确,本节知识结构,
