1、2017 届河南省洛阳市高三第二次统一模拟考试（3 月）数学（理）试题数学试卷(理)第卷(选择题，共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台题目要求的1已知集合 1Mxy， 2logNxyx，则 RCMNI（ ）A ,2 B ,2,U C 0,1 D ,02,U2设复数 z满足 1izi（ 为虚数单位） ，则 z（ ）A 1i B i C 2i D 2i3已知等差数列 na的公差和首项都不等于 0，且 2a， 4， 8成等比数列，则 15923a等于（ ）A 2 B 3 C 4 D 54某几何体的三视图如图所示，则该几何
2、体中，面积最大的侧面的面积为（ ）A1 B 2 C 52 D 625甲乙和其他 4名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这 6名同学的站队方法有（ ）A 1种 B 180种 C 28种 D 360种6已知圆 C的方程为 2xy，直线 l的方程为 2xy，过圆 C上任意一点 P作与 l夹角为 45的直线交 l于 ，则 PA的最小值为（ ）A 12 B 1 C 21 D 27如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰， P表示估计的结果，刚图中空白框内应填入 P（ ）A 2017M B 2017M C 42017 D 20174M8设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相
3、同，且外接球的半径为 ，则该圆锥的体积为（ ）A B 3 C 8 D 99 如图， 1F、 2是双曲线 2:10,xyab的左、右焦点，过 1F的直线 l与 C的左、右两支分别交于点 、 若 A为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A 7 B 3 C 23 D 410 设函数 2ln1fxx，若 a， b满足不等式 220fafb ，则当 14a 时，2ab的最大值为（ ）A 1 B 10 C 5 D 811在 C中，角 A， ， 的对边分别为 a， b， c，且 os3csBCb，则角 A的最大值为（ ）A 6 B 4 C 3 D 212已知函数 21,lnxf，关于 x的方程 10fxmf
4、x，有 5个不同的实数解，则 m的取值范围是（ ）A 1,e B 0, C 10,e D 10,e第卷(非选择题，共 90 分)二、填空题：本题共 4 个小题每小题 5 分，共 20 分13已知角 的始边与 x轴非负半轴重台，终边在射线 430xy 上，则 cosin_14意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数： 1,235,8.该数列的特点是：前两个数均为 1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列 na称为“斐波那契数列” ，则 213a243a2354a220157016_15如图，扇形 AOB的弧的中点为 M，动点 C，
5、 D分别在线段 OA， B上，且 CD，若 1OA，则 CDur的取值范围是_16已知椭圆2:143xyC的左、右顶点分别为 A、 B， F为椭圆 C的右焦点圆 24xy上有一动点P， 不同于 A， B两点，直线 P与椭圆 C交于点 Q，则 PFk的取值范围是_三、解答题：本文题共 6 个小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列 na中， 1，其前 n项和为 nS，且满足 21nnSa， *N(1)求数列 的通项公式；(2)记 23nba，若数列 nb为递增数列，求 的取值范围18某厂有 4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现 1次故障，且每台机器是否出现故障是
6、相互独立的，出现故障时需 1名工人进行维修每台机器出现故障需要维修的概率为 13(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？(2)已知一名工人每月只有维修 1台机器的能力，每月需支付给每位工人 1万元的工资每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生 5万元的利润，否则将不产生利润若该厂现有 2名工人求该厂每月获利的均值19已知三棱锥 ABCD， 平面 BCD， ， 2ADB， 3C， E， F分别是 AC，BC的中点(1)P为线段 BC上一点且 2PB，求证： APDE.(2)求直线 A与平面 DEF所成角的正弦值20已知动圆
7、 M过定点 ,0，且在 y轴上截得的弦 Q的长为 4(1)求动圆圆心 的轨迹 C的方程；(2)设 A， B是轨迹 上的两点，且 4OABur， 1,0F，记 OFABS，求 S的最小值21已知函数 1lnfx， gxab(1)若 2a， F，求 F的单凋区间；(2)若函数 gxb是函数 1lnfx的图像的切线，求 ab的最小值；(3)求证：521ln0e请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做则按所做的第一题计分，做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑22(本小题满分 10 分)选修 4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，曲线 1C的参数方程为 co
8、s3inxy( 为参数)，以坐标原点为极点，以 x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线 2的极坐标方程为 s324(1)写出 1C的普通方程和 2的直角坐标方程；(2)设点 P在 上，点 Q在 C上，求 P的最小值及此时点 P的直角坐标23选修 45：不等式选讲已知关于 x的不等式 32xm 的解集为 R(1)求 m的最大值；(2)已知 0a， b， 0c，且 1abc，求 2234abc的最小值及此时 a， b， c的值洛阳市 20162017 学年高中三年级第二次统一考试数学试卷参考答案(理)一、选择题1-5:BDBCC 6-10:DCBAB 11、12:AC二、填空题13 15 14 1
9、15 31,82 16 ,0,1U17解：(1) 21nnSa， 112nS， 112nna，即 na， n， 11na *nN.（2） 23nb.11n 23321nn.数列 nb为递增数列， 0，即 3n.令 231nc，则11236312nnnc. n为递增数列， 1，即 的取值范围为 ,218解：(1)一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为事件 A，则事件 A的概率为 3该厂有 4台机器就相当于 4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为 X，则14,XB:，4026381PC， 314281PXC，24X，34，即 的分布列为：X 0 1 2 3 4P
10、168348118设该厂有 n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为 Xn ，即 0，1X， 2， Xn，这 1个互斥事件的和事件，则0 1 2 3 4P 684871801 72809%811 ，至少要 3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于 (2)设该厂获利为 Y万元，则 的所有右能取值为：18,13,8， 180PYX72181PX，83，841Y即 的分布列为： 8138P72181则 7284018318EY故该厂获利的均值为 4019(1)解： PGBD 交 C于 ， 2GCPDB， 123DC，在 A中， 3tanA，
11、 30A.22416C， 4，E为中点， DE， E， GE A面 B， AB，又 ， CI， D面 AC， PG面 ， PGE AI， 面 ， P面 G， DE.(2)以点 为坐标原点，以直线 DB， C， A分别为 x轴、 y轴、 z轴，建立空间直角坐标系,则0,2A， ,0B， ,230， ,31E， ,30F， 130Dur， ,31Eur，,3Cur设平面 EDF的法向量为 ,nxyzr，则 0,nru即 30,xz取 3,设 ACr， n的夹角为 ，621cos74ACnur.所以直线 与平面 DEF所成角的正弦值为 21720解：(1)设 ,Mxy， PQ的中点 N，连 M，则：
12、 2PN， MPQ， 222NP.又 E, 222M 24xy，整理得 24yx.(2)设21,A，2,4B，不失一般性，令 10y，则 122OFASy ， 4Bur,21126y,解得 128y直线 AB的方程为： 12124xy， 2y,即21124yxy，令 0得 2x，即直线 AB恒过定点 2,0E，当 12时， ABx轴， ,， ,直线 也经过点 ,0E. 12122OABSyy .由可得 18 , 1182OABSy 13243y .当且仅当 13y，即 143时， minS.21解：(1) 2a时， Fxfgx1l2xb，210Fx， 22，解 得 1x，解 ()0x得 1，
13、x的单调增区间为 ,，单调减区间为区间为 ,(2)设切点坐标为设切点坐标为 001,lnx，21fx，切线斜率 0201afx，又 001lnxab， 0lnb， 20lab令 21lhxx，3331x，解 0hx得 1ox，解 0h得 ， 在 ,上递减，在 ,上递增 1hx ， ab的最小值为 1(3)法一：令 1ln23Gx，由(1)知 max0， ln23x .又 1xe ，521e 0x523lnxx ， （两个等号不会同时成立） 1l0xe法二：令 521lnxPe， 5221xPe显然 Px在 0,上递增， 10P， 2 在 ,上有唯一实根 *x，且 *1,，5*21xe2*x，
14、Px在 *0,上递减，在 *,上递增， * *52lnxe*5*21lnxex*2*lnx21ln0452lxe，22解：(1) 1C的普通方程为213yx， 2C的直角坐标方程为 60xy(2)由题意，可设点 P的直角坐标为 cos,in，因为 2是直线，所以 PQ的最小值即为 P到 2C的距离 cos3in62d2i36.当且仅当 kZ时， PQ取得最小值，最小值为 2，此时 P的直角坐标为 13,223解：(1)因为 3xm 3xm3.当 3 或 时取等号，令 2m 所以 2 或 2 解得 或 1 的最大值为 (2) abc由柯西不等式， 22134234abc21abc , 23abc ，等号当且仅当 ，且 时成立即当且仅当 61， 3， 1c时， 2234abc2 的最小值为 123
