1、 数学试题（文科）第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 或 ， ，则 （ ）|5Sxx|73TxSTA B C D|7|35|53x|75x2.已知命题 ， “ 为真”是“ 为假”的（ ）,pqpqA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3.已知等比数列 的公比为正数，且 ， ，则 （ ）na2395aa1A B C D 21224.以下四个命题中是真命题的是（ ）A对分类变量 与 的随机变量 的观测值 来说， 越小，判断“ 与 有关系”的把握程度越大； xy2
2、kkxyB两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 0； C.若数据 的方差为 1，则 的方差为 2； 123n， ， ， ， 123nx， ， ， ，D在回归分析中，可用相关指数 的值判断模型的拟合效果， 越大，模型的拟合效果越好.2R2R5.双曲线 的离心率 ，则它的渐近线方程为（ ） 2:(0,)xyCabeA B C. D3y32x94yx49yx6.已知 中， 上一点 满足 ，若 ，则 （ ）AP13CAB|PtAtA B3 C. D2117.函数 的图象大致形状是（ ）|1xyeA B C. D8.设变量 满足 ，则 的最大值为（ ）xy、 342xy|3|zxyA8
3、 B3 C. D1929.已知抛物线 上一点 到焦点 的距离与其到对称轴的距离之比为 5:4，且 ，则点 到24yxAF|2AF原点的距离为（ ）A3 B4 C. D24310.某港口水的深度 是时间 （ ，单位： ）的函数，记作 .下面是某日水深的数()ymt0h()yft据：经长期观察， 的曲线可以近似地看成函数 的图象.一般情况下，船舶航行时，船()yftsinyAtb底离海底的距离为 或 以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水程度5m（船底离水面的距离）为 ，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它最多能在港内停留（ 6）小时（忽略进出港所需的时间）.A6
4、B12 C.16 D1811.一块边长为 的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形6cm加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3） ） ，则该容器的体积为（ ）A B C. D3126cm346cm327cm392cm12.已知函数 ， .若不等式 对所有的 ， 都成立，2()lnfxabx,aR()fx(,0b2(,xe则 的取值范围是（ ）aA B C. D,)e2,)e2,)e2,)e第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13.设函数 ，则 123,()log()xe
5、f(2)f14.我国南北朝时代的数学家组暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高， “幂”是面积.意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比组暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图 1是一个形状不规则的封闭图形，图 2是一个矩形，且当实数 取 上的任意值时，直线 被图 1和图 2所截得的线段始终相等，则t0,4yt图 1的面积为 15.已知球 的半径为 ， 三点在球 的球面上，球心 到平面 的距离为 ，OR,ABCOABC12R， ，则球 的表面积为 2ABC12016.已知 三边 上的高分别为 ，则 ,abc
6、12， ， cos三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 10分）已知数列 满足 ， 是等差数列，且 ， .na*21()nSaNnb1ba43（1）求数列 和 的通项公式；b（2）若 ，求数列 的前 项和 .*1()nncancnT18. （本小题满分 12分）在 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边， 为边 的中点， ，ABCabcABCDAC32a2cos4（1）若 ，求 的值；3sin（2）若 ，求 的面积.BDAC19. （本小题满分 12分）某冷饮店只出售一种饮品，该饮品每一杯的成本价为 3元，售价为 8元，每
7、天售出的第 20杯及之后的饮品半价出售.该店统计了近 10天的饮品销量，如图所示：设 为每天饮品的销量， 为该店每天的利润.xy（1）求 关于 的表达式；yx（2）从日利润不少于 96元的几天里任选 2天，求选出的这 2天日利润都是 97元的概率.20. （本小题满分 12分）如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为矩形， 为 的中点，且PABCDABCDEPC.142D（1）过点 作一条射线 ，使得 ，求证：平面 平面 ；AG/ABD/PAGBDE（2）若点 为线段 上一点，且 平面 ，求四棱锥 的体积.FPCFCFC21. （本小题满分 12分）已知椭圆 的离心率为 ，过左焦点 且垂直于长轴
8、的弦长为 .2:1(0)xyab35325（1）求椭圆 的标准方程；C（2）点 为椭圆 的长轴上的一个动点，过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于 两点，证明(,0)PmCP45lCAB、为定值.2|AB22. （本小题满分 12分）已知函数 的最大值为 .ln()()xkfR()hk（1）若 ，试比较 与 的大小；kh21ke（2）是否存在非零实数 ，使得 对 恒成立，若存在，求 的取值范围；若不存在，说明a()akRa理由.数学试题（文科）答案一、选择题1-5:AACDB 6-10:DBAAC 11、12:DB二、填空题13. 2 14.8 15. 16.64324三、解答题17.解：（1）
9、， ，两式相减可得 ， .21nSa12nSa112nnnSaa12na当 时， ， ，所以 是以 1 为首项，2 为公比的等差数列，1n12Sa1an所以 ， ， ， .nb43b18.解：（1） ， ， ，32a2cos4ABC3c由余弦定理，得 ，22222()3184ba所以 .3又 ，所以 ，(0,)ABC214sin1cosABCABC由正弦定理，得 ，得 .sisicbsin7in4cABb（2）以 为邻边作如图所示的平行四边形 ，如图，,BAABE则 ，2coscos4CE，在 中，得 ，26BEDBCE22cosBCEBCE即 ，解得 ，即 ，3183()43A所以 .97s
10、in2ABCSac19.解：（1） .(83)5(19)1(4)19)76xxyx（2）由（1）可知，日销售量不少于 20杯时，日利润不少于 96元.日销售量为 20倍时，日利润为 96元，日销售量为 21杯时，日利润为 97元.从条形图可以看出，销量为 20杯的有 3天，销量为 21杯的有 2天.销量为 20杯的有 3天，记为 ，销量为 21杯的有 2天，记为 ，从这 5天中任取 2天，包括,abc,AB，共 10种情况.(,)(,)()(,)(,)abcABABc， ， ， ， ， ， ， ， ，其中选出的 2天销量为 21天的情况只有 1种，故其概率为 .1020.解：（1）证明：在矩形
11、 中，连线 和 交于点 ，连接 ，则 是 的中点，由于CDDOEAC是 的中点，所以 是 的中位线，则 ，EPCOEPA/EPA又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，OBBB又 ，同理得 平面 ，/AGD/因为 ，所以平面 平面 ./GD（2） 平面 ， .FPCFP在 中， ， ， ，Rt4845C ， ， .485D21645FP过 作 交 于 ，则 .F/KPC45FK 底面 ， 底面 ，ABABCD .16124835FCDV21.解：（1）由 ，可得椭圆方程 .22543ceabbc 2156xy（2）设 的方程为 ，代入 并整理得：l54xym2156xy.2508()0y设 ， ，
12、则 ，1(,)Ax2,By2221114|()6PAxy同理 .24|6P则 2211124|()()6yyy.22416(5)()4165m所以， 是定值.22|PAB22.解：（1） .22lnln()xkxkf 令 ，得 ，令 ，得 ，故函数 在 上单调递增，在()0fx1ke()0f1ke()fx10,)ke上单调递减，故 .1,ke1kkh当 时， ， ， ；21k21ke2()khe当 时， ， ， .1k（2）由（1）知 ， .1()khea1k设 ， ，令 ，解得 .()kga()kg()0g1k当 时，令 ，得 ；令 ，得 ，0()01x ，min()1gkea .,)故当 时，不满足 对 恒成立；0a(kheR当 时，同理可得 ，解得 .max1)()ga1e故存在非零实数 ，且 的取值范围为 .,)e
