1、0第三章 线性系统的时域分析与校正习题及答案3-1 已知系统脉冲响应 tetk25.10.)(试求系统闭环传递函数 。)(s解 ./(.Lkts01253-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程 Tctrt()()近似描述，其中， 。试证系统的动态性能指标为)(Ttdln693.0r2Tts)l(解 设单位阶跃输入 sR1当初始条件为 0 时有： )(TC11Tssthet()/1) 当 时tdTtd()./051; 2etd/ Ttdln2Ttdln2) 求 （即 从 到 所需时间)tr)(c1.09当 ; Tteh/2tT201ln()l.当 ; tt/1.)( 19则 r2109ln.3)
2、 求 ts1Tts seth/195.0)( ln320lnl05.lnl TTs 3-3 一阶系统结构图如图 3-45 所示。要求系统闭环增益 ，调节时间 s，试确定参数 的值。K4.st 21,K解 由结构图写出闭环系统传递函数 11)( 2212KssKs令闭环增益 ， 得：25.02令调节时间 ，得： 。4.321KTts 13-4 在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 图 3-46（a ）和（b）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的 值为 1。 K（1） 若 ， 两种系统从响应开始达到稳态温度值的 63.2各需多长时间？)(tr0n（2） 当有阶跃扰动 时，求扰
3、动对两种系统的温度的影响。1.0)(tn解 （1）对（a）系统：， 时间常数 )(sKsG10T（a）系统达到稳态温度值的 63.2%需要 10 个单位时间；632.0Th对（a）系统： ， 时间常数 101)(ssb 10T（b）系统达到稳态温度值的 63.2%需要 0.099 个单位时间。632.0)(Th（2）对（a）系统： )(sNCGn时，该扰动影响将一直保持。1.0)t2对（b）系统： 1010)(ssNCn时，最终扰动影响为 。.0)(t 3-5 一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压，保持励磁电流不变，测出电机的稳态转速；另外要记录电动机从静止到速度为稳态值的 50
4、%或 63.2%所需的时间，利用转速时间曲线（如图 3-47）和所测数据 ,并假设传递函数为 )()(asKVsG可求得 和 的值。Ka若实测结果是：加 10V 电压可得 1200 的稳态转速，而达到该值 50%的时间minr 为 1.2s，试求电机传递函数。提示：注意 ，其中 ，单位是sV)(dt)(sra解 依题意有：（伏）10)(tv（弧度/秒） （1）4062（弧度/秒） （2）)(5.)(设系统传递函数 asKVsG0应有 （3）4010lim)(li)(0 aKsss ateKasLLLt 1)(1101由式（2） ， （3） 2040)2.( .12.1aaeeK得 5.1.a解
5、出 （4）762.0ln将式（4）代入式（3）得 84K3-6 单位反馈系统的开环传递函数 ，求单位阶跃响应 和调节时间 。)5()sG)(thts解：依题，系统闭环传递函数3)1(4)(1454)( 22 Tssss 25.014)4()()( 10sCssRsC)(lim)(li00 ss34)(li)()1(li 01 sRCs1)(li)()4(li 02 sss tteth431， 。421T11Tts3-7 设角速度指示随动系统结构图如图 3-48 所示。若要求系统单位阶跃响应无超调，且调节时间尽可能短，问开环增益 应取何值，调节时间 是多少？Kst解 依题意应取 ，这时可设闭环极
6、点为 。102,1写出系统闭环传递函数Kss0)(2闭环特征多项式20202 111)( TsTsD比较系数有 联立求解得 KT1025.20因此有 59.7.40ts3-8 给定典型二阶系统的设计指标：超调量 ，调节时间 %5 ，峰值时间st3，试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。tp1解 依题 4， ；%5)45(70.， ；3.nst1.n， npt214.32n综合以上条件可画出满足要求的特征根区域如图解 3-8 所示。3-9 电子心脏起博器心律控制系统结构图如题 3-49 图所示，其中模仿心脏的传递函数相当于一纯积分环节。 （1） 若 对应最佳响应，问起博器增益 应取多大
7、？5.0K（2） 若期望心速为 60 次/min，并突然接通起博器，问 1s 钟后实际心速为多少？瞬时最大心速多大？解 依题，系统传递函数为222051)( nsKss nK205.1令 可解出 5.02n将 代入二阶系统阶跃响应公式st1 tethntn221si1)(可得 mi045.6024.1)( 次次 sh时，系统超调量 ，最大心速为5.%31in78.9( 次次） stp3-10 机器人控制系统结构图如图 3-50 所示。试确定参数 值，使系统阶跃21,K响应的峰值时间s，超调量 。5.0pt25解 依题，系统传递函数为22121221 )()()( nsKsKssKs 由 联立求
8、解得 5.01212npote1078.n比较 分母系数得)(s146.0211Kn3-11 某典型二阶系统的单位阶跃响应如图 3-51 所示。试确定系统的闭环传递函数。 解 依题，系统闭环传递函数形式应为 22.)(nsKs由阶跃响应曲线有： 1)(lim)(li(00 sRshss）oonpet 25.12联立求解得 71.40n所以有 95.23.1740.2)( 22 sss3-12 设单位反馈系统的开环传递函数为6)12.0(5)sG试求系统在误差初条件 作用下的时间响应。1)0(,)(e解 依题意，系统闭环传递函数为5.62)()(2ssGsRC当 时，系统微分方程为0)(tr0)
9、(5.62)(tctc考虑初始条件，对微分方程进行拉氏变换0)(5.62)(2 sCcsCsC整理得 （1）)(. 对单位反馈系统有 ， 所以)(tcrte10)(0c）将初始条件代入式（1）得22 5.7).(65.61)( sssC22.).(4.3.).(0s)8.705.sin(61057in57cos1)( .2 tetetetc ttt3-13 设图 3-52（a）所示系统的单位阶跃响应如图 3-52（b）所示。试确定系统参数 和 。,K2a解 由系统阶跃响应曲线有oopth3.)4(1.03系统闭环传递函数为2212)( nsKass （1）7由 联立求解得 oonpet3.10
10、1228.30n由式（1）81naK另外 3-14 图 3-53 所示是电压测量系统，输入电压 伏，输出位移 厘米，3lim1)(li)( 21200 Kasshs )(te)(ty放大器增益 ，丝杠每转螺距 1mm，电位计滑臂每移动 1 厘米电压增量K 为 0.4V。当对电机加10V 阶跃电压时（带负载）稳态转速为 1000 ，达到该值 63.2%需要inr0.5s。画出系统方框图，求出传递函数 ，并求系统单位阶跃响应的峰值时间 、超调)(/sEYpt 量 、调节时间o和稳态值 。sth解 依题意可列出环节传递函数如下比较点： V)()(sFEst放大器： 10KUa电动机： r/s/V15
11、.03.61)( sssTma丝杠： cm/r.0)(1KY电位器： V/cm4.)(2sF画出系统结构图如图解 3-14 所示系统传递函数为834210)(ssEYt 86.023nn.512nptooe43.025.3nst.21)(lim)(0shs3-15 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半 s 平面根的个数及纯虚根。（1） 042)(2345 D（2） 481sss（3） 045（4） 52)(3解（1） =0 10245 sssRouth： S5 1 2 11S4 2 4 10S3 6S2 10S S0 10第一列元素变号两次，有 2 个正根。（2） =0 483
12、213)(345 sssDRouth： S5 1 12 32S4 3 24 48 S3 024316S2 4861S 0 辅助方程 ,1824sS 24 辅助方程求导： 09S0 48系统没有正根。对辅助方程求解，得到系统一对虚根 。sj12,（3） 02)(45ssDRouth： S5 1 0 -1 S4 2 0 -2 辅助方程 024sS3 8 0 辅助方程求导 83S2 -2 S 16S0 -2 第一列元素变号一次，有 1 个正根；由辅助方程 可解出：024s)()(24 jss)(1)(45 jssD（4） 05283sRouth： S5 1 24 -25 S4 2 48 -50 辅助
13、方程 482sS3 8 96 辅助方程求导 963S2 24 -50 S 338/3 S0 -50 第一列元素变号一次，有 1 个正根；由辅助方程 可解出：054822s)()1(54822 jjss )5()1(2)(34 jsjssD 3-16 图 3-54 是某垂直起降飞机的高度控制系统结构图，试确定使系统稳定的 值范围。K解 由结构图，系统开环传递函数为：)4(12)(3sKsG34vKk系 统 型 别开 环 增 益02345 sDRouth： S5 1 4 2KS4 1 4K K10S3 K )1(41S2 K 65 067.5S )1(473293KS0 K 0使系统稳定的 K 值
14、范围是： 。93.56.03-17 单位反馈系统的开环传递函数为 )5(3)(sKsG要求系统特征根的实部不大于 ，试确定开环增益的取值范围。1解 系统开环增益 。特征方程为：5Kk08)(23ssD做代换 有：1 0)8(25)1()() 323 KssKsRouth ： S3 1 2S2 5 K-8 S 8K8S0 K使系统稳定的开环增益范围为： 。1515k3-18 单位反馈系统的开环传递函数为 )12()(sTsG试在满足 的条件下，确定使系统稳定的 和 的取值范围，并以 和 为坐标画出使系统稳定的参数区域图。1,0KTK解 特征方程为：0)1()2()(3 ssTsDRouth ：
15、S3 TS2 2S TK1 14KS0 011综合所得条件，当 时，使系统稳定的参数取值1K范围如图解 3-18 中阴影部所示。3-19 图 3-55 是核反应堆石墨棒位置控制闭环系统，其目的在于获得希望的辐射水平，增益 4.4 就是石墨棒位置和辐射水平的变换系数，辐射传感器的时间常数为 0.1 秒，直流增益为 1，设控制器传递函数 。1)(sGc（1） 求使系统稳定的功率放大器增益 的取值范围；K（2） 设 ，传感器的传递函数 （ 不一定是 0.1） ，求使系统稳定的 的取值范围。20K1)(sH解 （1）当控制器传递函数 时sGcKsRCs 64.2)1.0)(642)(04.26023s
16、sD04.263.0190.:123 KKsouth3（2） ， 时0K1)(sH8.52)(6.)(RCs08.526)1(23 sssD8.5237.0016.:0123south12357.03-20 图 3-56 是船舶横摇镇定系统结构图，引入内环速度反馈是为了增加船只的阻尼。（1） 求海浪扰动力矩对船只倾斜角的传递函数 ；)(sMN（2） 为保证 为单位阶跃时倾斜角 的值不超过 0.1，且系统的阻尼比为 0.5，求 、 和 应满足的方程；N2K13（3） 取 =1 时，确定满足（2）中指标的 和 值。K1K3解 （1） )5.01()5.02(12.0512.05.)( 21323
17、KsKsssMaN （2）令： )(lim)(lim)( 21sMNsNs 得 。 由 有： ， 可得821K)(sMN5.02.0131nnK1325.5.0（3） 时， ， ，可解出 。12803072.433-21 温度计的传递函数为 ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的 98%的数值。若加热容器使水温按 10C/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示1Ts误差有多大？解法一 依题意，温度计闭环传递函数 1)(s由一阶系统阶跃响应特性可知： ，因此有 ，得出 。oTh98)4(min14Tin25.0T视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为13TssG1)()(1v
18、TK用静态误差系数法，当 时， 。ttr0Ces 5.20解法二 依题意，系统误差定义为 ，应有)()(tcr11)( TssRCsEeCses 5.20lim)(li 2003-22 系统结构图如图 3-57 所示。试求局部反馈加入前、后系统的静态位置误差系数、静态速度误差系数和静态加速度误差系数。解 局部反馈加入前，系统开环传递函数为)1(2)sGlimKsp)(0ssv1li2Gsa局部反馈加入后，系统开环传递函数为)20(1120()( sss）（ ）)(lim0GKsp5.sv)(li20sa3-23 已知单位反馈系统的开环传递函数为)2)(417)(2ssG试分别求出当输入信号 和
19、 时系统的稳态误差 。ttr, )()(tcrte解 )2)(417)(2ss187vK14由静态误差系数法时， )(1tr0se时， 14.78KA时， 2)(trs3-24 系统结构图如图 3-58 所示。已知 ，试分别计算 作用时的稳态误差，并说明积分环节设置位置对减)(1)(21tntr)(),(21tntr和小输入和干扰作用下的稳态误差的影响。 解 )1()(21sTsKGv时， ；tr0sre KsTsTsKsNEen )1()1(1)( 2121时， )(1t sNeensensn )(limlim111 00 KsTsTsKsNEen )()1(1)( 21222时， )(2t
20、 0)(limlim212 00 sNeensensn在反馈比较点到干扰作用点之间的前向通道中设置积分环节，可以同时减小由输入和干扰因引起的稳态误差。3-25 系统结构图如图 3-59 所示，要使系统对 而言是 II 型的，试确定参数 和 的值。)(tr0K15解 )1()1()1(1)() 0220 sKsTsTKssG)()(002121sT依题意应有： 联立求解得 021K21TK此时系统开环传递函数为21)()sTsG考虑系统的稳定性，系统特征方程为 0)()(2121 KsTD当 ， ， 时，系统稳定。1T20K3-26 宇航员机动控制系统结构图如图 3-60 所示。其中控制器可以用
21、增益 来表示；宇航员及其装备的总转动惯量 。2 25mkgI（1） 当输入为斜坡信号 m 时，试确定 的取值，使系统稳态误差 cm；tr)(3se1（2） 采用（1）中的 值，试确定 的取值，使系统超调量 %限制在 10%以内。3K21,解 （1）系统开环传递函数为)()()( 321321IKsKsIECsG13v时，令 ， 可取 。tr)( 0.3es 30.（2）系统闭环传递函数为16IKsIsRCs 213212)(IKn2132由 ，可解出 。取 进行设计。ooe02159.06.0将 ， 代入 表达式，可得5I.3K.213I60213-27 大型天线伺服系统结构图如图 3-61
22、所示，其中 =0.707， =15， =0.15s。n（1） 当干扰 ，输入 时，为保证系统的稳态误差小于 0.01，试确定 的取值；)()(ttntr aK（2） 当系统开环工作（ =0） ，且输入 时，确定由干扰 引起的系统响应稳态值。aK0)(10)(tt解 （1）干扰作用下系统的误差传递函数为222)(11)( nannen KssNEs 时， 令)10)(ttaensensn se 10)(10lim)(lim0 .得： 1aK（2）此时有)2(10)2()( 22 nn ssNssCsE )lim)(0Eess173-28 单位反馈系统的开环传递函数为)5(2)sG（1） 求各静态
23、误差系数和 时的稳态误差 ；2.01ttrse（2） 当输入作用 10s 时的动态误差是多少？解 （1） )5(2)sG5vK)(limli00sKsp 52li)(li00ssv2Gssa时， )(1tr1psKe时， t2)(4.0522vsA时，235.0)(tr 13asKe由叠加原理 321ss（2） 题意有25)()()(2ssGe用长除法可得 3310 08.sCCse08.2.310 0)(1.)(2trttr ttrCttCtrtes 2.04)()()( 3210 4.213-29 已知单位反馈系统的闭环传递函数为182065.01.)(23ss输入 ，求动态误差表达式。2
24、105)(ttr解 依题意2065.01.)()( 23ssse用长除法可得3231005.6.5.)( sssCCe。1472.0)()( ttts3-30 控制系统结构图如图 3-62 所示。其中 ， ， 。试分析：1K2（1） 值变化(增大)对系统稳定性的影响；（2） 值变化(增大)对动态性能（ ， ）的影响；%st（3） 值变化(增大)对 作用下稳态误差的影响。atr)(解 系统开环传递函数为)(1)( 2121KssKG1vK212)(s1221n)(KsD（1）由 表达式可知，当 时系统不稳定， 时系统总是稳定的。00（2）由 可知， 12275.3tnso)1(（3） 1Kaes
25、3-31 设复合控制系统结构图如题 3-31 图所示。确定 ，使C 系统在 作用下无tr)(稳态误差。解 系统误差传递函数为 42132323 424132 )1()(1)()( KssKTsTsKsRE CCe 19由劳斯判据，当 、 、 、 和 均大于零，且 时，系统稳定。T1K234 4132)1(KT令 0)(lim42130 Kse Ces得 432KC3-32 已知控制系统结构图如图 3-64 所示，试求：（1） 按不加虚线所画的顺馈控制时，系统在干扰作用下的传递函数 ；)(sn（2） 当干扰 时，系统的稳态输出；)(1)(ttn（3） 若加入虚线所画的顺馈控制时，系统在干扰作用下
26、的传递函数，并求 对输出 稳态值影响ttc最小的适合 值。K解 （1）无顺馈时，系统误差传递函数为25620)5(1)( sssNCn（2） )(limli0cnsnsn（3）有顺馈时，系统误差传递函数为2560)5(120)(2sKssNCn令 =0lim)(li)( 00 sscnsnsn得 25.K3-33 设复合校正控制系统结构图如图 3-65 所示，其中 N(s)为可 量测扰动。若要求系统输出 C(s)完全不受 N(s)的影响，且跟踪阶跃指令的稳态误差为零，试确定前馈补 偿装置 Gc1(s)和串联校正装置 Gc2(s)。解 （1）求 。令)(sGc得： 0)()1()()1(1)(
27、222112 sGKTssKTsGKTsNC ccn。11)(KsGc20（2）求 。令)(sGc )()1()()1(1)( 221 sGKTssTsGKsRE cce ）当 作用时，令 )(tr 0)(limli 2100 sKe cses明显地，取 可以达到目的。sGc123-34 已知控制系统结构图如图 3-66（a）所示，其单位阶跃响应如图 3-66（b）所示，系统的稳态位置误差 。试确定 和 的值。0sevK,T解 )1()TsaGv待 定vaK由 时， ，可以判定：(tr0se1asTsKsavv )1()(1)()(TD)(系统单位阶跃响应收敛，系统稳定，因此必有： 。2v根据
28、单位阶跃响应曲线，有10)1(lim)(li)( 00 KasTssRhvs10lim)(li)(li)( 12 asTKk vsvss当 时，有0T21可得 10lim)0(2vsTKk10TvK当 时，有T可得 10li)0(2vsk02Tv3-35 复合控制系统结构图如图 3-67 所示，图中 ， ， ， 均为大于零的常数。1K21（1） 确定当闭环系统稳定时，参数 ， ， ， 应满足的条件；（2） 当输入 时，选择校正装置 ，使得系统无稳态误差。tVr0)()(sGC解 （1）系统误差传递函数2121212 )()()()()( KsTssGsTsKGREs cce 12321)()(
29、TsD列劳斯表 222101212123 0KsTs因 、 、 、 均大于零，所以只要 即可满足稳定条件。1K21T2 212KT（2）令 2121200 )()()(lim)(li KsssTGVsRse ces )(1li220sGKVcs可得 )(Gc3-36 设复合控制系统结构图如图 3-68 所示。图中 为前馈补偿装置的传递函数， 为测速发电机及分压电位器的传递函数， 和)(1c sKGtc)(2 )(1sG为前向通路环节的传递函数， 为可量测扰动。)(2s)(sN如果 ，试确定2211,K 、 和 1，)(1sc2c使系统输出量完全不受扰动的影响，且单位阶跃响应的超调量 ，峰值时间
30、%5。stp解 （1）确定 。由梅逊公式)(1Gc 0)()( 1122121 2KsGssNCcccn解得 )()( 11221 tcc KsGKs（2）确定 。由梅逊公式tK2121)(GsRc22112 nt sKs比较有 由题目要求 ntK15.0212npote可解得 72.403n47.02961Knt有 ssGtc.)(223)386.1()()11 sKsGtc3-37 已知系统结构图如图 3-69 所示。（1） 求引起闭环系统临界稳定的 值和对应的振荡频率 ；K（2） 当 时，要使系统稳态误差 ，试确定满足要求的 值范围。2)(tr5.0seK解 （1）由系统结构图 ssKs
31、REe 2)(1)2(1)( 2D23系统稳定时有 0)(j令 联立解出 0Ime3j 23（2）当 时，2)(tr3)(sRKsseses 12)(1limli 2300 令 ，有 ，综合系统稳定性要求，得： 。51Ks 2K3-38 系统结构图如图 3-70 所示。已知系统单位阶跃响应的超调量 % %，峰值时间 s。3.161pt（1） 求系统的开环传递函数 ；)(sG（2） 求系统的闭环传递函数 ；（3） 根据已知的性能指标 %、 确定系统参数 及 ；ptK（4） 计算等速输入 时系统的稳态误差。sr)(5.1)(解 （1） )10()1(0)( ssKsG24（2） 22210)()(
32、1)( nsKssGs （3）由 联立解出 13.622npoote263.05.n由（2） ，得出 。802K18.K（4） .263.01)(lim0 sGsv43.6.5vsAe3-39 系统结构图如图 3-71 所示。（1） 为确保系统稳定，如何取 值？K（2） 为使系统特征根全部位于 平面 的左侧， 应取何值？s1（3） 若 时，要求系统稳态误差 ，2)(tr 25.0se 应取何值？K解 )5(10sG1v（1） KsD)(23Routh： 050151)(02 KKss系统稳定范围： （2）在 中做平移变换： )(sD1ss50)1()(5)23 3602K25Routh： 72.05363650 4112323 KKss满足要求的范围是： 4.7.（3）由静态误差系数法当 时，令 2)(tr2.0es得 。8K综合考虑稳定性与稳态误差要求可得： 15
