1、乐山市高中 2017 届第一次调查研究考试理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 1aib(,)R，其中 i为虚数单位，则 ab（ ）A0 B1 C-1 D22.已知集合 2|30x，集合 |1,BnkZ，则 AB（ ）A , B , C 3, D 3,3.“ 2x”是“ ln(1)x”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4.如果 0ab，那么下列不等式成立的是（ ）A 1 B 2ab C. 2ab D 1ab5.某算法的程序框图如图
2、所示，若输出的 1y，则输入的 x可能为（ ）A-1 B1 C.1 或 5 D -1 或 16.已知向量 (,3)，向量 (4,2)BC，则 ABC的形状为（ ）A 等腰直角三角形 B等边三角形 C.直角非等腰三角形 D等腰非直角三角形7.已知 0a， ,xy满足约束条件120xya， 2zxy的最小值为-2，则 a（ ）A 12 B 32 C.1 D28.张丘建算经中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织 5 尺布，一月（按 30 天计）共织 390 尺布，则从第 2 天起每天比前一天多织（ ）尺布.A 12 B 815
3、 C. 1629 D 1639.函数 ()sin()(04fxx的图象与 x轴交点的横坐标构成一个公差为 3的等差数列，要得到函数 cog的图象，只需将 )f的图象（ ）A.向左平移 12个单位 B. 向右平移 4个单位C. 向左平移 4个单位 D. 向右平移 3个单位10.已知函数 ()ln1fx，则 ()yfx的图象大致为（ ）A B C. D11.如图所示，用一边长为 2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为 43的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A. B.C.D.12.已知函数3|log|,0()cs9
4、xf，若存在实数 1234,x，当 1234xx时，满足1234()()fxffxf，则 1234x的取值范围是（ ）A 97,4 B 5,) C.7,0) D 135(27,)4第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.设函数 ()1(23)fxxa为偶函数，则 a 14.在三角形 ABC中，点 ,EF满足 12AB， 2CFA，若 ExByAC，则 xy 15.小王同学骑电动自行车以 4/kmh的速度沿着正北方向的公路行驶，在点 处望见电视塔 S在电动车的北偏东 30方向上， 2in后到点 处望见电视塔在电动车的北偏东 75方向上，则电动车在点
5、 B时与电视塔 S的距离是 16.已知 ()l(0)fxax对于区间 1,3内的任意两个相异实数 12,x，恒有1212|ff成立，则实数 a的取值范围是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知 sinta3，且 0.（1）求 的值；（2）求函数 ()4sin()fxxa在 ,4上的值域.18. 如图所示，在四棱锥 SABCD中，底面 AB是菱形， SA平面 BCD， MN、 分别为SACD、的中点.（1）证明：直线 /MN平面 SBC；（2）证明：平面 D平面 A.19. 某企业拟用 10 万元投资甲、乙两种商品.已知各投入
6、x万元，甲、乙两种商品分别可获得 12,y万元的利润，利润曲线 1:nPyax， 2:ybxc，如图所示.（1）求函数 12,y的解析式；（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？20. 已知数列 na的前 项和 nS，点 *(,)nN在函数 21()fxx的图象上.（1）求数列 的通项公式；（2）设数列 21na的前 项和为 nT，不等式 1log()3na对任意正整数 n恒成立，求实数 a的取值范围.21.已知 2()l()1()1)fxxgkx， .（1）求 的单调区间；（2）当 k时，求证：对于 x， ()fx恒成立；（3）若存在 01x，使得当 0(1,时，恒有 ()fgx
7、成立，试求 k的取值范围.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知直线 l的参数方程为2.4.xty（ t是参数） ，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 cos().（1）判断直线 l与曲线 的位置关系；（2）过直线 上的点作曲线 的切线，求切线长的最小值. 23.设函数 ()|21|fxx.（1）解不等式 0；（2）若 0xR，使得 2()4fxm，求实数 的取值范围.乐山市高中 2017 届第一次调查研究考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题1-5:BCBDB 6-10: ABCAA 11、12：DD二、
8、填空题13. 23a 14. 16xy 15.42 16. 83a三、解答题17.解：（1） 2sinta3，且 0a.2si3coa， 2cos，s，解得 1c2或 c（舍） ，0a， 3.（2） ，()4sin()4sin(cossin)33fxxaxx23cosi()16x，0,4， 2,3，2sin(,x），则 216） ，()1,0fx18.解：（1）在直角梯形 ABCD中， 2，取 AB中点 E，连接 ，则四边形 为正方形， 2C,又 1，则 AB为等腰直角三角形， ，又 P平面 CD， B平面 ACD， ，由 A得 平面 P， 平面 ，所以 .（2）以 为坐标原点， ,ADB分别
9、 ,xyz为轴建立如图所示的坐标系，则 (0,)(,40)(2,)PC， ， ， (0,42)(,0)PBC， .由（1）知 BC即为平面 PA的一个法向量， 10cos, 5|，即 PB与平面 AC所成角的正弦值为 .19.解：（1）由题知 (1,.25)， (4,.)在曲线 1P上，则 .25,4na，解得 12n，即 15yx.又 (4,)在曲线 P上，且 0c，则 14b，则 1b，所以 214yx.（2）设甲投资 万元，则乙投资为 ()x万元，投资获得的利润为 y万元，则51(0)4yx2，令 ,1xt，则 22556()441ytt.当 t，即 6.x（万元）时，利润最大为 651
10、2万元，此时 103.75x（万元） ，答：当投资甲商品 6.25 万元，乙商品 3.75 万元时，所获得的利润最大值为 62万元.20.解：（1） 点 (,)nS在函数 2()fxx的图象上， nS.当 2n时， 211n，-得 a.当 时， 1S，符合上式.*()naN（2）由（1）得 21()na()，132421nnTaa( ) )421n 0()3T，数列 n单调递增，T中的最小项为 13T.要使不等式 log()na对任意正整数 n恒成立，只要 13，即 log()laa.解得 02，即实数 的取值范围为 1(0,).21.解：（1） 2fxx2(3)(，当 ()0fx时， 210
11、x.解得 35当 ()0fx时，解得 2x所以 ()f单调增区间为 35(,)，单调减区间为 35(,)2（2 ）设 )(hxfgx2ln(1)1k，当 k时，由题意，当 (,x时，()0hx恒成立 2(31) x)，当 1x时， ()0hx恒成立， ()hx单调递减又 ()h，当 ,x时， ()1x恒成立，即 ()0fxg对于 1， fg恒成立（3 ）因为2(3)xhk2(6xk由（2）知，当 时， ()fxg恒成立，即对于 1x， 22ln1()x，不存在满足条件的 0；当 k时，对于 x， 0，此时 2(1)()k 2ln(1)()xxk，即 ()fg恒成立，不存在满足条件的 0x；当
12、2k时，令 2()(6)(2)txk，可知 ()t与 h符号相同，当 0(,)x时， ()0tx， ()h，)h单调递减当 0(1,)x时， ()1x，即 fg恒成立综上， k的取值范围为 (,2)22.解：（1）由直线 l的参数方程消去参数 t得 l的方程为 42yx.4cos()cosin，22i，曲线 C的直角坐标方程为 220xyxy，即 22()()4xy.圆心 ,到直线 l的距离为 |4|622d，直线 l与圆 C的相离.（2）直线 上的点向圆 引切线，则切线长为22()(4)tt2284)3tst即切线长的最小值为 .23.解：（1）不等式 ()0fx可转化为 |21|x，即 2244x，即 38，解得 3x或 .即不等式的解集为 1|或 . （2）因为3,21(),2xfx，()fx的最小值为 15()f.0R，使得 204xm，即 x，使得 in4()fx，所以 25m，解得 152，故实数 的范围为 (,).
