1、1最优投资区域选择摘要本问题解决的是某投资者要到某市投资，首先要考虑当地工资水平，其次是市场便利安全性和市场规模，最后是办公成本。所以需要一种可靠性的定量的容易操作的，并且具有说服力的方法来帮助作出决策。本文采用定性和定量结合的层次分析法步骤，构成选择投资区域的评价指标体系，通过各因素重要程度比较与计算，最终确定出6个具体因素，建立层次分析结构模型，构造成对比较矩阵，计算权向量并作一致性检验，通过检验得到的组合权向量可以作为最终决策的依据.通过查看最后组合权向量结果 =（0.3665 0.3443 (3)w0.3000） T， 得出选择投资区域为A。本模型成功解决了投资者面对几个条件不一的投资
2、地时合理选择投资地。层次分析法是解决离散模型的普遍方法，在产业结构，教育，医疗，环境，军事等领域,得到了成功的应用。关键字：投资区域 层次分析法 权向量 一致性检验 2一 问题重述某投资者要到某市投资，在对这多个区域的各种条件进行了初步的分析之后，该投资者将他的选择定在了 A、B、C 三个区。下表是这三个区的相关信息试确定投资者应选择的区域。 选择变量选择因素A 区 B 区 C 区工资水平（元/人*年） 13000 112009500商务楼租金（元/米 2*天） 2.5 3 4市场规模 高 中 中交通便利性 堵塞 通畅 通畅与相关单位联络便利性 高 一般 较高社会安全 较高 高 较高二 模型假
3、设1.三个地区具备的其他条件差不多，不予考虑；2.考虑的每一个因素对于其他因素所产生的结果的影响微乎其微；3.假设在投资期间，工资水平，商务楼租金，市场规模等因素在一段时间内不会 出现幅度十分巨大的改变；4.题目所给可靠性高；5.假设只存在三个区域单独可供投资者选择，投资方案不进行几个区域组合选择。三 问题的分析A,B,C 三个投资地，受到多种因素的影响，具有层次性，因而用层次分析法来比较三种方案的优度是可行的，我们选择六个因素：工资水平，办公成品，市场规模，市场便利安全性，社会安全，单位联络便利性来建立模型并检验。四 模型的建立与求解（一） 符号的说明：O 选择投资区域B决策层C准则层A成对
4、比较矩阵31c 工资水平2办公成品3c市场规模4市场便利安全性5c社会安全6单位联络便利性0w权向量特征根n矩阵的秩CI一致性指标R一致性比率（i=1,2.6）(3)iw决策层对于准则层权向量()组合权向量RI一致性指标（二）.模型建立一建立层次结构图。4图一：投资的选择层次图二：构造准则层对于目标层成对比矩阵假设要比较准则层 4 个因素 , ， ， ， ， 对上层一个因素选择投1c234c56资区域 O 的影响。每次取两个因素 i和 j，用 aij表示表示 ic和 j表示对 O 的影响之比,全部比较结果可用对比比较距阵*=(a)ijnA , ij 0 , (1)表示。由（1）给出的 ij的特
5、点,A 称为正互反矩阵。显然比有 ia=1。在调查情况后，我们分析得出，市场上投资者在投资区域时所考虑的用 ，1c， ， ， ， 依次表示工资水平、办公成品、市场规模、市场便利安全2c345c6性，社会安全，单位联络便利性 6 个准则，构造 C-O 成对比较距阵（正互反阵）为：O1C23C45C611 5 4221 212153C452 1 1 1 142 1 1 1 152 1 1 1 16C452 1 1 1 1从矩阵上可以看出， 表示工资水平 对于办公成品 对选择投资区15=aC2C域这个目标的 重要性之比为 5:2； 表示工资水平 对于市场规模 对o13413选择投资区域这个目标 O
6、重要性之比为 5:4； 表示办公成品 对于工资21=5a2水平 之比为 2:5.可以看出此投资者在选择投资区域的时，最看重工资成本，1C其次是市场规模，市场便利性，社会安全，单位联络便利性，最后是办公成品。比较尺度：在进行定性的成对比矩阵时，人们头脑中通常有 5 种明显的等级，用 1-9 尺度可以方便地表示如表 1。表 1：1-9 尺度 aij的含义1 ic与 j的影响相同3 i与 j的影响稍强5 ic与 j的影响强7 i与 j的影响明显的强9 ic与 j的影响绝对的强2,4,6,8 i与 j的影响之比在上述两个相邻之间1,1/2,1/9 jc与 i的影响之比为上面个 aij的互反数三：计算权
7、向量和特征值并进行一致性检验计算权向量，对应于 A最大特征根（即作 ）的特征向量（归一化后）作为权向量 w，即 满足 6Aw= （2）直观地看，应为矩阵 的特征根和特征向量连续依赖于矩阵的元素 aij，所以当aij离一致性的要求不远时， 的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大。（2）式表示的方法称为有成对比矩阵求权向量的特征根法。我们用根法来求权向量：a.将 A的每一列向量归一化得 =1ijijnijaw；b. 对ijw按行求和得/=1nijijj（ ）；c.将ij归一化=1ini， w=（ 1， 2， nw)T 即为近似特征向量；d.计算 =1(A)nii，作为最大特征根的近似值。1.000
8、0 2.5000 1.2500 1.2500 1.2500 1.25000.4000 1.0000 0.5000 0.5000 0.5000 0.50000.8000 2.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 列向量归一化 A= 0.8000 2.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.00000.8000 2.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.00000.8000 2.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.00000.2174 0.2174 0.2174 0.2174 0.2174 0.21740.0870
9、0.0870 0.0870 0.0870 0.0870 0.08700.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 按行求和0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.17390.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.17390.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.17391.3044 0.2174 1.31790.5220 0.0870 0.52721.0434 0.1739 1.05431.0434 归一化 0.1739 = A = 1.05430w1.043
10、4 0.1739 1.05431.0434 0.1739 1.054371.3790.521.43.051.43.05=+=6.216487979（ ）一致性检验：成对比矩阵通常不是一致阵，但是为了你能用它的对应于特征矩阵根 的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应在容许范围内。据定理，n 阶正反矩阵 A的最大特征根 =n;当 =n 时 A是一致阵。 根据这个定理和 连续地依赖于 aij的事实可知， 比 n 大的挺多， 的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大。因而可以用 -n 数值的大小来衡量 的不一致程度。Saaty 将-=1nCI(3)定义为一致性指标。 I=0
11、 时 A一致阵； I越大 A的不一致程度越严重。为了确定 A的不一致程度的容许范围，需要找出衡量 的一致性指标 CI的标准。Saaty 又引入所谓随机一致性指标 CR。Saaty 对于不同的 n，用 100500个样本 算出的随机一致性指标 I的数值如表 2。表 2： 随机一致性指标 RI 的数值表中 n-1,2 时 RI=0,是因为 1，2 阶的正互反阵总是一致阵。对于 n3 的成对比较阵 A，将它的一致性指标 CI 与同阶（指 n 相同）的随机一致性的指标 RI 之比成为一致性比率 CR 当0.1CIR（4） 是认为 A的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量。权向量检验：根据
12、上面计算结果， =6.0621,按公式（3）计算，,在表6.021-=.4CI2 中查 按（4）式计算， ，一致性检验通过，上=1.RI 0.124=.BA.A 区的总权重最大,为 0.3665,因此，最优选择投资地应为区 A,其次是 B 区，C 区.五模型分析与评价从层次总排序的结果可以看出，在选择投资区域评价体系中，各指标权重从大到小依次为：工资水平，其次是市场便利安全性和市场规模，最后是办公成本。从得出的结论来看，权重最大说明考虑的越多，优越性更强。得出的结论也为投资者在选择区域时提供了依据。层次分析法是解决离散模型的普遍方法。模型的优点：系统性：将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综
13、合的思维方式进行决策系统分析（与机理分析、测试分析并列） ；实用性：此模型把定性与定量相结合，是复杂的系统分解，能处理传统的优化方法不能解决的问题，能将人们的思维过程数学化、系统化，便于人们接受；简洁性：计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。层次分析法的局限。模型的缺点：囿旧：只能从原方案中选优，而不能为决策者提供解决的新方案，对于投资者而言，用层次分析法计算出已知方案中的最优者，然后指出了已知方案中的不足，又或者甚至在提出改进方案，但显然，我们所建立的模型还没能做到16这点；粗略：定性化为定量，结果粗糙；主观：主观因素作用大，结果可能难以服人，对于同一个问题，指标太多，大家反而更难确
14、定方案了；六参考文献1将启源，谢金星，叶俊 数学建模,高等教育出版社 20112周明华，邬学军，周凯，李春燕 ,MATLAB 实用教程 浙江工业大学 应用数学系 20113马燕燕，余再星，孙徐炜.谈层次分析法再就业中的应用.数理信息学院.4陈建勇 陈旭东 田垚暐.层次分析法在大学生择业问题中的应用.结构 901附录一：准则层对于目标层的矩阵求特征向量的过程程序：17A=1 5/2 5/4 5/4 5/4 5/4;2/5 1 1/2 1/2 1/2 1/2;4/5 2 1 1 1 1;4/5 2 1 1 1 1;4/5 2 1 1 1 1;4/5 2 1 1 1 1;w=0.2174 0.087
15、0 0.1739 0.1739 0.1793 0.1793;a=A*wa =1.31790.52721.05431.05431.05431.0543C1-B 矩阵权重画图x=0.2834 0.3289 0.3877;pie(x,A 区 0.2834,B 区 0.3289,C 区 0.3877)C1-B 矩阵求特征向量和权向量：A=1 0.8614 0.7307;1.1610 1 0.8483;1.3685 1.1788 1;x,y=eig(A)x =0.4868 -0.5765 0.28570.5651 0.8020 0.40510.6661 -0.1565 -0.868518y =3.000
16、0 0 00 -0.0000 00 0 0.0000C=x(:,2)/sum(x(:,2)C =-8.349611.6159-2.2663C2-B 权重比重画图：x=0.4068 0.3390 0.2542;pie(x,A 区 0.4068,B 区 0.3390,C 区 0.2542)C3-B 矩阵求特征向量和权向量：A=1 5 5;1/5 1 1;1/5 1 1;x,y=eig(A)x =-0.9901 0.9623 -0.87670.0990 0.1925 -0.24100.0990 0.1925 0.4164y =19-0.0000 0 00 3.0000 00 0 0.0000C=x(
17、:,2)/sum(x(:,2)C =0.71430.14290.1429C4-B 矩阵求特征向量和权向量：A=1 1/5 1/5;5 1 1;5 1 1;x,y=eig(A)x =-0.2722 0.1400 0.01380.6804 0.7001 -0.74070.6804 0.7001 0.6717y =0.0000 0 00 3.0000 00 0 0.000020C=x(:,2)/sum(x(:,2)C =0.09090.45450.4545C5-B 矩阵求特征向量和权向量：A=1 1/4 1;4 1 4;1 1/4 1;x,y=eig(A)x =-0.4364 0.2357 -0.0
18、0000.8729 0.9428 -0.97010.2182 0.2357 0.2425y =-0.0000 0 00 3.0000 00 0 -0.0000C=x(:,2)/sum(x(:,2)C =0.16670.6667210.1667C6-B 矩阵求特征向量和权向量：A=1 5 5/3;1/5 1 1/3;3/5 3 1;x,y=eig(A)x =-0.9535 0.8452 0.59210.0953 0.1690 -0.35890.2860 0.5071 0.7215y =0 0 00 3.0000 00 0 0.0000C=x(:,2)/sum(x(:,2)C =0.55560.1
19、1110.3333组合权向量的程序：w0=0.2174 0.0870 0.1739 0.1739 0.1793 0.1793;22w1=0.2833 0.3289 0.3878;w2=0.4068 0.3390 0.2542;w3=0.7142 0.1429 0.1429;w4=0.0909 0.4545 0.4545;w5=0.1667 0.6667 0.1667;w6=0.5556 0.1111 0.3333;w=w1 w2 w3 w4 w5 w6*w0w =0.36650.34430.3000计算一致性比率的程序：w0=0.2174 0.0870 0.1739 0.1739 0.1793 0.1793; CI=0 0 0 0 0 0;RI=0.58 0.58 0.58 0.58 0.58 0.58;CI2=CI*w0;RI2=RI*w0;CR2=CI2/RI2CR2 =0OVER23
