1、2.3.4 平面与平面垂直的性质一、教材分析空间中平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点：（1）它是立体几何中最难、最“高级”的定理.(2)它往往又是一个复杂问题的开端，即先由面面垂直转化为线面垂直，否则无法解决问题.因此，面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理.二、教学目标1知识与技能（1）使学生掌握平面与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3）了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.2过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认
2、，获得对性质定理正确性的认识；3情感、态度与价值观通过“直观感知、操作确认、推理证明” ，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.三、教学重点与难点教学重点:平面与平面垂直的性质定理 .教学难点:平面与平面性质定理的应用 .四、课时安排1 课时五、教学设计（一）复习（1）面面垂直的定义.如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.（2）面面垂直的判定定理.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.两个平面垂直的判定定理符号表述为： AB.两个平面垂直的判定定理图形表述为：图 1（二）导入新课思路 1.(情境导入)黑板所在平
3、面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？思路 2.(事例导入)如图 2，长方体 ABCDABCD中，平面 AADD与平面 ABCD 垂直,直线 AA 垂直于其交线 AD.平面 AADD内的直线 AA 与平面 ABCD 垂直吗？图 2（二）推进新课、新知探究、提出问题如图 3,若 ,=CD,AB,ABCD,ABCD=B.请同学们讨论直线 AB 与平面 的位置关系.图 3用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明.设平面 平面 ,点 P,Pa,a,请同学们讨论直线 a 与平面 的关系.分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的难点.总结应用面面垂直的性质定理的口诀
4、.活动:问题 引导学生作图或借助模型探究得出直线 AB 与平面 的关系.问题 引导学生进行语言转换.问题 引导学生作图或借助模型探究得出直线 a 与平面 的关系.问题 引导学生回忆立体几何的核心，以及平面与平面垂直的性质定理的特点.问题 引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀.讨论结果：通过学生作图或借助模型探究得出直线 AB 与平面 垂直,如图 3.两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图 4.图 4两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为： BCDAAB.两个平面垂直的性
5、质定理证明过程如下：图 5如图 5，已知 ,=a,AB，ABa 于 B.求证：AB .证明：在平面 内作 BECD 垂足为 B,则ABE 就是二面角 CD 的平面角.由 ,可知 ABBE.又 ABCD，BE 与 CD 是 内两条相交直线,AB.问题 也是阐述面面垂直的性质，变为文字叙述为：求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.下面给出证明.如图 6,已知 ，P ，P a，a.求证：a .图 6证明：设 =c，过点 P 在平面 内作直线 bc，,b.而 a，P a,经过一点只能有一条直线与平面 垂直, 直线 a 应与直线 b 重合.那么 a
6、.利用“同一法” 证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线 b，不易想到，二是证明直线 b 和直线 a 重合，相对容易些.点 P 的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上.我认为立体几何的核心是：直线与平面垂直，因为立体几何的几乎所有问题都是围绕它展开的，例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁，而且由它还可以转化为线线平行，即使作线面角和二面角的平面角也离不开它.两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线，因此它是立体几何中最重要的定理.应用面面垂直的性质定理口诀是：“见到面面垂直，立
7、即在一个平面内作交线的垂线”.（四）应用示例思路 1例 1 如图 7，已知 ，a,a ,试判断直线 a 与平面 的位置关系.图 7解:在 内作垂直于 与 交线的垂线 b,b.a,ab.a,a.变式训练如图 8,已知平面 交平面 于直线 a.、 同垂直于平面 ，又同平行于直线 b.求证：(1)a；(2)b .图 8 图 9证明：如图 9,(1)设 =AB，=AC. 在 内任取一点 P 并在 内作直线 PMAB，PNAC.， PM.而 a，PMa.同理,PN a.又 PM ，PN ，a.(2)在 a 上任取点 Q，过 b 与 Q 作一平面交 于直线 a1，交 于直线 a2.b，ba 1.同理,ba
8、 2.a1、a 2 同过 Q 且平行于 b，a 1、a 2 重合.又 a1，a 2 ，a 1、a 2 都是 、 的交线，即都重合于 a.ba1，ba.而 a，b .点评：面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直，见到面面垂直首先考虑利用性质定理，其口诀是：“ 见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.例 2 如图 10，四棱锥 PABCD 的底面是 AB=2，BC= 2的矩形，侧面 PAB 是等边三角形，且侧面PAB底面 ABCD.图 10 图 11（1）证明侧面 PAB侧面 PBC；（2）求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角；（3）求直线 AB 与平面 PCD 的距离.（1）
9、证明：在矩形 ABCD 中，BCAB,又 面 PAB底面 ABCD,侧面 PAB底面 ABCD=AB,BC侧面 PAB.又 BC侧面 PBC,侧面 PAB侧面 PBC.（2）解：如图 11,取 AB 中点 E，连接 PE、CE, 又PAB 是等边三角形, PEAB.又 侧面 PAB底面 ABCD， PE面 ABCD.PCE 为侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角.PE= 23BA= ,CE= 2BCE= 3,在 RtPEC 中， PCE=45为所求.（3）解：在矩形 ABCD 中，ABCD,CD侧面 PCD，AB 侧面 PCD，AB侧面 PCD.取 CD 中点 F，连接 EF、PF，则 EFA
10、B.又 PEAB,AB平面 PEF.又 ABCD,CD平面 PEF.平面 PCD平面 PEF.作 EGPF，垂足为 G，则 EG平面 PCD.在 RtPEF 中，EG= 530PFEC为所求.变式训练如图 12，斜三棱柱 ABCA1B1C1 的棱长都是 a，侧棱与底面成 60角，侧面 BCC1B1面 ABC.求平面 AB1C1 与底面 ABC 所成二面角的大小.图 12活动:请同学考虑面 BB1C1C面 ABC 及棱长相等两个条件，师生共同完成表述过程，并作出相应辅助线.解： 面 ABC面 A1B1C1，则面 BB1C1C面 ABC=BC,面 BB1C1C面 A1B1C1=B1C1,BCB1C
11、1，则 B1C1面 ABC.设所求两面交线为 AE，即二面角的棱为 AE,则 B1C1AE，即 BCAE.过 C1 作 C1DBC 于 D， 面 BB1C1C面 ABC,C1D面 ABC，C 1DBC.又C 1CD=60,CC1=a,故 CD= 2a,即 D 为 BC 的中点.又ABC 是等边三角形,BC AD.那么有 BC面 DAC1,即 AE面 DAC1.故 AEAD，AEAC 1,C1AD 就是所求二面角的平面角.C1D= 23a， AD= a，C 1DAD,故C 1AD=45.点评:利用平面与平面垂直的性质定理,找出平面的垂线是解决问题的关键.思路 2例 1 如图 13，把等腰直角三角
12、形 ABC 沿斜边 AB 旋转至ABD 的位置，使 CD=AC,图 13（1）求证：平面 ABD平面 ABC；（2）求二面角 CBDA 的余弦值.（1）证明：(证法一):由题设 ,知 AD=CD=BD,作 DO平面 ABC，O 为垂足，则 OA=OB=OC.O 是ABC 的外心，即 AB 的中点.O AB，即 O平面 ABD.OD平面 ABD.平面 ABD平面 ABC.(证法二): 取 AB 中点 O，连接 OD、OC,则有 ODAB， OCAB，即COD 是二面角 CABD 的平面角.设 AC=a，则 OC=OD= a2,又 CD=AD=AC,CD=a.COD 是直角三角形，即COD=90.
13、二面角是直二面角，即平面 ABD平面 ABC.（2）解:取 BD 的中点 E，连接 CE、OE、OC,BCD 为正三角形， CEBD.又BOD 为等腰直角三角形,OE BD.OEC 为二面角 CBDA 的平面角.同（1）可证 OC平面 ABD,OCOE.COE 为直角三角形.设 BC=a，则 CE= 23a，OE= 1a,cosOEC= 3CEO即为所求.变式训练如图 14，在矩形 ABCD 中，AB=33,BC=3，沿对角线 BD 把BCD 折起，使 C 移到 C，且 C在面ABC 内的射影 O 恰好落在 AB 上.图 14（1）求证：AC BC；（2）求 AB 与平面 BCD 所成的角的正
14、弦值；（3）求二面角 CBDA 的正切值.（1）证明：由题意,知 CO面 ABD,COABC,面 ABC面 ABD.又 ADAB,面 ABC面 ABD=AB,AD面 ABC.ADBC.BCCD,BC面 ACD.BCAC.(2)解:BC面 ACD,BC面 BCD,面 ACD面 BCD.作 AHCD 于 H,则 AH面 BCD,连接 BH,则 BH 为 AB 在面 BCD 上的射影,ABH 为 AB 与面 BCD 所成的角.又在 RtACD 中,CD=33,AD=3,AC=3 2.AH= 6.sinABH= 32ABH,即 AB 与平面 BCD 所成角的正弦值为 32.(3)解:过 O 作 OGB
15、D 于 G,连接 CG,则 CGBD,则CGO 为二面角 CBDA 的平面角.在 RtACB 中,CO= 6C,在 RtBCD 中,CG= 23BD.OG= 2CG= .tanCGO= 2OGC,即二面角 CBDA 的正切值为 .点评:直线与平面垂直是立体几何的核心,它是证明垂直问题和求二面角的基础,因此利用平面与平面垂直的性质定理找出平面的垂线,就显得非常重要了.例 2 如图 15,三棱柱 ABCA1B1C1 中， BAC=90，AB=BB 1=1，直线 B1C 与平面 ABC 成 30角，求二面角 BB1CA 的正弦值.图 15活动:可以知道，平面 ABC 与平面 BCC1B1 垂直，故可
16、由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线.解：由直三棱柱性质得平面 ABC平面 BCC1B1，过 A 作 AN平面 BCC1B1，垂足为 N，则 AN平面 BCC1B1（AN 即为我们要找的垂线）,在平面 BCB1 内过 N 作 NQ棱 B1C，垂足为 Q，连接 QA，则NQA 即为二面角的平面角.AB1 在平面 ABC 内的射影为 AB，CA AB，CAB1A.AB=BB1=1，得 AB1= 2.直线 B1C 与平面 ABC 成 30角， B1CB=30，B 1C=2.在 RtB1AC 中，由勾股定理,得 AC= .AQ=1.在 RtBAC 中，AB=1 ，AC= 2，得 AN
17、= 36.sinAQN= AQN= 36,即二面角 BB1CA 的正弦值为 .变式训练如图 16，边长为 2 的等边PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面，BC=2 2，M 为 BC 的中点.(1)证明：AM PM；(2)求二面角 PAMD 的大小.图 16 图 17(1)证明：如图 17,取 CD 的中点 E，连接 PE、EM、EA,PCD 为正三角形,PECD，PE=PDsin PDE=2sin60= 3.平面 PCD平面 ABCD,PE平面 ABCD.四边形 ABCD 是矩形,ADE、ECM、ABM 均为直角三角形.由勾股定理可求得 EM= 3，AM= 6，AE=3,EM2+
18、AM2=AE2.AMEM.又 EM 是 PM 在平面 ABCD 上的射影, AME=90.AMPM.(2)解:由 (1)可知 EMAM，PMAM,PME 是二面角 PAMD 的平面角.tanPME= 3EMP=1.PME=45.二面角 PAMD 为 45.（五）知能训练课本本节练习.（六）拓展提升(2007 全国高考,理 18)如图 18,在三棱锥 SABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形,BAC=90,O为 BC 中点.(1)证明 SO平面 ABC;(2)求二面角 ASCB 的余弦值.图 18 图 19(1)证明：如图 19,由题设,知 AB=AC=SB=SC=SA.连接
19、OA,ABC 为等腰直角三角形,所以OA=OB=OC= 2SA,且 AOBC.又 SBC 为等腰三角形,故 SOBC,且 SO= 2SA.从而 OA2+SO2=SA2.所以 SOA 为直角三角形,SOAO.又 AOBC=O,所以 SO平面 ABC.(2)解:如图 19,取 SC 中点 M,连接 AM、OM,由(1),知 SO=OC,SA=AC,得 OMSC,AMSC.所以OMA 为二面角 ASCB 的平面角.由 AOBC,AOSO,SOBC=O,得 AO平面 SBC.所以 AOOM.又 AM= 23SA,故sinAMO= 6AMO.所以二面角 ASCB 的余弦值为 3.（七）课堂小结知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.（八）作业课本习题 2.3 B 组 3、4.
