1、1第八节 函数与方程考纲传真 (教师用书独具)结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数(对应学生用书第 27 页)基础知识填充1函数的零点(1)定义：函数 y f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点(2)函数零点与方程根的关系：方程 f(x)0 有实根函数 y f(x)的图像与 x 轴有交点函数 y f(x)有零点(3)零点存在性定理若函数 y f(x)在闭区间 a， b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即 f(a)f(b)0，则在区间( a， b)内，函数 y f(x)至少有一个零点，即相应方程 f(x)0 在区间
2、( a， b)内至少有一个实数解(4)二分法：对于在区间 a， b上连续不断且 f(a)f(b)0 的函数 y f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点所似值的方法叫作二分法2二次函数 y ax2 bx c(a0)的图像与零点的关系 b24 ac 0 0 0二次函数y ax2 bx c (a0)的图像与 x 轴的交点 (x1,0)，( x2,0) (x1,0) 无交点零点个数 2 1 0知识拓展 有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之
3、间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)函数的零点就是函数的图像与 x 轴的交点( )(2)函数 y f(x)在区间( a， b)内有零点(函数图像连续不断)，则 f(a)f(b)0.( )(3)若函数 f(x)在( a， b)上单调且 f(a)f(b)0，则函数 f(x)在 a， b上有且只2有一个零点( )(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值( )(5)二次函数 y ax2 bx c 在 b24 ac0 时没有零点( )答案 (1) (2) (
4、3) (4) (5)2函数 f(x)ln x 的零点所在的区间是( )2xA(1,2) B(2,3)C 和(3,4) D(4，)(1e， 1)B 易知 f(x)为增函数，由 f(2)ln 210， f(3)ln 3 0，得 f(2)f(3)230.故选 B3下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A ycos x B ysin xC yln x D y x21A 由于 ysin x 是奇函数； yln x 是非奇非偶函数， y x21 是偶函数但没有零点，只有 ycos x 是偶函数又有零点4(教材改编)函数 f(x)e x3 x 的零点个数是( )A0 B1 C2 D3B f(1) 30，
5、 f(0)10，1e f(x)在(1,0)内有零点，又 f(x)为增函数，函数 f(x)有且只有一个零点5函数 f(x) ax12 a 在区间(1,1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是_函数 f(x)的图像为直线，(13， 1)由题意可得 f(1) f(1)0，(3 a1)(1 a)0，解得 a1，13实数 a 的取值范围是 .(13， 1)(对应学生用书第 28 页)判断函数零点所在区间3(1)已知函数 f(x)ln x 的零点为 x0，则 x0所在的区间是( )(12)x 2 A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)(2)(2018北京东城区综合练习(二)已知函数 f(
6、x)ln x2 x6 的零点在(kZ)内，那么 k_.(k2， k 12 )(1)C (2)5 (1) f(x)ln x 在(0，)上是增函数，(12)x 2 又 f(1)ln 1 ln 120，(12) 1 f(2)ln 2 0，(12)0 f(3)ln 3 0，(12)1 x0(2,3)，故选 C(2) f( x) 20， x(0，)， f(x)在 x(0，)上单调递增，且 f1xln 10， f(3)ln 30， f(x)的零点在 内，则整数 k5.(52) 52 (52， 3)规律方法 判断函数零点所在区间的方法1 解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上来
7、判断.2 利用零点存在性定理进行判断.3 数形结合画出函数图像，通过观察图像与 x 轴在给定区间内是否有交点来判断.跟踪训练 (1)设 f(x)ln x x2，则函数 f(x)的零点所在的区间为( )A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)(2)函数 f(x) x23 x18 在区间1,8上_(填“存在”或“不存在”)零点(1)B (2)存在 (1)函数 f(x)的零点所在的区间可转化为函数 g(x)ln x， h(x) x2 图像交点的横坐标所在的取值范围作图如下：4可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2)(2)法一： f(1)1 23118200，f(8)8 23818220
8、， f(1)f(8)0，又 f(x) x23 x18， x1,8的图像是连续的，故 f(x) x23 x18 在 x1,8上存在零点法二：令 f(x)0，得 x23 x180，( x6)( x3)0. x61,8， x31,8 ， f(x) x23 x18 在 x1,8上存在零点判断函数零点的个数(1)函数 f(x)| x2|ln x 在定义域内的零点的个数为( )A0 B1C2 D3(2)(2017秦皇岛模拟)函数 f(x)Error!的零点个数是_. 【导学号：79140061】(1)C (2)3 (1)由题意可知 f(x)的定义域为(0，)在同一直角坐标系中画出函数 y| x2|( x0
9、)， yln x(x0)的图像，如图所示：由图可知函数 f(x)在定义域内的零点个数为 2.(2)当 x0 时，作函数 yln x 和 y x22 x 的图像，由图知，当 x0 时， f(x)有 2 个零点；当 x0 时，由 f(x)0 得 x ，14综上， f(x)有 3 个零点规律方法 判断函数零点个数的三种方法1 解方程法：所对应方程 f x 0 有几个不同的实数解就有几个零点.52 零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断.3 数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题.先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数.跟踪训练 (1)函
10、数 f(x)0.9 x x 的零点个数是( )221A0 个 B1 个C2 个 D3 个(2)函数 f(x)2 x|log0.5x|1 的零点个数为( )A1 B2C3 D4(1)B (2)B (1)因为 f(x)0.9 x x，则函数 f(x)为减函数，值域为 R，所以函数221f(x)的图像必与 x 轴有一个交点，即方程 0.9x x0 有一解221(2)令 f(x)2 x|log0.5x|10，可得|log 0.5x| .(12)x 设 g(x)|log 0.5x|， h(x) ，在同一坐标系下分别画出函数 g(x)， h(x)的图像，(12)x 可以发现两个函数图像一定有 2 个交点，
11、因此函数 f(x)有 2 个零点函数零点的应用(1)设函数 f(x)e x x2， g(x)ln x x23.若实数 a， b 满足 f(a)0， g(b)0，则( )A g(a)0 f(b) B f(b)0 g(a)C0 g(a) f(b) D f(b) g(a)0(2)(2016山东高考)已知函数 f(x)Error!其中 m0.若存在实数 b，使得关于 x的方程 f(x) b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_(1)A (2)(3，) (1) f(x)e x x2， f( x)e x10，6则 f(x)在 R 上为增函数，又 f(0)e 020， f(1)e10，且 f(a)0，0
12、a1. g(x)ln x x23， g( x) 2 x.1x当 x(0，)时， g( x)0， g(x)在(0，)上为增函数，又 g(1)ln 1220， g(2)ln 210，且 g(b)0，1 b2， a b，Error! 故选 A(2)作出 f(x)的图像如图所示当 xm 时， x22 mx4 m( x m)24 m m2，要使方程 f(x) b 有三个不同的根，则有 4m m20.又 m0，解得 m3.规律方法 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法1 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.2 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.
13、3 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.跟踪训练 (1)已知函数 f(x)e x x， g(x)ln x x， h(x)ln x1 的零点依次为a， b， c，则( )A a b c B c b aC c a b D b a c(2)函数 f(x)2 x a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a 的取值范围是( ) 2x【导学号：79140062】A(1,3) B(1,2)C(0,3) D(0,2)(1)A (2)C (1)e a a， a0，ln b b，且 b0，0 b1，ln c1， ce1，故选 A7(2)函数 f(x)2 x a 在区间(1,2)上单调递增，又函数 f(x)2 x a 的一2x 2x个零点在区间(1,2)内，则有 f(1)f(2)0，( a)(41 a)0，即 a(a3)0，0 a3.
