1、1立体几何之一 建系困难一、（2018广东珠海高三3月质量检测考试）如图，四棱锥 PABCD中， AB ， 12CD， 16AB， 10PB， 413AD，63D，点 E为 中点.（1）求证： ；（2）求直线 B与平面 P所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2） 6127.【解析】（1）证明：取 AB中点 F，连接 P、 D， 10PA， 413D， ABF， ， F， 平面 ， 平面 ， B，又 CAB ， PC.（2）解：过 P做 OF于 ， A平面 D， 平面 ， ， ， 平面 ABD.过 做 GB 交 C于 ，则 P、 OF、 G两两垂直，以 OF， ， 分别为 ,xyz轴建立如图
2、所示空间直角坐标系 Oxyz， 16A， 10P， 413ADB， 6P，点 为 中点， ， 2， 22FP， FD， 3O， ， 9O. C ， AB， CDGB ， ，四边形 F是矩形， 8DGFB，2 0,3P， 9,0D， 3,80B， 9,80C， E为 中点， ,2E， 153,82B， 9,03P， 0,8CD.设平面 PCD的法向量 0,xyzn，由 093 8n，得 003 x，令 01x，得 0z，则 1,n，则 n与 EB所成角设为 ，其余角就是直线 BE与平面 PCD所成角，设为 ，si co 6271，直线 BE与平面 PCD所成角的正弦值为 6127.二、(2018
3、 河北唐山高三第一次模拟考试)如图，在三棱柱 1ABC中，平面 1ABC平面 1， 90BAC.（1）证明： ；（2）若 1 是正三角形， 2，求二面角 1的大小.3【答案】（1）见解析；（2） 3【解析】（1）过点 B1作 A1C的垂线，垂足为 O，由平面 A1B1C平面 AA1C1C，平面 A1B1C平面 AA1C1C A1C，得 B1O平面 AA1C1C，又 AC平面 AA1C1C，得 B1O AC由 BAC90， AB A1B1，得 A1B1 AC又 B1O A1B1 B1，得 AC平面 A1B1C又 CA1 平面 A1B1C，得 AC CA1 （2）以 C为坐标原点，的方向为 x轴正
4、方向， A为单位长，建立空间直角坐标系 C-xyz由已知可得 A(1，0，0)， A1(0，2，0)， B1(0，1， 3)所以 (1,)， (,0)， (0, 设 n( x， y， z)是平面 A1AB的法向量，则10AB，即230xyz，可取 (23,1)n设 m( x， y， z)是平面 ABC的法向量，则0CA,即 z，可取 (,31)则 1cos2nm,又因为二面角 A1-AB-C为锐二面角，所以二面角 A1-AB-C的大小为 3三、(2018 广东深中、华附、省实、广雅四校高三联考)已知四棱锥 PABCD，底面 为菱形， ,PDBH为 C上的点，过 AH的平面分别交 ,PBD4于点
5、 ,MN，且 BD 平面 AMHN（1）证明： PC；（2）当 H为 的中点， 3B， PA与平面 BCD所成的角为 60，求二面角 PAMN的余弦值【答案】（1）见解析；（2） 391【解析】（1）证明：连结 AC交 BD于点 O，连结 P因为 ABCD为菱形，所以 ，且 为 AC、 BD的中点，因为 P，所以 P，因为 O且 、 平面 ，所以 平面 A，因为 平面 ，所以 BD因为 BD 平面 AMHN， 平面 P，且平面 MHN平面 PBDN，所以 ，所以 C（2）由（1）知 且 O，因为 AC，且 O为 A的中点，所以 PO，所以 平面 BD，所以 与平面 所成的角为 O，所以，所以 13,2AP，因为 3PB，所以 36P分别以， B，为 ,xyz轴，建立如图所示空间直角坐标系，设 2P，则 330,1,0,10,0,OBCD30,3,2H，所以 33,0,0,1,0,1,032DBAABAP5记平面 AMHN的法向量为 11,xyzn，则11230 DByAHxzn，令 10x，则 1,3yz，所以 1,03，记平面 PAB的法向量为 22,xyzn，则 22230 BxyAPzn，令 21x，则 223,yz，所以 21,3， 记二面角 PAMN的大小为 ，则 121239cos,n所以二面角 的余弦值为 391
