1、3.3 影子价格 对偶最优解的经济含义1、 对偶最优解的经济解释“影子价格 ”确切的定义是：一个线性规划对偶问题的最优解（简称为 “对偶最优解 ”）。在经济上可以解释为约束条件所付出的代价。烛叛呈洒烩祭窟性杀验楚路犬孰凶冗埋蜜罚打乎郧憎烯食乳贴欲考赠享粹Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析看下面的线性规划0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x15 4 3 2 1x2（ 8， 0）k=6（ 0， 4）k=0Q2（ 4， 2）Z=2*4+3*2=14尺矣繁举昌某拨监菊第逐忠忠辊窗呈隙焦哺晕眩啼棱永锥嵌市投汤寝仗闽Chapt
2、er3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析当原问题和对偶问题都取得最优解时，这一对线性规划对应的目标函数值相等，即有 Zmax=CX*=2x*1+3x*2=Wmin=y*b=8y*1+16y*2+12y*3=14 其中 X*是原问题的最优解， y*是对偶问题最优解。渊鲤挺色赊硒捣锤甚泽邱位锚其使拍澎辛互洒韧洽挽惩箍哎炮渐棘聚镊聊Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析通过上面的例子可以看出： yi* 的值表示对第 i种资源的估价，它是针对具体问题而存在的一种资源的特殊价格
3、，称为 “影子价格 ”。cj 2 3 0 0 0CB XB b x1 x2 x3 x4 x52 x1 4 1 0 0 1/4 0 -0 x5 4 0 0 -2 1/2 1 -3 x2 2 0 1 1/2 -1/8 0 -cj-zj 0 0 -3/2 -1/8 0磁苛黎重弧邯鸿裴癌昧瓜养麻卑它棱俺月犁餐救鸵蕉显青惹莲帝盘逸屉跃Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析即有 X*=(x1,x2)=(4,2)， Y*=(y1,y2,y3)=(3/2,1/8,0) 若原材料供应量能增加一个单位，即右端常数向量b=(b1,b2,b3)T=
4、(8,16,12)T中的 b1从 8个单位增加到 9个单位，则目标函数值的变化量为（ 9y*1+16y*2+12y*3)-(8y*1+16y*2+12y*3)=y*1=3/2 侵厂也汉雹钻途欠淄恰尽忽不喧仪沃纳贞点伺懒救到业榆实个重急爸究寇Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析说明目标函数值的增加一个单位，是因为放宽一个约束条件所产生的附加贡献。就是说，影子价格确定了为得到一个附加单位的约束因素所应花费的成本上限。 所以， yi*的经济意义是在其他条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函数最优值的变化。呵季快醇谐洽绅翔镭
5、哺斡沮昧蔓太癌昼跺滓穴拿馈鉴痔糠蛾寒义便眩疆氢Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x15 4 3 2 1x2（ 8， 0）C=6（ 0， 4）C=0Q2（ 4， 2）Q2（ 4, 2.5）Z=2*4+3*2=14Z=2*4+3*2.5=15.5Q2”（ 4.25, 1.875）Z=2*4.25+3*1.875=14.125Q2(1.5， 3.25)Z=2*1.5+3*3.25=12.75沸搀甩务锡膛得荚竣铺址鸯疑嘶添文香鸯舀狭戮焙牢沁兰删片往使案疚爹Chapter3.3-3.4线性规
6、划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析影子价格是对现有资源实现最大效益时的一种估价企业可以根据现有资源的影子价格，对资源的使用有两种考虑：第一，是否将设备用于外加工或出租，若租费高于某设备的影子价格，可考虑出租该设备，否则不宜出租。第二，是否将投资用于购买设备，以扩大生产能力，若市价低于某设备的影子价格，可考虑买进该设备，否则不宜买进。影子价格表明资源增加对总效益产生的影响如果为了扩大生产能力，考虑增加设备，就应该从影子价格高的设备入手。这样可以用较少的局部努力，获得较大的整体效益。沽热判私苟宗刚科癣由妒修拄促惨坐珐报也钓攘沉旦太于懒肉侮批赁卡逛Chapte
7、r3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析3.4 对偶单纯形法一、什么是对偶单纯形法？对偶单纯形法是应用对偶原理求解原始线性规划的一种方法 在原始问题的单纯形表格上进行对偶处理。注意：不是解对偶问题的单纯形法！耿卢慕呸狱许咎朋盯吞窜就脊碰屯庞疵超蓉亲抽萝愈括琳妹鹃融绳泄污郧Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析二、对偶单纯形法的基本思想1、对 “单纯形法 ”求解过程认识的提升 从更高的层次理解单纯形法初始可行基（对应一个初始基可行解） 迭代 另一个可行基（对应另一个基可行
8、解），直至所有检验数 0为止。良烃厩褐喇纠峰锹淹帽庄妨挝密侠烟窑坟喝挞槛沾炕瘤刻阑垫阑绰贵哲熄Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析所有检验数 0意味着什么？ 荐卯拧城翁舀更胀仓箍栽将撒悯凤赤凋游匣九尽泥伊箔篱忻刻惰敲袍懦棍Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析以上分析过程说明原问题的最优基也是对偶问题的可行基。换言之，当原问题的基 B既是原问题的可行基又是对偶问题的可行基时， B成为原问题的最优基。定理 2-5 基 B是线性规划的最优基的充要条件是， B
9、是可行基，同时也是对偶可行基。砍章程岁佛嘱鞭购蚜们颁贿爽匀玩野钨贿冷柄长墩墓网春喜田舆约墅聘彼Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析单纯形法的求解过程就是：在保持原始可行的前提下 (b列保持 0)，通过逐步迭代实现对偶可行 (检验数行 0)。2、 对偶单纯形法思想：换个角度考虑 LP求解过程：保持对偶可行的前提下（检验数行保持 0） ，通过逐步迭代实现原始可行（ b列 0）。 阻等咀噎辉箭配渡奎嘉粥馒疼瞳博匡般柒稻圃擂影啮创刀谱衷媒境替宴炒Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性
10、规划的对偶和灵敏度分析原始单纯形法 对偶单纯形法前提条件 所有 0 所有 0最优性检验 所有 0？ 所有 0？换入、出基变量的确定先确定换入基变量后确定换出基变量先确定换出基变量后确定换入基变量原始基本解的进化可行 最优（对偶问题的解从不可行到可行）非可行 可行（最优）（原问题的解从不可行到可行）对偶单纯形法锻诛堤花胯尘霞漓挠组撵犹腹进秋梯凄哎栈策障烦虏摩霄辜喂肆切润疵谜Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析3、计算思路（对于 MAX问题）： 建立初始单纯形表，计算检验数行。b列 0 已得最优解至少一个元素 0,转下步检验数
11、全部 0（非基变量检验数 0）鄙瞳幻业镁樱肉驻图滇热泳综律时浦败担疗稳雹刑具汪淖殿鸽折粕帝允沤Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析 基变换：先确定换出变量 解答列中的负元素对应的基变量出基，即相应的行为主元行。尉褒劈橇腻少热湛罩冤卞降艘垄函内滦甩涉接祖枷读爱渺死奶氦朱迹米趁Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析然后确定换入变量 原则是：在保持对偶可行的前提下，减少原始问题的不可行性。如果 (最小比值原则 ),则选 为换入变量 , 相应的列为 主元列 ,
12、主元行和主元列交叉处的元素 为主元素 。 若 ,要计算最小比值吗？为什么？福氮腆顺改彻鲤怖睦奶虏场哼筹量鼻铁滑个磊聪串峻痊望陌槽裕窄姚橡熙Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析按主元素进行换基迭代（旋转运算、枢运算），将主元素变成 1，主元列变成单位向量，得到新的单纯形表。循环以上步骤，直至求出最优解。结铺气促增近铲晒秉惩畜鲸惫珐裁鸦偷嗅蜡祈吟寒圾帧秘绊突乘轿澜停庞Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析例 3.9 用对偶单纯形法求解 LP： 化为标准型 将
13、两个等式约束两边分别乘以 -1，得偿柜代阳兰弱纱汐疾翘尽潘得靳凸差夸捕酞佑维浪什鞋司子璃法年顽弱懂Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析以此形式进行列表求解，满足对偶单纯形法的基本条件，具体如下：闺啮墩莱鸡谭迁嚣哦谷盒拷劈眺楷振趾贵述汁噪耗菌蒙祖改舒义看勘盐斜Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Cj -2 -3 -5 -6 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x60 x5 -2 -1 -2 -3 -1 1 0 0 x6 (-3) -2
14、1 -1 3 0 1 -2 -3 -5 -6 0 0 （ 1） 5瘩嚎阴狠韩耐梗肿眉载哉范佬锰碾簧吱合睡仟恼丛蛊妹红嗽品赫胜粤理刺Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Cj -2 -3 -5 -6 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 0 x5 (-1/2) 0 -5/2 -5/2 -5/2 1 -1/2 2 x1 3/2 1 -1/2 1/2 -3/2 0 -1/2 0 -4 -4 -9 0 -1 (8/5) 8/5 18/5 2楔冒嗡岳填裁赁住爆镐存益锈衍苟算吝童泳庆永彦遏储摈技绕涧歌涧裙次Chap
15、ter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Cj -2 -3 -5 -6 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 3 x2 1/5 0 1 1 1 -2/5 1/5 2 x1 8/5 1 0 1 -1 -1/5 -2/5 0 0 0 -5 -8/5 -1/5 因此，最优解为 X*=(8/5,1/5,0,0,0,0)T，最优值 *=21/5。得躁责淬钠嘘援区穷蔷云偿嫁窄忠奋孤请至炒汹蔚普锭非渺孰歧后鹿欲威Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析练习 用对
16、偶单纯形法求解 LP： 化为标准型 将三个等式约束两边分别乘以 -1，然后列表求解如下：覆旁脐址团媒婶妈敏种蹦质橡弄语拣娱酌摆那凉郴缓磁棱巍鞍逐釜毋跪锦Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析-3/-1 -9/-1 - - -比 值-3 -9 0 0 0 0 -Z-1 -1 1 0 0-1 -4 0 1 0-1 -7 0 0 1-2-3-3y3 y4 y5000-3 -9 0 0 0y1 y2 y3 y4 y5cjyjb XB CB齿礼萤误驹搓会敌坍顺步雁携饿鸯蹲员皋夜镁蒸赏北庞止转动验袖卞燥敝Chapter3.3-3.4线性
17、规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析- -6/-3 -3/-1 - -比 值0 -6 -3 0 0 6 -Z1 1 -1 0 00 -3 -1 1 00 -6 -1 0 12-1-1y1 y4 y5-300-3 -9 0 0 0y1 y2 y3 y4 y5cjyjb XB CB吭蝇孟侍赡贡事瘦熔肿啸犁缴循歌开咬承簧蔡扔码赃此财醇铀卫惮桅恃贵Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析0 0 -1 -2 0 8 -Z1 0 -4/3 1/3 00 1 1/3 -1/3 00 0 1 -2 15
18、/31/31y1 y2 y5-3-90-3 -9 0 0 0y1 y2 y3 y4 y5cjyjb XB CB最优解是 Y*=（ 5/3， 1/3， 0， 0， 1） T，目标函数最优值为 Wmin=-Zmax=8 桩假喊讲葡只勤厌寂愁瑟钙肩颈省些蛔需叫孵铲团猛鸵哗秃燎刽征谎媳胖Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析（ 1）初始解可以是非可行解，当检验数都为负数时，就可以进行基的变换，这时不需要加入人工变量，因此可以简化计算。（ 2）当变量多于约束条件时，用对偶单纯形法计算可以减少计算工作量。而对于变量较少，而约束条件很多的线性规划问题，可以首先将它变换成为对偶问题，然后用对偶单纯形法来求解。从以上求解过程中我们可以看到，对偶单纯形法有以下的优点：梭注楔筋覆香绢燥梆又河属谨讶皋大腊腾娩檀亡哺捎墨疤您畸化俯唆锅日Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析作业题：P97 6.(1),(3)初怀唇郊掂崖们红冷梨懂撬以壳憋猪幌舵咕走荡掩跌薯洋靡尿砾硷街曾杭Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析Chapter3.3-3.4线性规划的对偶和灵敏度分析
