1、第一节 随机变量的 数学期望,一、数学期望的概念,二、随机变量函数的数学期望,三、数学期望的性质,四、应用实例,一、数学期望的概念,1. 问题的提出,1654年, 一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒 约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一 赌徒胜a局 (ac), 另一赌徒胜b局(bc)时便终止 赌博, 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕 斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同 建立了概率论的第一个基本概念 数学期望,A、B两人赌技相同, 各出赌金100元, 并约定 先胜三局者为胜, 取得全部 200元. 由于出现意外 情况, 在 A 胜 2 局、B 胜1局时, 不得不终
2、止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平?,引例1 分赌本问题(产生背景),A胜2局B胜1局,前三局:,后二局:,把已赌过的三局(A 胜2局、B 胜1局)与上述结果,相结合, 即A、B赌完五局:,A A,A B,B A,B B,A胜,B胜,分析,假设继续赌两局, 则结果有以下四种情况:,A A,A B,B A,B B,A胜B负,A胜B负,A胜B负,B胜A负,B胜A负,A胜B负,B胜A负,B胜A负,因此, A 能“期望”得到的数目应为,而B 能“期望”得到的数目, 则为,故有, 在赌技相同的情况下, A、B最终获胜的,可能性大小之比为 3:1.,即A 应获得赌金的 而 B 只能获得赌金的,因
3、而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值,等于,X的可能值与其概率之积的累加.,即为,若设随机变量 X 为: 在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.,则X 所取可能值为:,其概率分别为:,设某教练员有甲、乙两名射击运动员, 现 需要选拔其中的一名参加运动会, 根据过去的 记录显示, 二人的技术水平如下:,试问哪个射手技术较好?,引例2 选拔运动员,解,运动员的水平是通过其平均水平来衡量的,故甲射手的技术比较好.,因而甲、乙两射手的平均水平分别为,引例3 加权平均成绩,为该生各门课程的算术平均成绩.,设某学生四年大学各门功课成绩分别为,显然算术平均成绩是加权平均成绩
4、的一种,而,为该生的加权平均成绩.,平均值的意义.,通过上述3个引例, 我们可以给出如下定义,2. 离散型随机变量的数学期望,记为EX, 即,定义3.1 设离散型随机变量 X的分布律为,注1 EX是一个实数, 而非变量, 它是一种加 权平均, 与一般的平均值不同, 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值.,注2 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随 级数各项次序的改变而改变, 之所以这样要求 是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的 平均值, 它不因可能值的排列次序而改变.,设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布,例1 (二项分布) 设随机变量XBn, p
5、, 求EX.,解,则有,3. 常见离散型随机变量的数学期望,其分布律为,同时可得两点分布B1, p的数学期望为 p., np,解,则有,例2 (泊松分布),因而泊松分布P的数学期望为 .,设X , 且其分布律为,设随机变量 X P(), 求EX.,解,这是因为,例3 (几何分布),设随机变量X 的分布律为,则有,设随机变量X 服从几何分布, 求E(X).,常见离散型分布的数学期望小结,4. 连续型随机变量数学期望的定义,定义3.2,设连续型随机变量X 的分布密度为,即,数学期望,px,记为EX, 即,例4 (均匀分布),解,则有,5. 常见连续型随机变量的数学期望,设随机变量X服从均匀分布,因
6、而均匀分布数学期望位于区间的中点.,求E(X).,则有,解,例5 (正态分布),设随机变量 , 求EX.,设 , 其分布密度函数,所以,令,因而参数 为正态分布的数学期望.,例6 (指数分布),求EX.,解,解,例7 (伽玛分布),当 1时, X服从指数分布Exp, 这时,设随机变量X , 则密度函数为,设随机变量X , 求EX.,常见连续型分布的数学期望小结,例8,解,但是,6. 数学期望不存在的实例,设离散型随机变量X的分布律为,由于,因而其数学期望EX不存在.,求EX.,二、随机变量函数的数学期望,(一) 一维随机变量函数的数学期望,1. 问题的提出,X,E(X),数学期望,f是连续函数
7、, f(X) 是随机变量, 如: aX+b, X2等等.,f(X),数学期望,如何计算随机变量函数的数学期望?,方法1 (定义法): f(X)是随机变量, 按照数学期望 的定义计算Ef(X).,2. 一维随机变量函数数学期望的计算,关键: 由X的分布求出f(X)的分布.,见2.3节的相关内容,难点: 一般f(X)形式比较复杂的, 很难求出其分布.,方法2 (公式法):,定理3.1 设X是一个随机变量, Y f(X), 则,当X为离散型时, P(Xxk) pk , (k 1,2,); 当X为连续型时, X的密度函数为p(x).,求Ef(X)时, 只需知道X的分布即可.,证,现在只证明定理的特殊情
8、形:,单调连续, x f 1y为其反函数, 并且可导, 同时 y , 则,即,例9,设某种商品的需求量X是服从10,30上,的均匀分布的随机变量, 而经销商店进货数量 为区间10, 30中的某一整数, 商店每销售一单 位商品可获利500元. 若供大于求则削价处理, 每处理1单位商品亏损100元; 若供不应求, 则 可从外部调剂供应, 此时每一单位商品仅获利 300元.为使商品所获利润期望值不少于9280 元, 试确定最少进货量.,(考研试题),解,设进货量为a, 则利润为,因此期望利润为,因此,即最少进货量为21单.,对于二维随机变量而言, 其函数的数学期望 计算方法可以由类似于定理3.1得到
9、.,1. 二维离散型情形,(二) 二维随机变量函数的数学期望,设X,Y为二维离散型随机变量, Z f X, Y为二元函数, 如果EZ存在,其中X, Y的联合概率分布为pij .,2. 二维连续型情形,设X,Y为二维连续型随机变量, Z f X, Y为 二元连续函数, 如果EZ存在, 则,其中X,Y的联合概率密度为px, y.,例 10 设X,Y的分布律为,解 X的分布律为,求EX, EY,因为(X,Y)的分布律为,Y的分布律为,计算可得, 5.,例11 设X N(0,1), Y N(0,1), X 与Y相互独立,解,(作极坐标变换),三、数学期望的性质,性质3.1 设C是常数, 则有ECC.,
10、证,性质3.2 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有,证,性质3.3 设 X、Y 是两个随机变量, 则有,证,推广,性质3.4 设 X、Y是相互独立的随机变量, 则有,注 连续型随机变量 X 的数学期望与离散型随机 变量数学期望的性质类似. 上述证明只证了一类.,证,例12,解,旅客有9个到达一个车站车站可以下车. 如没有 旅客下车就不停车, 以X表示停车的次数, 求EX(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设 各旅客是否下车相互独立).,引入随机变量Xi ,一民航送客车载有 25 位旅客自机场开出,解,例13,且X, Y, Z相互独立, 求随机变量W 2X+3Y4Z1的数学期望.,
11、设随机变量X N0,1, Y U0,1, ZB5,0.5,四、应用实例,厂家的销售策略,按规定: 出售的设备在售出的一年内损坏可予 以调换. 若出售一台设备赢利100元, 调换一台 设备厂方需花费300元. 求厂方出售一台设备净 赢利Y的数学期望.,解,依题设, 有,某设备寿命X(以年计)服从,的指数分布.,寿命不超过1年的概率出售的设备在售出一年之内调换的概率,寿命超过1年的概率不需调换的概率,因此出售一台设备净赢利Y 的分布律为,.,发行彩票的创收利润,某一彩票中心发行彩票10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个, 奖金各 5千元; 三等奖10个, 奖金各1千元;
12、 四等奖100 个, 奖金各1百元; 五等奖1000个, 奖金各10元. 每张彩票的成本费为0.3元, 请计算彩票发行单 位的创收利润.,解,设每张彩票中奖的数额为随机变量X, 则,每张彩票平均能得到奖金,因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为, 0.5(元).,如何确定投资决策方向?,某人现有10万元现金, 想投资于 某项目, 为期一年. 欲估成功的机会 为30%, 并可获利8万元, 失败的机会 为70%, 将损失2万元. 若存入银行, 同期间的利率为5%, 哪一种方案可 使投资的效益较大?,解,设X为投资利润, 则,存入银行的利息:,故应选择投资.,内容小结,数学期望是一个实数, 而
13、非变量, 它是一种 加权平均, 与一般的平均值不同, 它从本质上 体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值.,2. 数学期望的性质,求证: 随机变量X没有数学期望.,证 由定义, 数学期望应为,由微积分学可知, 右边的级数发散. 因此, 随机变量X 没有数学期望.,设随机变量X的分布律为,备用题 例 8-1,解,由于,例8-2 (柯西分布) 设随机变量X服从柯西分布, 求EX.,因X服从柯西分布, 则其密度函数为,因而其数学期望E(X)不存在.,游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,例9-1,解,已知X在0,60上服从均匀分布, 其密度为,电梯于每个正点的第5分钟、第25分钟和第55 分钟从底层
14、起行. 假设在早上的8点的第X分钟 到达底层候梯处, 且X在0,60上服从均匀分布 求游客等候时间的数学期望. （考研试题）,设Y是游客等候电梯的时间(单位:分), 则,因此, 11.67,解,例 9-2,设随机变量X的分布密度函数为,试求 . (考研试题),解,例 9-3,（报童问题）设某报童每日的潜在卖报数,若记真正卖报数为Y, 则Y与X的关系如下：,X服从参数为的泊松分布. 如果每卖出一份报 可报酬a, 卖不掉而退回则每份赔偿b, 若某报童 买进n份报, 试求其期望所得. 进一步, 再求最佳 的卖报份数.,因此期望所得为,记所得为Z, 则Z与Y的关系如下:,则Y的分布为,当a, b, 给定后, 求n使Mn达到极大.,利用软件包求得计算结果如下:,
