1、2019/5/13,高等数学课件,第七节,一、三角级数及三角函数系的正交性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、函数展开成傅里叶级数,三、正弦级数和余弦级数,第十一章,傅里叶级数,2019/5/13,高等数学课件,一、三角级数及三角函数系的正交性,简单的周期运动 :,(谐波函数),( A为振幅,复杂的周期运动 :,令,得函数项级数,为角频率,为初相 ),(谐波迭加),称上述形式的级数为三角级数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,定理 1. 组成三角级数的函数系,证:,同理可证 :,正交 ,上的积分等于 0 .,即其中任意两个不同的函数之积在,机动 目录
2、 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,上的积分不等于 0 .,且有,但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,二、函数展开成傅里叶级数,定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且,右端级数可逐项积分, 则有,证: 由定理条件,对在,逐项积分, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,(利用正交性),类似地, 用 sin k x 乘 式两边, 再逐项积分可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,叶系数为系数的三角级数
3、称为,的傅里叶系数 ;,由公式 确定的,以,的傅里,的傅里叶级数 .,称为函数,傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,定理3 (收敛定理, 展开定理),设 f (x) 是周期为2的,周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:,1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;,2) 在一个周期内只有有限个极值点,则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有,x 为间断点,其中,( 证明略 ),为 f (x) 的傅里叶系数 .,x 为连续点,注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.,简介 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/1
4、3,高等数学课件,例1.,设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在,上的表达式为,解: 先求傅里叶系数,将 f (x) 展成傅里叶级数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,1) 根据收敛定理可知,时,级数收敛于,2) 傅氏级数的部分和逼近,说明:,f (x) 的情况见右图.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,例2.,上的表达式为,将 f (x) 展成傅里叶级数.,解:,设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在,机动 目录 上页 下页
5、返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,说明: 当,时, 级数收敛于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,周期延拓,傅里叶展开,上的傅里叶级数,定义在 ,上的函数 f (x)的傅氏级数展开法,其它,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,例3. 将函数,级数 .,则,解: 将 f (x)延拓成以,展成傅里叶,2为周期的函数 F(x) ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,利用此展式可求出几个特殊的级数的和.,当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得,说明:,机动 目录 上页 下页 返
6、回 结束,2019/5/13,高等数学课件,设,已知,又,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,三、正弦级数和余弦级数,1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数,定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为,周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,它的傅里叶系数为,正弦级数,它的傅里叶系数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,例4. 设,的表达式为 f (x)x ,将 f (x) 展成傅里叶级数.,是周期为2 的周期函数,它在,解: 若不计,周期为 2 的奇函数,因此,机动 目录 上页
7、 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,n1,根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:,级数的部分和,n2,n3,n4,逼近 f (x) 的情况见右图.,n5,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,例5. 将周期函数,展成傅里叶级数, 其,中E 为正常数 .,解:,是周期为2 的,周期偶函数 , 因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,2. 在0,上的函数展成正弦级数与余弦级数,周期延拓 F (x),f (x) 在 0 , 上展成,周期延拓
8、F (x),余弦级数,奇延拓,偶延拓,正弦级数,f (x) 在 0 , 上展成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,例6. 将函数,分别展成正弦级,数与余弦级数 .,解: 先求正弦级数.,去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,注意:,在端点 x = 0, , 级数的和为0 ,与给定函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此得,f (x) = x + 1 的值不同 .,2019/5/13,高等数学课件,再求余弦级数.,将,则有,作偶周期延拓 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,201
9、9/5/13,高等数学课件,说明: 令 x = 0 可得,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,内容小结,1. 周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理,其中,注意: 若,为间断点,则级数收敛于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数,奇函数,正弦级数,偶函数,余弦级数,3. 在 0 , 上函数的傅里叶展开法,作奇周期延拓 ,展开为正弦级数,作偶周期延拓 ,展开为余弦级数,1. 在 0 , 上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ?,答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .,机动 目录 上页
10、 下页 返回 结束,思考与练习,2019/5/13,高等数学课件,处收敛于,2.,则它的傅里叶级数在,在,处收敛于 .,提示:,设周期函数在一个周期内的表达式为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,3. 设,又设,求当,的表达式 .,解: 由题设可知应对,作奇延拓:,由周期性:,为周期的正弦级数展开式的和函数,定义域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,4. 写出函数,傅氏级数的和函数 .,答案:,定理3 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,P250 1(1) , (3) ; 2 (1) , (2)
11、 ; 3; 5 ; 7 ; 8 (2),第八节 目录 上页 下页 返回 结束,作业,2019/5/13,高等数学课件,备用题 1.,叶级数展式为,则其中系,提示:,利用“偶倍奇零”,(93 考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,的傅里,2019/5/13,高等数学课件,2. 设,是以 2 为周期的函数 ,其傅氏系数为,则,的傅氏系数,提示:,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,高等数学课件,傅里叶 (1768 1830),法国数学家.,他的著作热的解析,理论(1822) 是数学史上一部经典性,书中系统的运用了三角级数和,三角积分,他的学生将它们命名为傅,里叶级数和傅里叶积分.,最卓越的工具.,以后以傅里叶著作为基础发展起来的,文献,他深信数学是解决实际问题,傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展,都产生了深远的影响.,2019/5/13,高等数学课件,狄利克雷 (18 05 1859),德国数学家.,对数论, 数学分析和,数学物理有突出的贡献,是解析数论,他是最早提倡严格化,方法的数学家.,函数 f (x) 的傅里叶级数收敛的第一个充分条件;,了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和,举例说明条件收敛级数不具有这样的性质.,他的主要,的创始人之一,并,论文都收在狄利克雷论文集 (1889一1897)中.,1829年他得到了给定,证明,
