1、一、主元变换法练习 1 关于 的不等式 对 恒成立，求实数 的取值x243px24px范围.二、数形结合法练习 2 已知关于 的不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围.x2logax1(0,2a练习 3.对任意实数 不等式 恒成立，求实数 的取值范围.x1x三、分离变量法练习 4 已知函数 在 R 上是减函数，对一切 不等式 ()fxxR2(sin)fmx成立，求实数 的取值范围.2(1cosfmm四、分类讨论法练习 5 当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.x2,821logaxa五、判别式法练习 6 不等式 1 对 R 恒成立，求实数 的取值范围.2463xmxm六、最值法练习 7
2、若已知不等式 对 恒成立，求实数 的取值范4()13xxa3,2)a围.分析：本题是对含参数的不等式在某个区间上恒成立，用主元变换法处理.解析：将其化为关于 的不等式： 对 恒成立，p2(1)430xpx24p当 =1 时，不等式化为 00，不成立.x当 1 时，关于 的一次函数 = 在-2,4上的值恒为正值，()f2无论一次项系数 为正还是为负，只需要 ，即x()04f，解得 或 .2(1)4304xx 5x1所以实数 的取值范围 .(,5)(1,)点评：对含参数的不等式在某个区间上恒成立问题，若将其看成关于已知范围的变量的不等式更为简单，常将已知范围的变量看作主变量，化为关于已知范围的变量
3、的不等式，结合对应的函数图像，得出其满足的条件，通过解不等式求解.分析：本题是一边为二次式另一边是对数式的不等式问题，用数形结合法.解析：作出 = 和 的图像，y2xlogax由题意知对 ， = 图像恒在 的图1(0,y2logayx像的下方，故 ，解得 ,2()loga16故实数 的取值范围为 .a1点评：对不等式经过移项等变形，可化为两边是熟悉的函数的形式，特别是可化为一边为多项式另一边是超越函数的不等式问题和含参数的一元二次不等式问题，常常用数形结合法，先构造函数，再作出其对应的函数的图像，结合图像找出其满足的条件，通过解不等式求出参数的范围.分析：设 = ,对任意实数 不等式 恒成立即
4、转化y|1|2|xx12xa为求函数 = 的最小值，画出此函数的图象即可求得 的取值范围.|解：令 = =y|1|2|x312x在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使对任意实数 不等式 恒成立 只需x12xa恒 成 立 ，.3a故实数 的取值范围 3（ ， ）点评：本题中若将对任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值x12xaa范围，改为任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围，同样由图象可得 3;对任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范axx围,构造函数，画出图象，得 3.a利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函
5、数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.分析:先用函数的单调性化为关于 的不等式，再用分离变量法，化为一端关于 的x m式子另一端是关于 的式子的不等式，x解析：函数 在 R 上是减函数，对一切 不等式 ()f R2(sin)fx成立，2(1cosfm 对一切 恒成立，inx21cosx 对一切 恒成立，22inR设 = ， ()gx2cosix21mmax()g= = = ，six2sin当 =1 即 = （ ）时， =2，sinx2kZmax() 2， 解得 或 3，21mx1实数 的取值范围为 或 3.点评：对含参数不等式的在某个范围上恒成立求参数范围问题,若容易通过恒等变
6、形将两个变量分别置于不等号的两边，即化为不等式 (或 )在 的某()fxgfx(gmx个范围上恒成立问题,则 ( ),先求出 的最值，将其()gminfxmax转化为关于 的不等式问题，通过解不等式求出参数 的取值范围.m分析：本题不等式左边是对数式，底数含参数，故需要对底数分类讨论.解析：原不等式可化为： ，21loax21lga当 0 1 时，对数函数是减函数，则原不等式等价于： 对2a 21ax 恒成立，x,8 ， 当 时， =8， 8，21amax2,8max21a解得， 或 ；3434当 1 时，对数函数是增函数，则原不等式等价于： 对 2a 21ax恒成立，,8 ， 当 时， =2
7、， 2，21aminxx2,8minx1解得， 或 1，a综上所述，实数 的取值范围为 .33(,1)(,)(,)(,)424点评：对含参数恒成立的不等式问题，若参数取值不同，是不同的不等式或解法不同时，可对参数进行分类讨论进行求解，注意分类要做到不重不漏.分析：本题左边是分子和分母都为关于 二次三项式，可用判别式法.x解析： 0 恒成立，2463x原不等式可化为： 0 对 R 恒成立，2()3xmx20， = 0，解得 1 3，()4m实数 的取值范围为（1，3）.m点评：对可化为关于 一元二次不等式对对 R（或去掉有限个点）恒成立，常用判xx别式法.先将其化为关于 一元二次不等式，结合对应
8、的一元二次函数图像，确定二次项系数与判别式满足的条件，化为关于参数的不等式问题，通过解不等式求解.注意二次是否可为 0.分析：本题是一元二次不等式在某个区间上恒成立问题，将其化为一边是关于 的二x次式的另一边为 0 的形式，其对应的函数最值易求，故用最值法.解析：原不等式可化为： 0 对 恒成立，2163xax3,2)设 = ( )= ，对称轴 = ()fx2163a,285()9ax83且离 2 远，故 =2 时， = ，3,max)f47要使 0 对 恒成立，只需 = 0 即可，1x3,2max()f47解得 ，实数 的取值范围为 .a473)点评：对含参数的不等式恒成立问题，可将其化为 0（或 0）在 的某(fx()fx个范围上恒成立问题，则 0 (0 ),先求出 的最值，将其转化为min()fxma()f关于 的不等式问题，通过解不等式求出参数 的取值范围.mm
