1、破解折叠问题的“三步曲”折叠问题是指将平面图形按某种要求翻折为立体图形，考察由此产生的位置关系和数量关系，因为是从平面跃然而到空间思维跨度大，由静到动，能综合考查学生的空间想象能力，识图能力及分析能力，是近年来高考的热门题型，要解决好此类问题笔者认为应从以下三点着手：第一步：看两图两图指折叠前的平面图形和折叠后的立体图形，有时候题目中可能只给出平面图形，这就需要我们自己去画立体图形，我们应该对比两个图形，思考下面的问题；（1） 折痕是哪些直线？折痕与折叠特征是折叠问题的两大要素，是引发后面问题的“罪魁祸首” ，呵呵，这么说只是强调一下折痕的重要地位，盐打哪儿咸，醋打哪儿酸，解决折叠问题的思维起
2、点，位置与数量关系的变化皆与折痕有关，要明确一点：位于折痕同一侧的点，线的关系是不变的； （2） 折叠前后哪些点重合了？重合的点往往意味着重合的线段，即立体图形中明明是一条线段，但在原来的平面图形中则是两条相等的线段。（3） 折叠前后哪些点或线不在原平面而被翻折到了空间？第二步：挖掘折叠特征折叠特征就是把平面图形翻折要实现的目的，它是解题的一个重要已知条件，我们应该充分理解、挖掘这个特征，常见的折叠特征有以下三种：（1）将平面图形折叠成某个度数的二面角，比如直二面角，这种情况我们就应该找到这个二面角的平面角，在立体图中标出；（2）使几个点重合，这种情况我们就应该标出哪些点重合的；比如若 A,B
3、 两点重合记为点 P 的话，我们可以在图上标记为 P(A,B),这样便于翻折前后的对比；（3）使指定的两个点的距离是某值，那么我们应该连接相关的点；第三步：结合问题，寻找不变量通过前两步，我们已经对翻折过程有了比较清晰的了解，对翻折得到的立体图形的空间形态也有了全方位的认识，那么最后一步，就是结合问题，充分利用翻折前后图形的性质来寻找解题的途径，而其中翻折前后的“不变量”往往是解题的关键，常见的不变量有“不变的垂直关系，不变的长度关系，不变的平行关系“这三类，当解题受阻时就应该思考“哪些量是不变的？”，可以说找到了不变量就找到了解题的钥匙！上述三步曲是解决折叠问题的总的规律，在实际解题中应灵活
4、运用，下面举例说明在解题中，我们如何走好这“三步”，重点来看一下三种“不变量”是如何在解题中运用的：一、不变的垂直关系例 1：如图，ABCD 是正方形，E 是 AB 的中点，将 和 沿 DE 和 CE 折起，ADEBC使 AE 与 BE 重合，记 A 与 B 重合后的点为 P,求(1) 求证： ；（2）二面角 P-CD-E 的度数;PDC平 面分析：从翻折的过程可以看出， 这两个垂直关系是不变量，而翻折后,ADEBCA,B 重合为 P，故在立体图中有 ，问题得解；PP解：（1）由翻折过程可知， ，故 ；（2）取 CD 中, PDC平 面点 F,连接 PF,FE,在原平面图形中， AD=BC,E
5、D=EC,翻折后 A,B 重合为 P,故 PD=PC,可知,则 是二面角 P-CD-E 的平面角，设正方形边长为 a，得,FCDEFE， ， ，则二面角 P-CD-E 的度数为 302aP12sinaP二、不变的长度关系例 2（2007 安徽文）把边长为 的正方形 沿对角线 折成直二面角，折成ABCD直二面角后，在 四点所在的球面上， 与 两点之间的球面距离为（ ABCD， ， ，） 23分析：原题是没有图的，需要我们自己画出前后两个图形，折叠特征是直二面角，哪个角是它的平面角？ 这两组垂直关系是不变的，故 就,OABC不 难 看 到 DOB是二面角的平面角，则 ，那么如何确定 A,B,C,D
6、 四点所在的球心呢？找不变2D量！通过比较两图可以发现，折叠前 A、B、C、D 四点是共面的，翻折后不再共面，这是变化的量，而正方体中心 O 到四个顶点的距离是不变的，即在折叠前后中始终有，所以 O 就是翻折后 四点所在球的球心，易得该球OABC， ， ，半径 ，而 D,B 两点在球中所对球心角为 ，球面距离 ，故选 B.1R22LRA三、不变的平行关系例 3： （2006 高考辽宁卷）已知正方形 ， 分别是边 的中点，将ABCDEFABCD，沿 折起，如图所示，求证：ADE /平 面分析：要证明 ,只需证明 BF 与 内的一条直线平行即可，而比较/BFADE平 面 ADE平 面翻折前后的图形
7、可以发现， 这个平行关系是不变量，命题得证；/解： 、 分别是正方形 的边 、 的中点，则ECB/BF且 =D,四边形 是平行四边形/BF平面 而 平面DA， BFAED平面练习：（1）将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使得 BD=a,则三棱锥 D-ABC 的体积是（ ）（2）如图，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别为各边的中点，G，H ，I，J 分别为AF，AD，BE， DE 的中点.将ABC 沿 DE，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与 IJ 所成角的度为 （ ） A90B60 C （D ）450（3）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB=2DC=2,DAB
8、=60,E 为 AB 的中点，将ADE 与BEC 分别沿 ED、 EC 向上折起，使 A、 B 重合于点 P，则 P DCE 三棱锥的外接球的体积为(A) (B) (C) (D) 2742686246（4）正方形 ABCD 的边长是 2，E、F 分别是 AB 和 CD 的中点，将正方形沿 EF 折成直二面角（如图所示） M 为矩形 AEFD 内的一点，如果MBE=MBC ，MB 和平面 BCF所成角的正切值为 1/2，那么点 M 到直线 EF 的距离为_ 。答案：（1）选 D 提示：画出翻折前后的图形，可知不变量有 和2DOBa而 ，可得 ,则 三棱锥体积,OCABa90DOB,AC平 面22
9、131Vsha（2）选 B 分析：画出折叠后的立体图形，因为 A,B,C 三点重合为 S,翻折过程中不变量是，故 GH 与 IJ 所成角就是 ，大小为 60。/,/GHDFJIISD即 SDF(3)选 C 提示：由已知易得均为正三角形，而翻折后 A,B 重合为 P,故三棱锥 P-CDE 实际为正,ADECB四面体，计算可得外接球半径 R= ，64368VR（4）填 提示：由MBE= MBC，可知 M 在平面 EFCB 内的射影在 的平分2 EBC线上，而 ，故 M 的射影应该在原正方形的对角线 BD 上，因为翻折特征是直90EBC二面角， 设 M 在平面 EFCB 内的射影是 N,即 ,由面面垂直的性质定理可知，NEFN 必在 EF 上，且 BN= ，MB 和平面 BCF 所成角即 , ,得2B1tan2MN,故 M 到直线 EF 的距离为22
