1、第二章 矩 阵1、与矩阵乘积有关题目1）矩阵乘法一般不满足交换律2）与任何同阶矩阵可交换的矩阵是数量矩阵例 1.设 ),(),( 2121 nnba 求 KTTABA及解 nnnnnT bababa 212212121),(nnTabB 212121),( nnknKnT TTTTK bababaA 11111 )()( )()() 例 2.设 ， 是 的转置，若 ，321aT T则 3 T解： 2313211aa 故 3T练习：1.1 （1999 数三）设 ，而102A为正整数，则 0 2n 12nA解： 时 ，故 当A)(22nn时当2、 （1995 数四）设 n 维行向量 ，21,0,矩
2、阵 ， ，I 为 n 阶单位矩阵，TIATIB2则 AB I 2、与初等变换或初等矩阵相关的题目重要引理：1）矩阵 A 经过若干次初等变换化为 B，则称 A 与 B 等价2）A 与 B 等价充要条件是 A、B 同型且秩 A秩 B 可逆矩阵 p,Q 使 PAQB3）初等矩阵均可逆，且 ),(),(1jiPji1c.)(,)(,Kjiji例 3.（2001 数三、四），434213214312aaA 41324321214aaB， ，其中 A 可逆，01P102P则 C B（A） （B ） （C） 21P 21PA 12AP（D ） 2解： )(211AB)12 APBP或112例 4 （1995
3、 数）设 ，3231a，13123132aaB， ，则必有 （C） 01P02P（A） （B） （C） 21 BPA12 BAP21（D） P解： rre 122练习：2.1 （2001 数三）设 n 阶矩阵 A 与B 等价，则必有 D （A）当 （B）当.0AB时 ，.-0时 ，（C）当 （D）当.时 ， .0时 ，A2.2.（2009 数三）设 A,P 均为 3 阶矩阵，且，若 ，则201APT ),(),( 321321 QP为 A .QT（A） （B） （C） 201201201（D ） 提示： 10PQ2.3 （2011 数三）设 A 为 3 阶矩阵，将 A的第二列加到第一列得矩阵
4、B，再交换 B的第二行与第三行得单位矩阵，记 ，101P，则 A D .012P（A） （B ） （C） （D）21P21P12P12P解： 1212PAEP123、矩阵秩的运算或利用秩来求矩阵的参数1)秩与行列式关系2）利用初等行（列）变换求秩3）几个重要公式秩（A）秩（A T）秩（ AAT）秩（AB）秩（A）+秩（B）秩（AB）min秩 A，秩（B）4）设 Amxn，B nxs，若 AB0，则秩（A）+秩（B） n.5）矩阵左乘或右乘一个逆矩阵，其秩不变.6）只有零矩阵的秩为零例 5.求 A 的秩，其中 1010A解： 100110102011001A秩 A3例 6.（2001 数三、四）
5、设矩阵 ，KA1且秩（A）3，则 K -3 .解： （ 舍 去 ）或 13)1(33K练习：3.1.（1994 数三）设 Amxn,Cnxn 可逆，秩Ar，则 BAC 的秩为 r1，则 C （A）rr 1 （B）rr 1 （C）r=r1 （D）r 与 r1 的关系依 C 而定3.2（2007 数）设矩阵 ，则 A3 为01A秩为 1 3.3.（2004 数四）设 ， ，其10AAPB1中 P 为三阶可逆矩阵，则B2004 2A2 提示： EAA421-解：故 132222104104 AEPPB4、证明矩阵可逆n 阶矩阵 A 可逆一般用以下充要条件1） n 阶矩阵 B，使 ABE 或 BAE2
6、） （最常用，最好用）03）秩（A）n4）A 的行或列向量组线性无关5）方程组 AX0 只有零解6）A 没有零特征值例 7.设 A、B 均为 n 阶方阵，证明（1）若 A+B AB，则 AE 可逆.（2）若 EAB 可逆，则 EBA 可逆，并求其逆.证：（1）由 A+BAB A（AE ）B AE+E（AE）BE（ AE ）B （AE ）（AE）（BE）故 AE 可逆，且它的逆矩阵为 BE（2）设 C 是 EAB 的逆矩阵，即C（EAB ）E 及 （EAB ）CE从而 CECAB 及 CEABCB（ABC）AB（CE）A即 BABCABCABA BCA（E BA）BA E+E （EBA ） （E
7、+BCA）E（E BA） 1 E+BCA例 8.（2008）设 A 为 n 阶非零矩阵，若A30，则 C .（A）EA 不可逆，E+A 不可逆 （B）EA 不可逆，E+A 可逆（C）EA 可逆，E+A 可逆 （D）EA 可逆，E+A 不可逆练习4.1(2001 数一 )设矩阵 A 满足 A2+A-4E=0，其中 E 为单位矩阵，则(A-E) -1 = (A+2E)/2 4.2（1997 数三、四）设 A 是 n 阶非奇异矩阵， 为维列向量，b 为常数，记分块矩阵，其中 是矩阵 A 的伴随bAQAIPTT,|0* *矩阵，I 为阶单位矩阵（1）计算并简化 PQ（2）证明：矩阵 Q 可逆的充分必要
8、条件是.bAT14.3(2003 数四 )设 A,B 均为三阶方阵，E 为三阶单位矩阵，已知 AB=2A+B，.1)(,204EAB求5、求矩阵的逆及相关题目一般用初等变换求矩阵的逆，即，有时也用伴随矩阵和)|()|( 1 AEEA初 等 行 变 换分块矩阵来求逆。例 9.已知 1)(52301E求解： 6230AE 010623106230)(EA 01024301023620102362于是 01243)(AE例 10.（2003 数三、四）设 n 维向量，矩阵 ，0,)0,(aaT TEA，其中 A 的逆矩阵为 B，求 a.EB1解：由 EAB)(EaEaaaE TTTTT )12(21
9、1)1)(1-202a故 （ 舍 去 ） 或练习5.1 （1991 数三）设 A 和 B 为可逆矩阵，为分块矩阵，则 _. 0BAX 1X6、有关伴随矩阵有关重要结论：1) EAA*2) 秩 101* nAnA当 秩 当 秩 当 秩例 11设 A 为 n 阶可逆，且 ，证EA2明： .*例 12 （2002 数四）设 A、B 为 n 阶矩阵，A*，B *分别为 A、B 对应的伴随矩阵，设分块矩阵 ，则 C* D C0解： EBAE*（A） （B）*0BA *0A（C） （D）*0A*B提示：代入检验例 13.（2003 数三）设 ，若秩abAA*1，则必有 C （A） （B）02bab或02a
10、b或（C） （D）或b或解：秩 101*nA当 秩 当 秩 当 秩故田秩 A*1，得秩 A2从而 bababa 或即 020)(2(2但当 a=b 时，秩 A1（舍去） ，故baba或02例 14（2005）设 A 为 n（n2）阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵B，A *，B *，则 C （A）交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B*（B）交换 A*的第 1 行与第 2 行得 B*（C）交换 A*的第 1 列与第 2 列得-B *（D）交换 A*的第 1 行与第 2 行得-B *练习6.1（2009）设 A、B 均为 2 阶矩阵，则分块矩阵 的伴随矩阵为 3,2BA0BA
11、B （A） （B） 023* 032*AB（C） （D）*BA*6.2（2005）设矩阵 A= 满足 A*= AT，其3ija中 A*为 A 的伴随矩阵，A T 为 A 的转置矩阵。若 为三个相等的正数，则 为 A 132,a 1a(A) (B)3 (C)1/3 (D) 37、解矩阵方程的题目( 形如 AX=B,XA=B以及 AXB=C)例 15.（1999 数二）设 ，矩阵 X1A满足 ，求矩阵 X.XA21*提示： )(*AE1)2( )2(XEX例 16 （2006）设 ，矩阵 B 满足21ABAB+2E，则 B 解：B（ AE）2E 112)(练习：7.1（2008）设 ， ，三阶矩40213A201B阵 X 满足 AX=B+2X，求矩阵 X.答案： 10)2(1BEA
