1、天津市渤海石油第一中学高一年级提高班讲义二 2010-3-16等差数列专题重点知识梳理（1）a m=ak+（mk ）d，d= .kam（2）若数列a n是公差为 d 的等差数列，则数列 an+b（ 、b 为常数）是公差为 d 的等差数列；若b n也是公差为 d 的等差数列，则 1an+ 2bn（ 1、 2 为常数）也是等差数列且公差为 1d+ 2d.（3）下标成等差数列且公差为 m 的项 ak，a k+m，a k+2m，组成的数列仍为等差数列，公差为 md.（4）若 m、n、l、kN *，且 m+n=k+l，则 am+an=ak+al，反之不成立.（5）设 A=a1+a2+a3+an，B=a
2、n+1+an+2+an+3+a2n，C=a 2n+1+a2n+2+a2n+3+a3n，则A、B 、C 成等差数列.（6）若数列a n的项数为 2n（nN *） ，则 S 偶 S 奇=nd， = ，S 2n=n（a n+an+1） （a n、a n+1 为中间两项） ；奇偶 1若数列a n的项数为 2n1（nN *） ，则 S 奇 S 偶 =an， = ，S 2n1 =（2n1）奇偶 an（a n 为中间项）.一.熟用 ， 问题；dmnadnn )()1(nam1、等差数列 中， ， ，则 .n350392、等差数列 中， ， ，则 .246a3、已知等差数列 中， 的等差中项为 ， 的等差中项
3、为 ，则 .na6与 537与 7na4、一个等差数列中 = 33， = 66，则 =_152535、已知等差数列 中， ， ，则 nqppa_qp二二 与 的关系问题;naS1.数列 的前 n 项和 ，则 _23n n2.数列 的前 n 项和 ，则 _1 a3.数列 的前 n 项和 ，则 _a2nS na4.数列 的前 n 项和 ，则 _4 35.数列 的前 n 项和 ，则 _1n n6. 数列 的前 n 项和24nS _.7. 数列 的前 n 项和88. 数列 的前 n 项和 则a2 -10._na二巧设问题；一般情况,三个数成等差数列可设: ;四个数成等差数列可 设:da,.dada3,
4、31.三个数成等差数列,和为 18,积为 66,求这三个数.2.三个数成等差数列,和为 18,平方和为 126,求这三个数.3.四个数成等差数列,和为 26,第二个数和第三个数的积为 40,求这四个数.4.四个数成等差数列,中间两个数的和为 13,首末两个数的积为 22,求这四个数.5.一个等差数列的前 12 项之和为 354，前 12 项中偶数项与奇数 项之比为 32：27，求公差三最值问题:；1.在等差数列 中, ,求 的最大值.na6,801dnS2.在等差数列 中, ,求 的最大值.53.在等差数列 中, ,求 的最小值.n1n4.在等差数列 中, ,求 的最小值.a80dS5.等差数
5、列 中， ，则 n 的取值为多少时？ 最大n149,nS6.在等差数列 中, 14, 公差 d3, 求数列 的前 n 项和 的最小值a7.已知等差数列 中 =13且 = ,那么n取何值时, 取最大值.na13S18. 在等差数列a n中，若 ，公差d0，那么使其前n项和S n为最大值的自然93a数n的值是_.四 性质的应用tsnmts1. 等差数列 中，若 ，则 。a45076543aa_82a2.等差数列 中，若 ，则 。n 1S3.等差数列 中，若 。则 。2013S_74. 等差数列 中，若 ，则 。na21S5. 在等差数列 中 ，则31445678910aa6.等差数列 中, ,则n
6、218920,_2S7.在等差数列 中，S n为其前n项和：a(1)若a 3+ a10+ a17=60，求S 19;(2)若a n+1+ a 2n=100，求S 3n.8. 等差数列 中, ,则10,45a_S9. 等差数列 中,它的前5项和为34,最后5项和146,所有项和为234,则n._7a10. 已知数列a n的前n项和S n=n2+3n+1，则a 1+a3+a5+a21=_.11. a n为等差数列，a 1+ a2+ a3=15，a n+ an-1+ a n-2=78，S n=155，则n= _.五、方程思想的应用;1.已知等差数列a n中，S 3=21，S 6=24，求数列a n的
7、前n项和 n2. 已知等差数列a n中， , ,求数列a n的前n项和17064nS六.累加法的应用;1.求数列 的通向公式 .16,742, na2.已知数列a n满足: ,求 .1,21anna3.已知数列a n满足: ,求 .44.已知数列a n满足: ,求 .11n205.在数列a n中， ,求 an.)1l(,211aan七. 也成等差数列的应用;nSS32,1.已知等差数列a n中， 求 的值.,2,493S152. 已知等差数列a n中， 则 的,46431 aa18716a值3. a1，a 2 ， a3， a2n+1 为 等差数列，奇数项和为60，偶数项的和为45，求该数列的项
8、数.4.在等差数列a n中，S 41，S 83，则 a17a 18a 19a 20 的值是八:划归思想在求通项公式中的应用:1.在数列 中， ， ， （ ） ，求 。(取倒数)n1a112nn*Nn2. 在数列a n中， , = a)()(（1）设 ，求数列a n的通项公式；bn（2）求数列a n的前 n 项和。 3.设有数列 : , ，求 .na11na2nna4.数列 满足 ,且 ,求nanna3121na5. 各项非零的数列 ，首项 且 ，求数列的通项 .na12,2naSn na习题1:数列a n中, a 1= 8，a 4= 2且满足a n+2- 2an+1+ an= 0 (nN)(1
9、)求数列a n的通项公式(2)设 求S n|,|21S历届高考中的“等差数列”试题精选（自我检测）一、选择题：（每小题 5 分，计 50 分）题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答 案1.(2007 安徽文)等差数列 的前 项和为 ，若 （ ）nanS则 432,1Sa（A）12 （B）10 （C）8 （D）62 (2008 重庆文)已知a n为等差数列，a 2+a8=12,则 a5 等于（ ）(A)4 (B)5 (C)6 (D)73.（2006 全国卷文）设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）Sn74aA B C D874(2008 广东文)记等差数列 的前 n 项和为 ，
10、若 ， ，则该数列的S420S公差 d=（ ）A7 B. 6 C. 3 D. 25 （2003 全国、天津文，辽宁、广东）等差数列 中，已知 ， ，na31a4a52，3an则 n 为（ ）（A）48 （B）49 （C）50 （D）516.（2007 四川文）等差数列a n中，a 1=1,a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100,则 n=（ ）(A)9 (B)10 (C)11 (D)127 （2004福建文）设S n是等差数列 的前n项和，若 （ ）5935,则A1 B1 C2 D8.（2000 春招北京、安徽文、理）已知等差数列a n满足 1 2 3 1010 则有( )A 1 101
11、0 B 2 1000 C 3 990 D 5151 9.（2005 全国卷 II 理）如果 ， ， 为各项都大于零的等差数列，公差 ，1a8ad则( )（A） （B） （C） + + （D ） =1a845845145a1845a10.（2002 春招北京文、理）若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（ ）（A）13 项 （B）12 项 （C）11 项 （D）10 项二、填空题：（每小题 5 分，计 20 分）11（2001 上海文）设数列 的首项 ，则na )Nn( 2a,71n1 且 满 足_. 1721a12(2008 海南
12、、宁夏文)已知a n为等差数列，a 3 + a8 = 22，a 6 = 7，则 a5 = _13.（2007全国文）已知数列的通项a n= -5n+2,则其前n项和为S n= . 14.（2006 山东文）设 为等差数列 的前 n 项和， 14， ，则 .S430S109三、解答题：（15、16 题各 12 分，其余题目各 14 分）15 （2004 全国卷文）等差数列 的前 n 项和记为 Sn.已知 （）求通项 ； （）a .50,3210ana若 Sn=242，求 n.16 (2008 海南、宁夏理)已知数列 是一个等差数列，且 ， ， （1）求 的通项 ；（2）求na2a5nan前 n
13、项和 的最大值。S17.（2000 全国、江西、天津文）设 为等差数列， 为数列 的前 项和，已知 ， ， 为数列nanSna7S51nT的前 项和，求 。ST18.（据 2005 春招北京理改编） 已知 是等差数列， ， ； 也是等差na21a83nb数列， ， 。4a2b3214321b（1）求数列 的通项公式及前 项和 的公式；n S（2）数列 与 是否有相同的项？ 若有，在 100 以内有几个相同项？若没有，nab请说明理由。19.（2006 北京文）设等差数列a n的首项 a1 及公差 d 都为整数，前 n 项和为 Sn.()若 a11=0,S14=98,求数列a n的通项公式；()若 a16，a 110，S 1477，求所有可能的数列a n的通项公式 .20.(2006 湖北理)已知二次函数 的图像经过坐标原点，其导函数为 ，()yfx()62fx数列 的前 n 项和为 ，点 均在函数 的图像上。 () 求数列anS,nN()yfx的通项公式；n()设 , 是数列 的前 n 项和，求使得 对所有 都成1nna3bTb20nmTnN立的最小正整数 m；
