1、如果说有一种平面图形，它的面积是有限的而周长却是无限的，你相信吗？“雪花曲线”就是这样。那么，什么是“雪花曲线”呢？“雪花曲线”是从一个等边三角形(如图)开始，一步一步作出来的。第一步：把等边三角形的各边三等分，从每条边三等分后的中段，向外作小等边三角形，再去掉与原来等边三角形重叠的边(如图)。为了便于叙述，以后把这个过程简称为“变化” 。第二步：对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变化(如图)。第三步：再对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变化(如图)。第四步：再对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变化(如图)。第五步、第六步照这样一直进行下去，就得到“雪花曲线” 。现在来计算“雪花曲
2、线”(所围成的图形)的面积和周长。从以上过程可以看出， “雪花曲线”是一个边长、边数不断变化，同一图形边长相等的对称图形。所以，必须首先研究一下图形的边数、边长和面积的变化规律。观察发现：规律一：每次变化后，原来等边三角形的一条边，所形成的折线包括 4 条线段，所以，新图形的边数是原图形的 4 倍，而边长是原图形的 1/3；规律二：每次变化后，原来等边三角形的一条边上，所作的小等边三角形的面积，是原来等边三角形面积的 1/9(参看下图)。一、 “雪花曲线”的面积：为了便于计算，设原来等边三角形的面积为“1” 。第一步以后，因为原来的边数是 3，向外作了 3 个小等边三角形；每个小等边三角形的面
3、积是 1/9，增加的面积是 31/9。第二步以后，边数变成 34，向外作了 34 个小等边三角形；每个小等边三角形的面积是(1/9) 2，增加的面积是 34(1/9)2。第三步以后，边数变成 342，向外作了 342个小等边三角形；每个小等边三角形的面积是(1/9) 3，增加的面积是 342(1/9)3。第四步以后，边数变成 343，向外作了 343个小等边三角形；每个小等边三角形的面积是(1/9) 4，增加的面积是 343(1/9)4。依次类推，第 n 步以后，边数变成 34n-1，向外作了 34n-1个小等边三角形；每个小等边三角形的面积是(1/9) n，增加的面积是 34n-1(1/9)
4、n。于是， “雪花曲线”的面积S 雪 131/934(1/9) 234 2(1/9)334 3(1/9)434 n-1(1/9)n化简，由第 3 项开始，从每项的最后一个因数中，拿出 1 个 1/9，与前面的 3 乘在一起，于是：S 雪 131/9(31/9)(41/9)(31/9)(41/9) 2(31/9)(41/9)3(31/9)(41/9) n-111/31/34/91/3(4/9) 21/3(4/9) 31/3(4/9) n-111/314/9(4/9) 2(4/9) 3(4/9) n-1中括号里面是一个首项为 1，公比为 4/9 的无穷等比数列。根据等比数列的求和公式，首项为 a，
5、公比为 q 时，等比数列前 n 项的和Sna(1q n)/(1q)。对于 q1 的无穷等比数列来说，q n趋于 0，Sa/(1q)。这里，a1，q4/91，所以，中括号里面的和等于 1/(14/9)9/5。于是， “雪花曲线”的面积是S 雪 11/39/513/58/5。即， “雪花曲线”的面积是原来等边三角形的 8/5 倍。二、 “雪花曲线”的周长：因为，周长边长边数，而每次变化后，边长是原来的 1/3，边数是原来的 4 倍，所以，周长是原来的 1/344/3。也就是说，每次变化后，边长都比原来增加 1/3。随着变化的持续进行，周长会变得越来越大，以至无穷。这就是“雪花曲线”的非同寻常之处：它的面积是有限的；它的周长却是无限的。是不是“不可思议”？！
