顽健自适应波束形成算法.doc

1、2009 年 6 月 Journal on Communications June 2009第 30 卷第 6 期 通 信 学 报 Vol.30 No.6顽健自适应波束形成算法宋昕，汪晋 宽，刘福来，王彬（东北大学 信息科学与工程学院， 辽宁 沈阳 110004）摘 要：针对方向向量偏差会导致最小均方(LMS)算法的性能急剧下降这一问题，提出了一种基于可变对角载入的顽健自适应波束形成算法。采用最陡下降法对信号方向向量进行优化求解，并在每次迭代过程中更新对角载入值，进而求出最优的权重向量，避免了矩阵求逆运算和特征值分解运算，大大降低了计算复杂度。通过建立步长与输入信号的关系得到可变的步长因子，克

2、服了收敛速度和稳态误差之间的矛盾。该算法收敛速度快，抗扰动性强，对信号方向向量偏差具有很强的顽健性，从而改善了阵列输出的信干噪比，使其更接近最优值。理论分析和仿真结果表明与传统自适应波束形成算法相比，所提顽健算法具有更好的性能。关键词：自适应波束形成；变步长；对角载入；信号方向向量偏差中图分类号：TN 911.7 文献标识码：A 文章编号：1000-436X(2009)06-0007-06Robust adaptive beamforming algorithmSONG Xin, WANG Jin-kuan, LIU Fu-lai, WANG Bin(School of Information

3、 Science variable step size; diagonal loading; signal steering vector mismatches1 引言 自适应波束形成算法被广泛应用于雷达、声纳、自适应信道均衡和阵列信号处理等诸多领域15。最小均方 (LMS)算法是自适应波束形成算法中估计梯度的方法，它具有结构简单、计算量小、易于实现、稳定性高等优点。但在实际通信环境中，由于期望信号波达方向 DOA 估计不够精确或者存在一定的指向偏差，导致传统自适应波束形成算法的性能急剧下降。近年来对于存在方向向收稿日期：2007-03-22；修回日期：2009-03-29基金项目：国家自然科

4、学基金资助项目（60874108）Foundation Item: The National Natural Science Foundation of China (60874108)8 通 信 学 报 第 30 卷量偏差的顽健自适应波束形成算法一直是人们研究的热点问题，提出了不少有效的波束形成算法。基于对角载入的波束形成算法 6属于固定对角载入算法，适用于期望信号相对较弱而干扰信号很强的通信环境，由于对角载入值不能随实际情况的变化而调整，波束形成器的性能将受到影响。导数约束法 7是通过平滑方向图函数，使得波束主瓣变宽来提高算法的顽健性，但减少了抑制干扰的自由度。把一些优化理论方法应用到顽健

5、波束形成设计中，如 Gershman 提出当方向向量的值域为某个不确定集合时，顽健波束形成可表述成二阶凸规划问题，利用标准的内点算法软件来求解权重向量，但无法得到闭式解表达式 8。本文采用方向向量偏差的模值作为非线性约束条件，利用最陡下降法得出基于可变对角载入的方向向量，即对角载入值可以随方向向量偏差和信噪比的变化而调整。通过建立步长与输入信号之间的关系得到可变步长因子，可以解决收敛速度与稳态误差之间的矛盾。该算法提高了系统的顽健性，改善了输出的信干噪比，降低了计算复杂度，能够适应实际复杂的通信环境。仿真实验验证了所提顽健自适应波束形成算法的有效性和优越性。2 算法描述2.1 信号模型考虑各向

6、同性的 个阵元的均匀线阵，阵元M间距为 ，期望信号波达方向为 ，有 个干d01D扰源，波达方向分别为 , 其中121,。以阵列的第 个阵元为基准，各个窄带信MD号在基准阵元的复包络分别为 ，011(),()Dstst则第 个阵元端接收的信号为l(1)21j(1)sin0() ()sDldli lxttet其中， 为信号的波长， 为第 个阵元上均s()lt值为零、方差为 的白噪声。表示成向量的形式2为(2)0()()kskXain其中， 为接收向量，T12(),(),()Mxx为期望信号，a 为期望信号的方向向量，0sk为期望信号向量， 为干扰向量， 为ki()kn噪声向量。阵列输出为(3)H(

7、)()ykwX其中， 为权重向量， 表示T12,MwT()矩阵的转置， 表示矩阵的共轭转置。 阵列输()出的信干噪比定义为(4)HsinSINRw其中，(5)HE()sk(6)H()in kii分别为阵列期望信号的协方差阵和干扰和噪声的协方差阵。在信号处理中，为保证期望信号正常接收，应尽量减弱和抑制干扰信号，即增大系统的输出信干噪比。在自适应阵列天线系统中，通过调整权重向量，可使系统的输出信干噪比达到最优值，即(7)2H1optsinSINRa其中， 为信号的功率。式(7)给出了式(4) 的输出2s信干噪比的上限。2.2 约束最小均方算法约束最小均方(CLMS)算法的基本原理是基于最陡下降法，

8、用带有约束条件的阵列输出功率代替均方误差，沿着权值方向搜索达到输出的功率最小，其代价函数为(8)HHminsubject o1inwRwa利用拉格朗日因子方法求出最优权重向量为(9)1optHina实际上，协方差矩阵 无法获得，只能用inR次信号采样样本的协方差矩阵 来代替 。NinR(10)H1()NiiX则权重向量改写为(11)H1Raw利用最陡下降法得到 CLMS 算法的递推公式为 9第 6 期 宋昕等：顽健自适应波束形成算法 9(12)H1tt()()()kkgaPIwRwg在实际通信环境中，由于约束 LMS 算法的输出功率受到式(8) 中的约束条件限制，将有偏差的信号作为期望信号进行

9、保护，而对其他方向的信号（包括实际有用信号和干扰信号）加以抑制，因此方向图才会在实际信号处形成零陷。在理想情况下，实际的方向向量等于假定的方向向量，即 ，得到输出的信干噪比为a(13)2Hoptopt=()sinSINRw当存在偏差时，即 ，则有a(14)1Hopt由于 与 不匹配，所以 ，aH11Ra则(15)optwa将式(15)代入式(13) 得到关系式为(16)2Hoptopt()sinSINR则输出信干噪比可改写为(17)212H2H121210()()cos,;ins insiniinSISINRaaR其中， ， 为计算被矩阵H10sina2()加权的 2 个向量 和 之间的广义角

10、的余弦，即Zb(18)2Hco(,;)()Zab显然， 。通过上述分析表20s1 明，约束方向向量与期望信号真实方向向量不一致时，自适应波束形成算法的输出信干噪比下降，产生信号相消的现象 10。3 顽健自适应波束形成算法为了解决方向向量偏差导致算法输出性能下降问题，本文提出利用非线性约束条件下的最小化阵列输出功率对方向向量进行优化，提高了系统的顽健性。在 实 际 应 用 中 ， 可 假 设 信 号 方 向 向 量 偏 差 为 。ea(19)2ea则信号的实际方向向量为(20)e所提顽健算法的代价函数为非线性约束条件下的最优化阵列输出功率，即(21)2H1min()()subject oeeew

11、aRaa为了避免 的情况出现，假设 ，0 则式(21)的不等式约束可转化为等式约束为(22)2H1in()()subject oeeew aaa式(22)的优化问题是基于如下考虑：存在信号方向向量偏差时，通过调整波束空间的方向图，可以将主波束对准有用信号，从而在维持有用信号的输出功率基本不变的同时最小化干扰的输出功率，加强对干扰信号功率的抑制。式(22)的解可通过最小化函数 而得到(,)eLa(23)H1H2112(,)()eeeeeLaaR其中， 为拉格朗日因子。将式(23)对 求梯度有w(24)11(,)eeHaRa令梯度式(24)为零得到(25)11()eI把式(25)代入式(22) 的

12、约束条件中，得到(26)H1212()aRa对式(26)中的 进行特征值分解，即(27)HU其中， 为特征向量矩阵，式中 为 的特征值，12diag(,)MiR10 通 信 学 报 第 30 卷。12M 将式(27)代入式(26) 中，得到(28)H121H2()aUIUa令 ，简化式(28) 为F(29)221()()MiiFf可以证明，式(29)中的 存在唯一解 1113。当时， ，而当 时，2lim()0f0。所以对于给定的 ，式(29)中的20li()f存在唯一解。下面给出 的取值范围，即(30)121in,MiiF aa利用牛顿方法解式(29)求出拉格朗日因子 ，然后把求出的 代入式

13、(25)中求出 ，进而求出实ea际方向向量 。a则最优权重向量可表示为(31)1H112()RwIaa从式(31)可知，权重向量是通过对矩阵求逆和特征值分解运算得到的最优值，其计算量会随着阵元数目和采样数目的增加而剧增，而且在实际环境中，信号的特性信息不能完全获得，环境也是实时变化的，所以采用递推算法来减少这些因素的影响是合适的。利用矩阵求逆引理，可得逆矩阵(32)1H()()()(1)kk QRKXQ其中， 。()基于最陡下降法得到顽健自适应波束形成算法的递推公式为(33)(1)(,)()eeekkkaHaIQIQa把式(33)代入式(22) 的约束条件中，得到(34)H2()()()eek

14、pap其中， 。 ()()()eekkkpaQaa解式(34)得到可变对角载入因子为(35)HRR()()eqk其中，(36)HH22()(e)()eqkkpa把求得的可变对角载入因子 代入式(33)中(求出 ，进而得到实际方向向量 。则最优()eka)ka权重向量可改写为(37)H()()()eekQwa4 性能分析式(27)的另一种表达形式为(38)H1MiRu把式(31)代入式(4) 可以得出，权重向量公式的分母是常量并不影响输出信干噪比的性能。为了讨论上的方便，简化权重向量为(39)H1Miiiuaw分析式(39)可知，由于引入非线性约束条件，使该算法为对角载入算法，通过因子 来缩1i

15、放信号，提高了算法的性能。式(33)可写为(40)(1)()()()e eekkkaIQIaQaG其中， ，式中 ，HgUg12di,M是 的特征值，且 。(,2)iM 0i在方程(40)的两边左乘 ，得Hg(41)Hg g(1)()()e ekkkaIaUQa为了表示方便，式(41)可写为(42)g()()()AAB其中， 。HHgg(,ekkUaa令 ，由上式的递推关系得1ii第 6 期 宋昕等：顽健自适应波束形成算法 11(43)11()(0)kkiii iAB从式(43)可知，若使 收敛，需满足 ，eai即 。则有 ， 为最大特1imax2ax征值，且 。max1TrMiG对于 LMS

16、 类算法，典型的 值取上界的 1/10数量级，即 。因此在收敛的每一步都要5r重新确定 值，以期达到较好的收敛效果。这样在初始收敛阶段或者系统参数发生变化时，采用大步长，使得算法有较快的收敛速度或对时变系统的跟踪速度；然后随着算法逐渐进入稳态时，减小步长，使得算法的稳态误差减小。5 仿真实验结果 考 虑 10 个 阵 元 的 等 距 线 阵 ， 间 距 为 半 个 波 长 ，采 样 次 数 为 100， 对 于 每 一 点 都 进 行 100 次 的 仿 真实 验 ， 仿 真 结 果 如 图 16 所 示 。 假 设 期 望 信 号 的 波达 方 向 为 ， 2 个 干 扰 源 的 波 达 方

17、 向 分 别 为 和 3。5实验 1 阵列方向图的比较设 条 件 为 ， 信 号 的 实 际 波 达 方 向 为0dBSNR， 即 偏 差 为 。 图 1 给 出 了 方 向 向 量 无 偏 差 情 况22下 2 种 算 法 在 信 号 波 达 方 向 上 形 成 的 阵 列 方 向 图 。图 中 垂 直 的 点 划 线 表 明 期 望 信 号 的 波 达 方 向 。 从 图中 可 以 看 出 ， 顽 健 自 适 应 波 束 形 成 算 法 的 方 向 图 在期 望 信 号 处 形 成 了 很 高 的 增 益 ， 达 到 了 提 取 有 用 信号 的 目 的 。图 1 2 种算法阵列方向图(无

18、偏差)图 2 给 出 了 方 向 向 量 存 在 偏 差 时 的 阵 列 方 向 图 。从 图 中 可 以 看 出 约 束 LMS 算 法 在 有 用 信 号 处 形 成图 2 2 种算法阵列方向图( 偏差)2了零陷，而所提算法在存在偏差的情况下也有很高的阵列增益，具有很强的顽健性。实验 2 输出信干噪比的比较设条件为 ，信号的实际波达方向=10dBSNR为 ，即偏差为 。图 3 给出了无偏差情况下阵3列输出的信干 噪 比 随 采 样 数 目 的 变 化 曲 线 。 存 在偏 差 的 情 况 下 阵 列 输 出 的 信 干 噪 比 随 采 样 数 目 的变 化 曲 线 由 图 4 给 出 。

19、从 实 验 2 可 以 看 出 ， 约 束LMS 算 法 把 期 望 信 号 当 成 干 扰 ， 输 出 信 干 噪 比 性能 损 失 严 重 ， 所 提 顽 健 算 法 对 信 号 方 向 向 量 偏 差有 很 强 的顽健性，输出信干噪比要明显优于约束LMS 算法。图 3 阵列输出的信干噪比 (无偏差)12 通 信 学 报 第 30 卷图 4 阵列输出的信干噪比( 偏差)3实验 3 2 种算法在不同信噪比下的性能比较设条件为信号的实际波达方向为 ，即偏差为 ，采样次数为 。图 5 给出了无偏差情 0N况下阵列输出的信干噪比随信噪比的变化曲线。存在偏差的情况下阵列输出的信干噪比随信噪比的变化曲

20、线由图 6 给出。实验 3 表明，随着输入信噪比的增加，约束 LMS 算法的输出信干噪比性能下降越明显，而顽健波束形成算法对方向向量偏差的敏感度较低，输出的信干噪比更接近最优值。图 5 阵列输出的信干噪比 (无偏差)图 6 阵列输出的信干噪比( 偏差)36 结束语针对传统波束形成算法在实际应用中性能下降的问题，提出了一种基于可变对角载入的顽健自适应波束形成算法，并对其性能进行了分析。该算法利用非线性的约束条件对信号方向向量进行优化求解，且优化解中的对角载入值能够准确求出。该算法避免了矩阵求逆运算和特征值分解运算，大大降低了计算复杂度，易于实时实现。本文所提顽健波束形成算法具有良好的收敛性、很小

21、的失调量，对信号方向向量偏差有很强的顽健性，从而使阵列输出的信干噪比在采样数目或输入信噪比变化的情况下都更接近最优值。理论分析和仿真实验结果验证了此算法的可行性和优越性。参考文献：1 GERSHMAN A B, NEMETH E, BOHME J F. Experimental performance of adaptive beamforming in a sonar environment with a towed array and moving interfering sourcesJ. IEEE Trans Signal Processing, 2000, 48(1): 246-25

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27、，女，吉林通化人，博士，东北大学讲师，主要研究方向为顽健自适应波束形成算法、无线通信。beamformingJ. Systems Engineering and Electronics, 2005, 27(10): 1669-1672.11 LI J, STOICA P, WANG Z. Doubly constrained robust Capon beamformerJ. IEEE Trans Signal Processing, 2004, 52(9): 2407-2423.12 ELNASHAR A, ELNOUBI S M, EL-MIKATI H A. Further study

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