1、高数整理tracyloved 第 1 页 共 15 页初等函数: 1sinh()2xye1cosh()2xye()tanhxey()cothxey2c()sssy极限: ,0,|limn nnaANaAa数 列 极 限 ： 设 有 数 列 若 使 得 当 恒 有 则 称 数 列 收 敛 于 或 称 数 列 有 极 限 且 极 限 为 记 做R)(,),|. .li() 2,0,0,|()| Axfx NxffafAxa函 数 极 限 ： 1在 上 有 定 义 若 使 得 当 恒 有 则 时 有 极 限 且 为 记 做在 的 某 去 心 邻 域 内 有 定 义 若 使 得 当 时 恒 有 则 有
2、 极 限 记 lixafA做lim()()xfAfx0sinlm1x1m()e(),li,iepli()lnpln.v BaxaaxauvBuvu若 则等价无穷小因子: sintrcsinrtln(1)xx 21cosx()1x00(),im,0)kxffkCfk时 为 无 穷 小 量 若 使 得 则 时 是 的 阶 无 穷 小()l (x xx时 为 无 穷 大 量 若 使 得 则 时 是 的 阶 无 穷 大函数连续性 1） 间断点a) 第 I 类间断点可分为：可去型间断点和跳跃型间断点；b) 第 II 类间断点可分为：无穷型间断点和震荡型间断点。2） 最值定理： 12 12,()().ab
3、fCxabxabfxfx设 则 使 得 恒 有 3） 零点定理： ,()00.f设 且 则 使 得4） 介值定理： , ,(,)().abfmMmMabf设 是 区 间 内 最 值 则 使 得高数整理tracyloved 第 2 页 共 15 页基本初等函数的求导:()lnxa(ch)sx(sh)cx()(ln)fxfx2tsex2otcetancsscot21(arci)21(arn)x21(arcos)x21(rot)x22lnx(log)(0,)lna2(thc求导法则:1) 反函数求导法则： 11() .()()fxfyfx2) 复合函数求导法则： ()uxf fx3) 隐函数求导法则
4、：等式两边同时对 x 求导4) 参数式求导法则： ()(),xtdytTy设 则5) 取对数求导法则： ()(ln)fffx二阶导数和高阶导数: 23()()(),xtdyttTyx设 则 ()()!,(1)nnnkyxx()sini)n()()0kkuvCv()cos)2nx()1(!l,nx()lxnxnaa微分: ()dd()uvd2()uvd()dcu000|, ()fxxfxfxfx的 一 次 近 似 式 ： 当 时中值定理:1) 费马引理: ()(),().fafaafa在 的 邻 域 内 有 最 值 且 在 处 可 导 则2) 罗尔定理: , ,0bCDfb设 则 使 得3) 拉
5、格朗日中值定理: , () .a fbfa设 则 使 得4) 柯西中值定理: , (),()0, .()b ffggxagg设 则 使 得高数整理tracyloved 第 3 页 共 15 页泰勒公式及常用函数的麦克劳林公式:() (1)12()()1,() ) )!nnnfxaBnxBaxafffxfxa 若 在 的 上 阶 可 导 ,则 必 或 使 得 ： 0x当 时 : 21()nex1ln()x n35212si ()()! )!nnnxx-242211co(1()!)!nnnx -2)() ()! nxx 其他类型的未定式的极限的转化:01fg型 1gff型0()1, exp()ln
6、()vyuux型导数在几何上的应用:1. 极值的充分条件: 000(),(),()fff若 则 是 的 极 小 值|,;,.li(0)(1nnnxnxnabbaafn比 较 判 别 法 取 与 同 收 敛 与 同 发 散比 较 判 别 法 若 + 同 收 敛 +同 发 散比 值 判 别 法 收 敛 发 散根 值 判 别 法 收 敛 发 散积 分 判 1:),), .n nfxa别 法 扩 充 定 义 若 在 单 调 减 与 敛 散 性 相 同高数整理tracyloved 第 11 页 共 15 页任意项级数: 1111 1,.,.nnnn naaa 收 敛 必 收 敛 若 发 散 收 敛 则
7、成 为 条 件 收 敛 发 散 则 发 散莱布尼兹型级数: 1 1(),(0).lim0,().n nnnx 对 于 若 且 单 调 减 则 收 敛莱布尼兹型 p 级数: 1(),;,.n pp对 于 绝 对 收 敛 时 条 件 收 敛 时 发 散幂级数: 1 1lim,li ,limlin nxx xxn na aR 若 存 在 或 者 为 则 1 101,(),(),(),.nxnnnSaSxaSdxR设 幂 级 数 收 敛 半 径 为 和 函 数 为 则麦克劳林展开式: ()001()!nnfxfx 1l(),(1)xnx 01,()!xnex210si(),()!nn20cos(),(
8、)!nn,(,1knx01() ,()!nnxx幂级数的和函数与麦克劳林展开式互逆 ()00()!nnfxf 1l(),1)nxx 01,()!nxe201()si,()!nn20()cos,()!nnx ,(0,)1knkx01(1),)!nn x高数整理tracyloved 第 12 页 共 15 页微分方程：线性微分方程：形如： 即 的()(1)(2)2()nnnnypxxypxyf()0()ininfxpy方程被称为 n 阶线性微分方程，其中 ， 均为已知函数。()if微分方程类型：a) 变量可分离：形如 则，=()dyfxg=()dyfxCb) 齐次微分：形如 ，令 ，则fu()ln
9、()duxFCfc) 一阶线性微分方程：形如 ，则()yPQx() ()Pxdxdyeed) 全微分方程：形如 且 则原函数：(,)(,)0yy(,)(,)PxyQxy或00(,)(,)(,)xyuyPdQxd00(,)(,)(,)xyudd二阶微分方程： pqf1) 可降阶：a) 形如 ，则()yfx12()yFxdCb) 形如 ，则,c) 形如 ，令 ，则 ，则(,)yfyu(,)fyud21(,)dyxC2) 性质：a) 若 是方程的解，则 也是方程的解12(),x312()()()xCb) 解 与 时的解 之和 也是方程的解y0f2yyxc) 当 时，有线性无关的解 ，则()fx12(
10、),x12()()()yxCd) c)中 表示原函数的余函数。12()yCy高数整理tracyloved 第 13 页 共 15 页高数整理tracyloved 第 14 页 共 15 页3) 二阶常系数线性方程： ()ypqfxa) 当 时，令 为 的两实根，或 ：()0fx12,0ii. 时：则2412xxyCeii. 时：则pq12()iii. 时：则2012(cosin),2x pyeCxb) 当 时：()kxfai. 当 k 是特征根时，令()kxxyAeii. 当 k 是单特征根时，令 ()iii. 当 k 是二重特征根时，令2()kxxyec) 当 时：1010() )nnfxa
11、xabi. 当 不是特征根时，令11()nnxyAxAxii. 当 是特征根时，令 01()d) 当 时：()cosinfxabxi. 当 不是特征根时，令i()cosinxyABxii. 当 是特征根时，令 ()e) 当 表示 m,n 次已知多项式，1212()()cossi,kxmnmnfePP令 , 是 的重数，() ()jkxl lxyQxx0,jik是含待定系数的 l 次多项式，12,ll alf) 当 时，设 是 的特解，则12()()fxfx()ixy()ipyqfx12()()()=+xxyy高数整理tracyloved 第 15 页 共 15 页行列式：第一行展开定义： 11
12、=()=nnjjjjDaMA逆序法定义： ， 取遍 1，2，n 所有 n!个1,2,121,2,()nnnjjjjjj a 1,2,njj排列，是对这 n!个排列求和。行列式性质：1) TD2) 两行交换，行列式反号。a) 两行相同，行列式为零。b) 某行元全为零，行列式为零。3) 某行元皆乘以 k，行列式的值亦乘以 k。a) 两行对应元成比例，行列式的值。4)1121121121121212n nniiiiiiiiiiiinnnnnnnaaaaabcbcbccaaaaa5) 某行元都乘以常熟 k 后加到另一行的对应元上去，行列式的值不变。行列式计算： 或转换为上（下）三角行列式。11ijijDA矩阵：矩阵的线性运算：若 ，则矩阵 A 与 B 的加法定义为,ijijmnmnabkABR+ijmnabAB矩阵 A 与数 k 的数乘定义为 ，矩阵 称为矩阵 A 的负矩阵，记为-A,ijmnaijmna矩阵 A 与 B 的减法定义为 AB =A+(-B)。公式： ， ，llk+klklT（矩阵 A，B，C 1,C2 均为任意 mn 阶矩阵）21OC对于 n 阶矩阵 A，B， 。可逆矩阵：设 A 是 n 阶矩阵，错在一个 n 阶矩阵 B 使得 AB=BA=E，则矩阵 A，B 互逆
