1、Ch 8 自 旋,本章学习要求：,掌握自旋算符与Pauli矩阵； 了解自旋态存在的实验证明；,1、电子自旋,在讨论电子在磁场中的运动时，我们发现电子具有轨道磁矩,如有外场存在，则这一轨道磁矩所带来 的附加能量为,显然 是量子化的，它取(2l + 1)个值。,在较强的磁场下( 10T )，我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象（原子发出的每条光谱都分裂为三条），而轨道磁矩的存在，能很好的解释它 。,但是，当这些原子或离子置入弱磁场 1T的环境中，或光谱分辨率提高后发现分裂的光谱中为偶数条。大量实验事实证明，认为电子仅有三个自由度并不是完全正确的。我们将引入一个新的自由度自旋，它是粒
2、子固有的 。,2、 电子自旋存在的实验依据,（1）Stern-Gerlach实验（1922年）,当一狭窄的S态银原子束通过非均匀磁场后，分为两束。见下图,从经典观点看cos 取值为(1，1)， 因此，不同原子（磁矩取向不同）受力不同， 而取值从 到 。所以原子应分布在一个带上.,分析：,当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时，如 原子无磁矩，它将不偏转；而当原子具有磁 矩，那在磁场中的附加能量为,如果经过的路径上，磁场在Z方向上有梯度，即不均匀，则受力,但Stern-Gerlach发现，当一束处于基态的 银原子通过这样的场时，发现分裂成二 束， 即仅二条轨道（两个态）。,与之相联系的角动量称为电子自
3、旋，它是电子的一个新物理量，也是一个新的动力学变量。,我们知道，银原子（z = 47） 基态 l = 0 ，所以没有轨道磁矩，而分成二个状态（二个轨道），表明存在磁矩，这磁矩在任何方向上的投影仅取二个值。只能是电子本身的（核磁矩可忽），这磁矩称为内禀磁矩。,（2）电子自旋存在的其他证据,Na原子光谱中有一谱线，波长为5893，但精细测量发现，实际上这是由两条谱线组成。,D2=5889.95,A碱金属光谱的双线结构,2、 电子自旋存在的实验依据,D1=5895.93,B反常塞曼效应(Anomalous Zeeman effect),原子序数 Z为奇数的原子，其多重态是偶数， 在弱磁场中分裂的光谱
4、线条数为偶，如钠 D1和 D2，的两条光谱线，在弱磁场中分裂为4条和6 条。这种现象称为反常塞曼效应。,根据实验事实，G. Uhlenbeck和S. Goudsmit提出假设,电子具有自旋 ，并且有内禀磁矩 ，它们有关系, 电子自旋在任何方向上的测量值仅取两个值Sz = /2，所以,对比轨 道磁矩,(A) 每个电子具有自旋角动量 ，它在空间任意方向的投影只能取两个值,或,(B) 磁矩的差别,自旋磁矩：,轨道磁矩：,相差1/2,（3）电子的自旋角动量与轨道角动量的关系,2、 电子自旋存在的实验依据,电子除具有空间自由度，还具有自旋自由度。,故,由于,显然可以采用二分量波函数，即,上述波函数称为旋
5、量波函数.,3、 自旋态的描述,（1）旋量波函数,旋量波函数的物理意义:,归一化条件为,（2）波函数的构造:,若体系的Hamiltonian量不含自旋变量，或可 表为自旋变量部分和空间变量部分之和，且 无耦合，则波函数可以分离变量,即,是描述自旋态的波函数。,一般形式为,式中|a|2与|b|2分别代表电子取 的几率.,3、 自旋态的描述,特例:,对 的本征态,为本征值,即,这种本征态常记为与：,故归一化条件为,与构成电子自旋态空间的一组正交完 备基，一般自旋态可用它来展开：,而前述二分量波函数可表为：,4、 电子自旋算符与Pauli矩阵,（1）自旋算符的对易关系,考虑自旋具有角动量的特征： 自
6、旋角动量也满足：,分量式,简写为,而且,S2的本征值： S2 = s(s+1) 2 s为自旋量子数（与轨道量子数l对应） Sz的本征值：Sz = ms 给定一个s为， 取值2s+1个： 对于电子，s=1/2，则 此时,与轨道角动量做比较：,4、 电子自旋算符与Pauli矩阵,（2）Pauli算符,引入无量纲的泡利算符,由,得,或,的本征值都是,由于,得 的本征值,也就是说,根据,（2）Pauli算符,得,由,用 y分别左、右乘上式，有,（2）Pauli算符,两式相加得,和,Likewise,Pauli算符的反对易关系,（2）Pauli算符,与,相加得,对比,可得,和,4、 电子自旋算符与Pau
7、li矩阵,（3）Pauli矩阵,自旋函数是21 矩阵，作用在自旋函数上的自旋算符应该是22 矩阵。令Pauli Matrix,根据表象理论，一个算符在自身表象中 应是对角化的，对角元素即为其本征值。由于算符z的本征值为1，所以：,（3）Pauli矩阵,问题：找出在z表象中，x和y 的矩阵形式,根据 2x=1和厄米性要求 +x= x，有,令,由反对易关系,NEXT,计算结果,故,于是,（3）Pauli矩阵,NEXT,根据厄米性要求,即,所以,再根据,（3）Pauli矩阵,NEXT,由,得| b |2 =1。由于b是个复数，故令b = ei (为实数)。又因为c = b* = e i ，故有,通常取 =0，所以,（3）Pauli矩阵,对于y，因为,即,结果有,-Pauli Matrix,（3）Pauli矩阵,END,
