1、补充内容：拉普拉斯变换及反变换,2.1 拉普拉斯变换 （ Laplace ）,2.2 常用函数的拉普拉斯变换,2.3 拉普拉斯变换的基本性质,2.4 拉普拉斯反变换,2.1 拉普拉斯变换,拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具。把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经求解再还原为时间函数。,一、拉氏变换（Laplace transformation）的定义,（Laplace transformation）,（inverse Laplace transformation）,f(t)和F(s)是一对拉普拉斯变换对（Laplace pairs） 。,f(t) ，t 0,)称为原函数（origin
2、al function），属时 域（time domain）。原函数 f(t ) 用小写字母表示，如 i(t )， u(t )。,F(s) 称为象函数（transform function），属复频域 （complex frequency domain） 。象函数F(s) 用大写字母 表示 ，如 I(s)，U(s)。,称为复频 率 （complex frequency）。,积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。,积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。,0+ 拉氏变换和0拉氏变换的区别：,为了把0- 0+时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变 换定义式中积分下限从 0- 开始。,（1）
3、求解方程得到简化。拉氏变换将“微分”变换成“乘法”，“积分”变换成“除法”。即将微分方程变成代数方程。 （2）初始条件自动包含在 变换式里。,二、拉氏变换的优点,应用拉氏变换：,拉氏变换已考虑了初始条件,终值,初值,三、拉氏变换的物理意义,拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)，或作相反变换。 时域f(t)变量t是实数，复频域F(s)变量s是复数。变量s又称“复频率”。 拉氏变换建立了时域与复频域(s域）之间的联系。,看出：将频率变换为复频率s,且只能描述振荡的重复频率，而s不仅能给出重复频率，还给出振荡幅度的增长速率或衰减速率。,四、拉氏变换存在条件,不同的 f (t)，0的值不
4、同， 称 0为复平面s内的收敛横坐标。,由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论 中一般不再写出其收敛范围。,拉氏变换收敛域举例,（5）不收敛信号,除非,2.2 常用函数的拉普拉斯变换,= 1,例 求图示两个函数的拉氏变换式,解 由于定义的拉氏变换积分下限是0，两个 函数的拉氏变换式相同, -1,15.3 拉普拉斯变换的基本性质,一、线性（linearity）性质,二、微分（differentiation）定理,原始值为r(0-)及r/(0-)，原始值为e(0-)=0，求r(t)的象函数。 解：设r(t)，e(t)均可进行拉氏变换即有E(S)=Le(t) , R(S)=Lr(t) 对方
5、程两端进行拉氏变换，应用线性组合与微分定理可得 S2R(s)-Sr(0-)-r/(0-)+a1SR(s)-r(0-)+a0R(s)=b1SE(s)-e(0-)+b0E(s) 整理合并得 （S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b10,例3 某动态电路的输入输出方程为,反变换得 r(t)=L-1R(s),三、积分（integration）定理,例,积分上限也应为0-,四、时域平移（time shift）,f(t),f(t-t0),平移,例1 求图示函数的拉氏变换式,例3 周期函数（periodic function）的拉氏变换。,设 f1(
6、t)为第一个周期的函数，,例1,例2,例3,五、 复频域平移（frequency shift）,六、初值(initial-value)定理和终值(final-value)定理,初值定理 若 f(t)=F(s)，且 f(t)在t = 0处无冲激， 则,终值定理 f(t)及其导数f (t)可进行拉氏变换，且,，则,例1,例2,例3,例4：已知F(s)=,解：由初值定理和终值定理可得,，求f(0)和f(),例5：已知F(s)= ,求f(0)和f(),由于s=ja是sF(s)的极点，位于虚轴上，不能应用终值定理，即f()不存在。,解：由初值定理得,例 右图所示电路中，电压源为 ， 试用时域卷积定理求零
7、状态响应电流i(t),七、,解：令激励电压为单位冲激电压(t)，则初值为,冲激响应电流为,h(t)=,零状态响应电流为卷积积分,i(t)=u(t)* h(t)=u(t)*,进行拉普拉斯变换 Li(t)=U(s)H(s)=U(s)Lh(t),八、,九、,表2-1 拉普拉斯变换的基本性质,表2-2 拉普拉斯变换表,2.4 拉普拉斯反变换,一、由象函数求原函数,（2）经数学处理后查拉普拉斯变换表,f(t)=L-1F(s),象函数的一般形式：,二、将F(s)进行部分分式展开（partial-fraction expansion）,等式两边同乘(s-s1),ki也可用分解定理求,等式两边同乘（s-si）,应用洛比达法则求极限,例1,例2,用分解定理,例3,m n，用长除法，得,k1 , k2也是一对共轭复数。,假设只有两个根,，可据前面介绍的两种方法,设,求出 k1 , k2。,例,法一：,部分分式展开，求系数。,法二：,将F2(s)改写为(s )2 + 2,等式两边乘,例1,例2,等式两边乘,4.一般多重根情况,练习1:,练习2:,练习3:,练习4:,2.5 用拉氏变换法 求解常微分方程,一、 用拉氏变换求解微分方程,用拉氏变换求解微分方程,例1:,
