1、七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载本资料来源于七彩教育网http:/9.1 合情推理与演绎推理【知识网络】1、合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。2、演绎推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理 。3、三段论推理是演绎推理的主要形式，常用格式为：MP（M 是 P）大前提SM（ S 是 M）小前提SP（S 是 P）结论4、合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。【典型例题】例 1：（1）迄今为止，人类已借助“网格
2、计算”技术找到了 630 万位的最大质数。小王发现由 8 个质数组成的数列 41，43，47，53，61，71，83，97 的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。他写出不是质数的一个数是 （ ）A1643 B 1679 C1681 D1697答案：C。解析：观察可知： ),1(2,6,4,2132312 naaan累加可得： ，)(1n 验证可知 1681 符合此式，且 4141=1681。,42an（2）下面给出了关于复数的四种类比推理：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；由向量 a
3、 的性质|a| 2=a2类比得到复数 z 的性质|z| 2=z2；方程 有两个不同实数根的条件是 可以类),(02 Rcbcbx 042acb比得到：方程 有两个不同复数根的条件是 ；Cz由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.其中类比错误的是 ( )A. B. C. D. 答案：D 。解析：由复数的性质可知。（3）定义 的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，AD,那么下图中的（A） 、 （B）所对应的运算结果可能是 ( )七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载（1） （2） （3） （4） （A） （B）A. B. C. D
4、.DB, , A, AC,答案：B。（4）在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的 ”。拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四13面体的高的 。答案： 。解析：采用解法类比。hr4（5）在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从指数函数中可抽象出 的性质；从对数函数中可抽象出)()(2121xfxf的性质。那么从函数 (写出一个具体函数即可)可)(21xf抽象出 的性质。)(21ff答案：y=2x。解析：形如函数 y=kx (k0)即可，答案不惟一。 例 2：已知： ； 23150sin9i30sin22
5、2 2315sin6i5sin222 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：_= （ * ）并给出（ * ）式的证明。答案：一般形式: 23)10(sin)60(sini 222 证明：左边 = 4co1cocs1= )20s()20(2o3 = 4cos1in1cscs1 240sin= = i232i3o223 右 边（将一般形式写成 sin(60)sini(60), 等均正确。 ）2223sin(40)1例 3：在ABC 中，若C=90，AC=b,BC=a，则ABC 的外接圆的半径，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。2bar答案：本题是“由平面向空间类比” 。考虑到平面
6、中的图形是一个直角三角形，所以在空间中我们可以选取有 3 个面两两垂直的四面体来考虑。七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体 ABCD，且 AB=a，AC=b，AD=c，则此三棱锥的外接球的半径是 。2cbar例 4： 请你把不等式“若 是正实数，则有 ”推广到一般情形，1, 2121a并证明你的结论。答案： 推广的结论：若 都是正数，na,21nna 2112321证明： 都是正数 ，n,21 121a212a， ，11nnan1nnaa 2121321【课内练习】1给定集合 A、B，定义 ，若 A=4,5,6,|Bn
7、AmxB=1,2,3,则集合 中的所有元素之和为 （ ）A.15 B.14 C.27 D.-14答案：A 。 解析： ，1+2+3+4+515。 5,4321BA2观察式子： ，则可归纳出式子为（ 4713,21 22）A、 B、13212n 1221nC、 D、 3答案：C。解析：用 n=2 代入选项判断。3有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面 ，直线 平面 ，直线 平面 ，则直线 直线 ”的结论显然是错误babba的，这是因为 （ ）A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新初中、高
8、中试卷、课件、教案免费下载答案：A。解析：直线平行于平面 ,并不平行于平面内所有直线。4古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，叫做三角数，它有一定的规律性，第 30 个三角数与第 28 个三角数的差为 。答案：59。解析：记这一系列三角数构成数列 ，则由na归纳猜测 ，两式相加得 。,4,3,21aa 29,3082930a 592830a或由 ，猜测 。21n15数列 是正项等差数列，若 ，则数列 也为等差n nab 32 nb数列. 类比上述结论，写出正项等比数列 ，若 = ，则数列 也ncndnd为等比数列.答案： 。nncc 321321)(6 “ AC,BD是菱形 ABCD
9、的对角线， AC,BD互相垂直且平分。 ”补充以上推理的大前提是 。答案：菱形对角线互相垂直且平分。7在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是 1 颗珠宝, 第二件首饰是由 6 颗珠宝构成如图 1 所示的正六边形, 第三件首饰是由 15 颗珠宝构成如图 2 所示的正六边形, 第四件首饰是由 28 颗珠宝构成如图 3 所示的正六边形, 第五件首饰是由 45 颗珠宝构成如图 4 所示的正六边形, 以 后 每 件 首 饰 都 在 前 一 件 上 ,按 照 这 种 规 律 增 加 一 定数 量 的 珠 宝 ,使 它 构 成 更 大 的 正 六 边形 ,依 此 推 断 第 6 件 首饰上
10、应有_颗珠宝;则前 件 首 饰 所 用 珠 宝 总 数 为 _颗.(结果用 表示)n n答案：66, 。解析：利用归纳推理知。146n8在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有： .22bac设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 OLMN，如果用 表示三个侧面面积， 表示截面面积，那么你类321,s4s图 1 图 2 图 3 图 4七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载比得到的结论是 .答案： 。24321SS9已知椭圆 C： 具有性质：若 M、
11、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两点，点12byaxP 是椭圆 C 上任意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 KPM、K PN 时，那么 KPM与 KPN 之积是与点 P 位置无关的定值。试对双曲线 写出具有类似特性的性质，12byax并加以证明。答案：本题明确要求进行“性质类比” 。类似的性质：若 M、N 是双曲线 上12byax关于原点对称的两点，点 P 是双曲线上任意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为KPM、K PN 时，那么 KPM 与 KPN 之积是与点 P 位置无关的定值。证明如下：设 ，其中),(),(nmNnM则 12bna设 ，由 ，,yxPmxyxy
12、PNP,得 2nmnKNM将 代入得 。222,babxay 2abKPNM10观察下面由奇数组成的数阵，回答下列问题：（）求第六行的第一个数（）求第 20 行的第一个数（）求第 20 行的所有数的和答案：（）第六行的第一个数为 31（）第 行的最后一个数是 ，第 行共有 个数，且这些数构成一个n21nn等差数列，设第 行的第一个数是 a212()na 第 20 行的第一个数为 3 21na（）第 20 行构成首项为 381，公差为 2 的等差数列，且有 20 个数设第 20行的所有数的和为 则20S0(1)381280 19753七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课
13、件、教案免费下载【作业本】A 组1在数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，中，第 25项为 （ ）A25 B6 C7 D8 答案：C。解析：对于 中，当 n时，有 所以第项是。()n6721,2如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当 时,其离心率为 ,此类椭圆FBA512被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出” 黄金双曲线 ”的离心率 e 等于 （ ）A. B. 512512C. D. 答案：A。解析： 猜想出“黄金双曲线”的离心率 等于 .事实上对直角 应用e512ABF勾股定理,得 ,即有 ,22AFB2()()()acbab注意到 , ,变形得 .2bcae210,e
14、e从 而 513下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）A、两条直线平行，同旁内角互补，如果A 和B 是两条平行直线的同旁内角，则A+B=180B、由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C、某校高三共有 10个班，1 班有 51人，2 班有 53人，三班有 52人，由此推测各班都超过 50人D、在数列 中， ，由此推出 的通项公式na )(1(,1naan na答案：A。解析：B 是类比推理，C、D 是归纳推理。4由正方形的对角线相等；平行四边形的对角线相等；正方形是平行四边形，根据 “三段论”推理出一个结论，则这个结论是 。答案： 。解析：是大前提，是小前提，是结论。5公比为 的等比数列 中，
15、若 是数列 的前 项积，则有 也4nbnTnb304210,T成等比数列，且公比为 ；类比上述结论，相应地在公差为 的等差数列 中，若10 3na是 的前 项和，则数列 也成等差数列,且公差为 。 nSa答案： ， ， ；300。解析：采用解法类比。 102S203304SO xABFy七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载6二十世纪六十年代，日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：一个自然数，如果它是偶数就用 2除它，如果是奇数，则将它乘以 3后再加 1，反复进行这样两种运算，必然会得到什么结果，试考查几个数并给出猜想。答案：取自然数 6，按角谷的作法有：6
16、2=3，33+1=10，35+1=16，162=8，82=4，42=2，22=1，其过程简记为63105168421。取自然数 7，则有 7221134175226134020101。取自然数 100，则 100502576381958298844221。归纳猜想：这样反复运算，必然会得到 1。7圆的垂径定理有一个推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，这一性质能推广到椭圆吗？设 AB 是椭圆 的任一弦，M 是 AB 的中点，设 OM 与 AB 的)0(2bayx斜率都存在，并设为 KOM、K AB，则 KOM 与 KAB 之间有何关系？并证明你的结论。答案：K OMKAB= 。证明：设 ，2
17、ab ),(),(),(021yxByxA则 =02121221 )()( bxbyax 21021021, axyyx即 KOMKAB= ，而 ，即 KOMKAB12abbOM 与 AB不垂直，即不能推广到椭圆中。8已知 、 是锐角， ，且满足 。2)2sin(i3（1）求证： ；（2）求证： ，并求等号成立时 的tan)tan(4tatan,值。答案：（1）证明： )(sin)sin(3),si(i3 即 )(cocn)cos()sin(3 。ta2)ta(,i2（2）证明： ， tan2t1tan21t)tn(1)tan(t 、 为锐角， 。42tantta.0tan当且仅当 时，取“=
18、”号，此时， 。2ta,t2tan1即 tB 组1为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接收方由密文明七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载文(解密),已知加密规则为:明文 对应密文 ,例如,明文,abcd2,34abcd对应密文 .当接收方收到密文 时,则解密得到的明文为（ 1,2345,718614938）A B C D,67,66,4171,47答案：C。解析：本题考查阅读获取信息能力,实则为解方程组 ，解得29348abcd，即解密得到的明文为 。6417abcd6,4172平面上有 n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都
19、无公共点，它们将平面分成块区域，有 ，则 的表达式为 （ )(nf 8)3(,4)2(,)1(fff )(nf）A、 B、 C、 D、2n)3(2)1(2 410523n答案：B。解析：由 ，利fffff 2)(,64,3,)1(2 猜 测用累加法，得 。)(nf3设 ，利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法，可求得21xf的值为 （ ）)6(5)0()4(5fff A、 B、2 C、3 D、42 22答案：C。解析： 。)1()xf4考察下列一组不等式：.,5252,52,525 333343 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广
20、的不等式可以是_.答案： （或 为0,0 nmbababamnnm nmba,正整数） 。解析：填 以及是否注明字母的取值符号和关系，n5252也行。5如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正四边 形“扩七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载展”而来，如此类推.设由正 边形“扩展”而来的多边形的边数为 ，nna则 ； .6a345911aa答案：42； 。30976指出下面推理中的大前提和小前提。（1）5 与 2 可以比较大小； （2）直线 。cabcba/,/,则若答案：（1）大前提是实数可以比较大小，小前提是 5 与
21、是实数。2（2）大前提是平行于同一条直线的两直线互相平行，小前提是 。b/,7已知函数 ，对任意的两个不相等的实数 ，都有)(xfy 21,x成立，且 ，求 的值。)(2121fxxf0)(f )206()5()0()26( ffff 答案：当 ，由 ，),0xfxf时 1)0(,1, fxffff从而可得： =)206()5()2()6( ffff 1)0(0520)6( ff 8已知数列 an满足 Sn an2 n1,(1) 写出 a1, a2, a3,并推测 an的表达式；(2)证明所得的结论。答案：(1) a1 , a2 , a3 , 猜测 an2 4781n(2) 由（1）已得当 n1 时，命题成立； 假设 n k时,命题成立，即 ak2 , k当 n k1 时, a1 a2 ak ak1 ak1 2( k1)1, 且 a1 a2 ak2 k1 ak2 k1 ak2 ak1 2( k1)12 k3, 2 ak1 22 , ak1 2 , 即当 n k1 时,命题成立. 1根据得 nN + , an2 都成立 n七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载本资料来源于七彩教育网http:/
