1、第四节 随机变量函数的分布密度,已知连续型随机变量X的密度函数,随机变量 Y = g( X ) ，,求随机变量 Y 的密度函数。,4.1 分布函数法,连续随机变量X的函数Y=g(X)的分布密度函数,(1)使用如下公式计算Y的分布函数,(2)对,求导，得到Y的密度函数：,例4.1设X服从0,1上的均匀分布，令,求Y的密度函数.,2、X的密度函数：,3、X的分布函数：,分析：1均匀分布的密度函数与分布函数,解：,求导得：,当,时,当,时,故：,例4.2 某人驾车从甲地到乙地，两地相距180公里，速度值服从30,60(单位:公里/小时)区间内的均匀分布。求这段旅程所费时间的密度函数。,解：设X是速度
2、,Y=g(X)是这段旅程所花费的时间，则,Y的分布函数：,X的密度函数,分布函数为：,即：,对上式求导，得Y的密度函数为：,本题计算步骤：,X的密度函数,X的分布函数,Y的分布函数,Y的密度函数,例4.3 已知X 密度函数,的密度函数(教材P64),求随机变量,解,当y0时，,应用复合函数求导法：,4.2 线性函数,用X的密度函数表示线性函数aX+b的密度函数：,第一步，计算aX的密度函数。aX的值域比X的值域大a倍。所以，aX的密度函数是将X的密度函数在x轴方向拉长a倍。但为了使aX的密度函数与x轴围成的面积为1，必须将X的密度函数下拉到原来的1/a. 随机变量aX+b与aX一样,只是将图形
3、平移了b个单位。 最后，得到随机变量Y=aX+b的密度函数为：,随机变量X的线性函数的分布密度函数,假设X是连续变量，密度函数为,定义：,则,证明：(只证a0的情形),用复合函数求导法得：,解:,例4.4 设X 服从0,2上的均匀分布,密度函数,求Y=2X+1的密度函数.(P63）,Y的密度函数为,例4.5 (指数随机变量的线性函数)随机变量X服从参数为的指数分布，密度函数为：,定义Y=aX+b,则,注：b=0,a0,Y仍是指数分布，但一般情况Y不是指数分布。,4.3 单调函数,设,y=g(x)是x的单调可导函数,其反函数为x=h(y)，,Y=g(X)的密度函数为：,证：,则在,内，,例4.2,在区间30,60内，h(y)=180/y,所以,所以当,时，运用公式得到：,时，Y的概率密度,解,是单调增加的函数，其导函数恒不为零，,反函数为,例设随机变量X的密度函数为,求,的密度函数.,值域为y0，,由定理可得，当,（教材P65）,时，概率密度为,当,的概率密度为,从而,
