1、线段树,浙江大学 acm校队,线段树,在一类问题中，我们需要经常处理可以映射在一个坐标轴上的一些固定线段，例如说映射在OX轴上的线段。由于线段是可以互相覆盖的，有时需要动态地取线段的并，例如取得并区间的总长度，或者并区间的个数等等。一个线段是对应于一个区间的，因此线段树也可以叫做区间树。,线段树的构造思想,线段树是一棵二叉树，树中的每一个结点表示了一个区间a,b。每一个叶子节点表示了一个单位区间。对于每一个非叶结点所表示的结点a,b，其左儿子表示的区间为a,(a+b)/2，右儿子表示的区间为(a+b)/2,b。,线段树的运用,线段树的每个节点上往往都增加了一些其他的域。在这些域中保存了某种动态
2、维护的信息，视不同情况而定。这些域使得线段树具有极大的灵活性，可以适应不同的需求。,例1,桌子上零散地放着若干个盒子，桌子的后方是一堵墙。如右图所示。现在从桌子的前方射来一束平行光， 把盒子的影子投射到了墙上。问影子的总宽度是多少？,分析,这道题目是一个经典的模型。在这里，我们略去某些处理的步骤，直接分析重点问题，可以把题目抽象地描述如下：x轴上有若干条线段，求线段覆盖的总长度。,最直接的做法,设线段坐标范围为min,max。使用一个下标范围为min,max-1的一维数组，其中数组的第i个元素表示i,i+1的区间。数组元素初始化全部为0。对于每一条区间为a,b的线段，将a,b内所有对应的数组元
3、素均设为1。最后统计数组中1的个数即可。,示例,初始情况 1，2 3，5 4，6 5，6,4个1,缺点,此方法的时间复杂度决定于下标范围的平方。 当下标范围很大时（0,10000），此方法效率太低。,离散化的做法,基本思想：先把所有端点坐标从小到大排序，将坐标值与其序号一一对应。这样便可以将原先的坐标值转化为序号后，对其应用前一种算法，再将最后结果转化回来得解。 该方法对于线段数相对较少的情况有效。,示例,10000,22000 30300,55000 44000,60000 55000,60000 排序得10000，22000，30300，44000，55000，60000 对应得1 ，2
4、，3 ，4 ，5 ，61,2 3,5 4,6 5,6,示例,初始情况 1，2 3，5 4，6 5，6,4个1,示例,10000，22000，30300，44000，55000，60000 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6(22000-10000)+(60000-30300)=41700,1 2 3 4 5 6,10000 22000 30300 44000 55000 60000,缺点,此方法的时间复杂度决定于线段数的平方。 对于线段数较多的情况此方法效率太低。,使用线段树的做法,给线段树每个节点增加一个域cover。cover=1表示该结点所对应的区间被完全覆盖，cover=0表示该结点所对
5、应的区间未被完全覆盖。,1,6,0,3,6,0,1,6,0,1,3,0,3,6,0,1,2,0,2,3,0,3,4,0,4,6,0,4,5,0,5,6,0,1,3,0,1,2,1,加入1,2,加入3,5,3,4,1,4,6,0,4,5,1,1,2,1,3,4,1,4,5,1,加入4,6,4,6,1,4,6,1,程序实现,线段树的数据结构表示,1、动态数据结构 2、完全二叉树,动态数据结构,typepNode = TreeNode;TreeNode = recordb, e: Integer; l, r: pNode;cover: Integer;end;,对应区间,左右孩子,5,9,完全二叉树
6、,1,9,1,5,1,3,3,5,5,7,7,9,7,8,8,9,5,6,6,7,3,4,4,5,1,2,2,3,完全二叉树,typeTreeNode = recordb, e: Integer; cover: Integer;end;,对应区间,插入算法,procedure Insert(p, a, b: Integer); varm: Integer; beginif Treep.cover = 0 thenbeginm := (Treep.b + Treep.e) div 2;if (a = Treep.b) and (b = Treep.e) thenTreep.cover := 1e
7、lse if b = m then Insert(p * 2 + 1, a, b)else beginInsert(p * 2, a, m);Insert(p * 2 + 1, m, b);end;end; end;,取中值,未被完全覆盖,完全覆盖,在左边,在右边,二分,统计算法,function Count(p: Integer): Integer; beginif Treep.cover = 1 thenCount := Treep.e Treep.belse if Treep.e Treep.b = 1 then Count := 0else Count := Count(p * 2)
8、+ Count(p * 2 + 1); end;,被完全覆盖,是单位区间,二分递归求解,事实上，我们也可以不在每个节点中保存其表示范围，而是在递归调用时增加两个参数来加以表示。,另一种定义,typeTreeNode = recordcover: Integer;end;,插入算法,procedure Insert(p, l, r, a, b: Integer); varm: Integer; beginif Treep.cover = 0 thenbeginm := (l + r) div 2;if (a = l) and (b = r) thenTreep.cover := 1else if
9、 b = m then Insert(p * 2 + 1, m, r, a, b)else beginInsert(p * 2, l, m, a, m);Insert(p * 2 + 1, m, r, m, b);end;end; end;,Treep.b换成了l，Treep.e换成了r，递归时需要多加两个参数，其余都一样,统计算法,function Count(p, l, r: Integer): Integer; beginif Treep.cover = 1 thenCount := r - lelse if r l = 1 then Count := 0else Count := Co
10、unt(p * 2, l, (l + r) div 2)+ Count(p * 2 + 1, (l + r) div 2, r); end;,这个也一样,例2,桌子上零散地放着若干个盒子，桌子的后方是一堵墙。如右图所示。问从桌子前方可以看到多少个盒子？假设人站得足够远。,Wall,分析,可以这样来看这道题：x轴上有若干条不同线段，将它们依次染上不同的颜色，问最后能看到多少种不同的颜色？（后染的颜色会覆盖原先的颜色） 我们可以这样规定：x轴初始是颜色0，第一条线段染颜色1，第二条线段染颜色2，以此类推。,分析,原先构造线段树的方法不再适用，但是我们可以通过修改线段树的cover域的定义，使得这道
11、题也能用线段树来解。 定义cover如下：cover=-1表示该区间由多种颜色组成。cover=0表示该区间只有一种单一的颜色cover。,插入算法,procedure Insert(p, l, r, a, b, c: Integer); varm: Integer; beginif Treep.cover c thenbeginm := (l + r) div 2;if (a = l) and (b = r) then Treep.cover := celse beginif Treep.cover = 0 thenbeginTreep * 2.cover := Treep.cover;,未
12、被完全覆盖或者染色不同,为什么？ 有可能越界吗？,插入算法,Treep * 2 + 1.cover := Treep.cover;Treep.cover := -1;end;if b = m then Insert(p * 2 + 1, m, r, a, b, c)else beginInsert(p * 2, l, m, a, m, c);Insert(p * 2 + 1, m, r, m, b, c);end; end;end; end;,未被完全覆盖或者染色不同,为什么？ 有可能越界吗？,统计算法,使用一个数组Flag，初始化为0。遍历线段树，对于每种颜色c对Flagc赋值1。最后统计F
13、lag中1的个数即可。（注意颜色0应该排除在外，可以在最后减1）,统计算法,procedure Count(p, l, r: Integer); beginif Treep.cover = 0 then FlagTreep.cover := 1else if r l 1 thenbeginCount(p * 2, l, (l + r) div 2);Count(p * 2 + 1, (l + r) div 2, r);end; end;,例3,把例2稍加改动，规定：线段的颜色可以相同。连续的相同颜色被视作一段。问x轴被分成多少段。,分析,仍然定义cover如下：cover=-1表示该区间由多种
14、颜色组成。cover=0表示该区间只有一种单一的颜色cover。,插入算法,插入算法不变,统计算法,function Count(p, l, r: Integer; var lc, rc: Integer): Integer; varresult, tl, tr: Integer; beginif Treep.cover = 0 thenbeginlc := Treep.cover;rc := Treep.cover;if Treep.cover 0 then Count := 1else Count := 0;,最左边的颜色,最右边的颜色,最左颜色=最右颜色=本身 非底色则统计数加1,连接处
15、颜色相同并且非底色，则总数减1,统计算法,endelse if r l 1 thenbeginresult := Count(p * 2, l, (l + r) div 2, lc, tl) + Count(p * 2 + 1, (l + r) div 2, r, tr, rc);if (tl = tc) and (tl 0) thenresult := result - 1;Count := result;end; end;,最左边的颜色,最右边的颜色,最左颜色=最右颜色=本身 非底色则统计数加1,连接处颜色相同并且非底色，则总数减1,例4,x轴上有若干条不同线段，问某个单位区间x,x+1上
16、重叠了多少条线段？,分析,为线段树每个节点增加一个Count域。表示所对应区间上重叠的线段数。 思考线段树的构造方法：当某线段能够完整覆盖某个结点所对应的区间时，则不再二分。因此要统计某个单位区间上重叠的线段总数，必须把从叶结点到根结点路径上所有结点的count域累加。,插入算法,procedure Insert(p, l, r, a, b: Integer); varm: Integer; beginm := (l + r) div 2;if (a = l) and (b = r) then Treep.count := Treep.count + 1else beginif b = m t
17、hen Insert(p * 2 + 1, m, r, a, b)else beginInsert(p * 2, l, m, a, m);Insert(p * 2 + 1, m, r, m, b);end; end; end;,统计算法,function Count(p: Integer): Integer; varresult: Integer; beginresult := 0;while p 0 dobeginresult := result + Treep.count;p := p div 2;end;Count := result; end;,例5,一行N个方格，开始每个格子里的数都
18、是0。现在动态地提出一些问题和修改：提问的形式是求某一个特定的子区间a,b中所有元素的和；修改的规则是指定某一个格子x，加上或者减去一个特定的值A。现在要求你能对每个提问作出正确的回答。1N1024,提问和修改的总数可能达到60000条。,用线段树解,为线段树每个节点增加一个Count域。表示所对应区间内元素之和。 每次修改一个格子，需要修改从叶结点到根结点路径上所有结点的值。 特别注意：题目中的区间是以元素为端点，因此a,b和b,c存在重合，这和我们之前讨论的区间定义不同。我们这里忽略预处理过程，直接使用之前的区间定义。,a b c,定义,typeTreeNode = recordcount
19、: Integer;end;,插入算法,procedure Modify(p, delta: Integer); beginrepeatTreep.count := Treep.count + delta;p := p div 2;until p = 0; end;,统计算法,function Count(p, l, r, a, b: Integer): Integer; varm: Integer; beginif (l = a) and (r = b) then Count := Treep.countelse beginm := (l + r) div 2;if b = m then C
20、ount := Count(p * 2 + 1, m, r, a, b)else Count := Count(p * 2, l, m, a, m)+ Count(p * 2 + 1, m, r, m, b);end; end;,介绍另一种算法,对于序列a，我们设一个数组C，定义 Ci = ai 2k + 1 + + ai，k为i在二进制下末尾0的个数。,图例,(1)10=(0001)2,(2)10=(0010)2,(3)10=(0011)2,(4)10=(0100)2,(5)10=(0101)2,(6)10=(0110)2,(7)10=(0111)2,(9)10=(1001)2,(8)10=
21、(1000)2,如何计算x对应的2k？,2k=x and (x xor (x-1) 以6为例(6)10=(0110)2 xor 6-1=(5)10=(0101)2(0011)2 and (6)10=(0110)2(0010)2,k为x在二进制数下末尾0的个数。,function Lowbit(x: Integer): Integer; beginLowbit := x and (x xor (x 1); end;,如何计算某个区间a,b的和sum(a, b),我们这里所说的区间以元素为端点把这个问题转化成为求sum(1,b)-sum(1,a-1) 如何求sum(1,x)？,求和算法,funct
22、ion Sum(x: Integer): Integer; varresult: Integer; beginresult := 0;while x 0 dobeginresult := result + Cx;x := x Lowbit(x);end;Sum := result; end;,如何修改一个元素的值,设要修改的元素是ap 任意x满足x=pxLowbit(x)的Cx均要修改。,如何确定哪些Cx需要修改？,修改算法,procedure Modify(p, delta: Integer); beginwhile p = n dobeginCp := Cp + delta;p := p
23、+ Lowbit(p);end; end;,复杂度分析,很容易得出Sum和Modify的复杂度均为log2n,例6,在一个N*N的方格中，开始每个格子里的数都是0。现在动态地提出一些问题和修改：提问的形式是求某一个特定的子矩阵(x1,y1)-(x2,y2)中所有元素的和；修改的规则是指定某一个格子(x,y)，在(x,y)中的格子元素上加上或者减去一个特定的值A。现在要求你能对每个提问作出正确的回答。1N1024,提问和修改的总数可能达到60000条。,Mobile,例6实际上是例5的推广，从一维扩展到了二维。,求和算法,function Sum(x, y: Integer): Integer;
24、 varresult, t: Integer; beginresult := 0;while x 0 dobegint := y;while t 0 dobeginresult := result + Cx, t;t := t Lowbit(t);end;x := x Lowbit(x);end;Sum := result; end;,修改算法,procedure Modify(x, y, delta: Integer); vart: Integer; beginwhile x = n dobegint := y;while t = n dobeginCx, t := Cx, t + delta;t := t + Lowbit(t);end;x := x + Lowbit(p);end; end;,思考,1、能否把这种算法应用到前面的例题上去？ 2、如果用线段树解Mobile，应该怎么做？,两种算法的比较,线段树对题目的适应性强，但是要求有较高的处理技巧。 后一种算法适用类型单一，但是算法巧妙，其效率也比线段树高。,
