1、2.1.3 分 层 抽 样,分层抽样 (1)定义:在抽样时,将总体分成_的层,然后按 照一定的_,从各层独立地抽取一定数量的个体,将 各层取出的个体_作为样本,这种抽样方法叫 做分层抽样.,互不交叉,比例,合在一起,(2)适用范围:当总体是由_的几个部分组成时,往往采用分层抽样.,差异明显,【点拨】 (1)对分层抽样概念的三点说明 相似的个体归入一类,即为一层,分层时要求每层的各个个体之间互不交叉,遵循不重复、不遗漏的原则.,为保证每个个体等可能入样,每层样本数量与每层个体数量的比和样本容量与总体容量的比相等. 各部分之间有明显的差异是选择分层抽样的依据,至于各层内用什么方法抽样是灵活的,可以
2、采用简单随机抽样、系统抽样,分层中无论哪一层的个体,被抽到的机会均等,体现了抽样的公平性.,(2)分层抽样的特点 适用于总体由差异明显的几部分组成的情况. 等可能抽样,每个个体被抽到的可能性都是 . 更充分地反映了总体的情况,使样本具有较强的代表性.,【自我检测】 1.为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ),A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 【解析】选C.由于三个学段学生的视力情
3、况差别较大,故需按学段分层抽样.,2.某城市有学校700所,其中大学20所,中学200所,小学480所,现用分层抽样方法从中抽取一个容量为70的样本进行某项调查,则应抽取中学数为 ( ) A.70 B.20 C.48 D.2,【解析】选B.由于 =10,即每10所学校抽取一所, 又因中学200所,所以抽取20010=20(所).,3.某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,产品的数量之比依次为347,现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本,样本中A型号产品有15件,那么样本容量n为 ( ) A.50 B.60 C.70 D.80,【解析】选C.由分层抽样方法得: n=15, 解得n=70.,类
4、型一 分层抽样概念的理解 【典例】1.下列问题中,最适合用分层抽样方法抽样的是 ( ),A.某电影院有32排座位,每排有40个座位,座位号是140.有一次报告会坐满了听众,报告会结束以后为听取意见,要留下32名听众进行座谈 B.从10台冰箱中抽出3台进行质量检查,C.某乡农田有山地8000亩,丘陵12000亩,平地24000亩,洼地4000亩,现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量 D.从50个零件中抽取5个做质量检验,2.分层抽样又称为类型抽样,即将相似的个体归入一类(层),然后每层各抽若干个个体构成样本,所以分层抽样为保证每个个体等可能入样,必须进行 ( ) A.每层内等可能抽样 B.每层
5、内不等可能抽样 C.所有层用同一抽样比 D.所有层抽同样多样本容量,【审题路线图】 对分层抽样有关概念的辨析分层抽样适用的情况和特点.,【解析】1.选C.A的总体容量较大,宜采用系统抽样方法; B的总体容量较小,用简单随机抽样法比较方便; C的总体容量较大,且各类田地的产量差别很大,宜采用分层抽样方法;D与B类似. 2.选C.由分层抽样的定义和特点可知,所有层用同一个抽样比,等可能抽样.,【方法技巧】分层抽样的前提和遵循的两条原则 (1)前提:分层抽样使用的前提是总体可以分层,层与层之间有明显区别,而层内个体间差异较小,每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取.,(2)遵
6、循的两条原则: 每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则; 每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比. 提醒:要明确分层抽样的前提,是用来判断是否是分层抽样的依据.,【变式训练】(2018衡水高一检测)某书法社团有男生30名,女生20名,从中抽取一个5人的样本,恰好抽到了2名男生和3名女生. 该抽样一定不是系统抽样; 该抽样可能是随机抽样;,该抽样不可能是分层抽样; 男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率. 其中说法正确的为 ( ) A. B. C. D.,【解析】选B.本题考查抽样方法.由题意知该抽样可能是系统抽样,故错误;该抽样可能是随机抽样,故正确;若是分层抽样,则抽到的是3名男
7、生、2名女生,所以该抽样不可能是分层抽样,故正确;男生与女生被抽到的概率相等,故错误.,【补偿训练】某市有四所重点大学,为了解该市大学生的课外书籍阅读情况,采用下列哪种方法抽取样本最合适(四所大学图书馆的藏书有一定的差距) ( ) A.抽签法 B.随机数表法 C.系统抽样法 D.分层抽样法,【解析】选D.因为学校图书馆的藏书对学生课外书籍阅读影响比较大,因此采取分层抽样.,类型二 分层抽样的设计 【典例】1.(2018洛阳高一检测)一个总体分为A,B,C三层,其个体数之比为532.若用分层抽样方法抽取容量为100的样本,则应从C中抽取_个个体.,2.(2018信阳高一检测)一批产品中,有一级品
8、100个,二级品60个,三级品40个,用分层抽样的方法,从这批产品中抽取容量为20的样本,写出抽样过程.,【审题路线图】 用分层抽样抽取样本分层抽样的基本步骤.,【解析】1.因为A,B,C三层个体数之比为532,又总 体中每个个体被抽到的概率相等,所以分层抽样应从C 中抽取100 =20. 答案:20,2.因为总体中的个体与样本容量之比为20020=101, 所以需从一级品中抽取 100=10(个),从二级品中抽 取 60=6(个),从三级品中抽取 40=4(个).这样 就得到一个容量为20的样本.,【延伸探究】 1.本例1中的条件不变,问应从A中抽取多少个个体?,【解析】因为A,B,C三层个
9、体数之比为532, 又总体中每个个体被抽到的概率相等, 所以分层抽样应从A中抽取100 =50(人).,2.若把本例1个体数之比改为234,现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本,其中A层中的个体数为16,那么此样本容量为n=_.,【解析】由于A层中的样本数为16,A层中的个体所占的 比例为 故样本容量n=16 =72. 答案:72,【方法技巧】分层抽样的操作步骤 第一步,计算样本容量与总体的个体数之比. 第二步,将总体分成互不交叉的层,按比例确定各层要抽取的个体数.,第三步,用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应数量的个体. 第四步,将各层抽取的个体合在一起,就得到所取样本.,【补偿训练】
10、一个地区共有5个乡镇,人口3万人,其人口比例为32523,从3万人中抽取一个300人的样本,分析某种疾病的发病率,已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,问应采取什么样的方法?并写出具体的抽样过程.,【解析】因为疾病的发病率与地理位置和水土均有关系,所以不同乡镇的发病情况差异明显,因而采用分层抽样的方法. 具体抽样过程如下: (1)将3万人分为5层,其中一个乡镇为一层.,(2)按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人、40人、100人、40人、60人. (3)按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本. (4)将300人合到一起,即得到一个样本.,类型三 抽样方法的综合应用 【典
11、例】1.(2018西安高一检测)某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点,公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为;在丙地区中有20个特大型销售点,要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况,记这项调查为,则完成,这两项调查宜采用的抽样方法依次是 ( ),A.分层抽样法,系统抽样法 B.分层抽样法,简单随机抽样法 C.系统抽样法,分层抽样法 D.简单随机抽样法,分层抽样法,2.为了考察某学校的教学水平,将抽取这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成绩进行统计分析,为了全面反映实际情况,采取以下三种方式进行抽查
12、(已知该学校高三年级共有20个教学班,并且每个班内的学生按随机方式编好了学号,假定该校每班学生人数都相同):,从全年级20个班中任意抽取一个班,再从该班任意抽取20人,考察他们的学习成绩; 每个班都抽取1人,共计20人,考察这20个学生的成绩;,把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别,从中共抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分,该校高三学生中优秀生共150人,良好生共600人,普通生共250人).,根据上面的叙述,回答下列问题: (1)上面三种抽取方式中,其总体、个体、样本分别指 什么?每一种抽取方式抽取的样本中,其样本容量分别 是多少? (2)上面三种抽取方式中各自采用何种抽样方法?
13、(3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤.,【审题路线图】 多种抽样方法的比较和选择各种抽样方法的特点.,【解析】1.选B.项,因为产品的某项指标,受到地区经济状况的影响,而各个地区经济状况差别明显,所以,要从中抽一个样本容量是100的样本,应该采用分层抽样法; 项,由于样本容量不大,且抽取的样本较少,所以,应采用简单随机抽样法.,2.(1)三种抽取方式中,其总体都是高三全体学生本学年的考试成绩,个体都是指高三年级每个学生本学年的考试成绩.第一种抽取方式中,样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩,样本容量为20;第二种抽取方式中,样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩,样本容量为
14、20;第三种抽取方式中,样本为所抽取的100名学生本学年的考试成绩,样本容量为100.,(2)三种抽取方式中,第一种方式采用的是简单随机抽样法;第二种方式采用的是系统抽样法和简单随机抽样法;第三种方式采用的是分层抽样法和简单随机抽样法.,(3)第一种方式抽样的步骤如下: 第一步:在这20个班中用抽签法任意抽取一个班; 第二步:从这个班中按学号用随机数法或抽签法抽取20名学生,考察其考试成绩.,第二种方式抽样的步骤如下: 各个班的学生按1,2,3,编号; 第一步:在第一个班中,用简单随机抽样法任意抽取某一学生,记其编号为a; 第二步:在其余的19个班中,选取编号为a的学生,共计20人.,第三种方
15、式抽样的步骤如下: 第一步:分层.若按成绩分,其中优秀生共150人,良好生共600人,普通生共250人,总体由差异明显的三部分组成,所以在抽取样本时,应把全体学生分成三个层次.,第二步:确定各个层次抽取的人数.因为样本容量与总体个体数的比为1001000=110, 所以在每个层次抽取的个体数依次为 即15,60,25.,第三步:按层次分别抽取.在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人;在良好生中用简单随机抽样法抽取60人;在普通生中用简单随机抽样法抽取25人.,【方法技巧】抽样方法的选取 (1)若总体由差异明显的几个层次组成,则选用分层抽样.,(2)若总体没有差异明显的层次,则考虑采用简单随机抽样
16、或系统抽样. 当总体容量较小时宜用抽签法;当总体容量较大,样本容量较小时宜用随机数表法;当总体容量较大,样本容量也较大时宜用系统抽样,(3)采用系统抽样时,当总体容量N能被样本容量n整除 时,抽样间隔为k= ,总体容量不能被样本容量整除时, 先用简单随机抽样剔除多余个体,抽样间隔为k= .,【变式训练】选择合适的抽样方法抽样,写出抽样过程. (1)有30个篮球,其中甲厂生产的有21个,乙厂生产的有9个,抽取10个入样. (2)有甲厂生产的30个篮球,其中一箱21个,另一箱9个,抽取3个入样.,(3)有甲厂生产的300个篮球,抽取10个入样. (4)有甲厂生产的300个篮球,抽取30个入样.,【
17、解析】(1)总体由差异明显的两个层次组成,需选用 分层抽样法. 第一步:确定抽取个数.因为 ,所以甲厂生产的篮 球应抽取21 =7(个),乙厂生产的篮球应抽取9 =3(个);,第二步:用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个,乙厂生产的篮球3个,这些篮球便组成了我们要抽取的样本.,(2)总体容量较小,用抽签法. 第一步:将30个篮球用随机方式编号,编号为1,2,30; 第二步:将以上30个编号分别写在大小、形状相同的小纸条上,揉成小球,制成号签; 第三步:把号签放入一个不透明的袋子中,充分搅匀;,第四步:从袋子中逐个不放回抽取3个号签.并记录上面的号码; 第五步:找出和所得号码对应的篮球,这些篮球便
18、组成了我们要抽取的样本.,(3)总体容量较大,样本容量较小宜用随机数表法. 第一步:将300个篮球用随机方式编号,编号为001,002,300; 第二步:在随机数表中随机确定一个数作为开始,如从第8行第29列的数7开始,任选一个方向作为读数方向,比如向右读;,第三步:从数7开始向右读,每次读三位,凡不在001 300中的数跳过去不读,遇到已经读过的数也跳过去不 读,便可依次得到286,211,234,297,207,013,027,086, 284,027这10个号码,这就是所要抽取的10个样本个体 的号码,找出和所得号码对应的篮球便组成我们要抽取 的样本.,(4)总体容量较大,样本容量也较大
19、宜用系统抽样法. 第一步:将300个篮球用随机方式编号,编号为000,001,002,299,并分成30段. 第二步:在第一段000,001,002,009这十个编号中用简单随机抽样抽出一个(如002)作为起始号码; 第三步:将编号为002,012,022,292的个体抽出,组成样本.,【补偿训练】某批零件共160个,其中一级品有48个, 二级品有64个,三级品有32个,等外品有16个.从中抽取一个容量为20的样本.试简要叙述用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样法进行抽样都是等可能抽样.,【解析】(1)简单随机抽样法:可采用抽签法,将160个 零件按1160编号,相应地制作1160号的160个号
20、签, 从中随机抽20个即可.每个个体被抽到的概率为 每个个体被抽到的可能性相同.,(2)系统抽样法:将160个零件按1160编号,按编号顺 序分成20组,每组8个.先在第一组用抽签法抽得k号 (1k8),则在其余组中分别抽得第k+8n(n=1,2,3, ,19)号,每个个体被抽到的概率为 ,每个个体被抽 到的可能性相同.,(3)分层抽样法:按比例 分别在一级品、二级 品、三级品、等外品中抽取48 =6(个),64 =8(个),32 =4(个),16 =2(个),每个个体被抽到 的概率分别为 即都是 ,每个个体被抽到 的可能性相同.,综上所述,无论采取哪种抽样方式,总体中每个个体被 抽到的概率都
21、是 .,【核心素养培优区】 【易错案例】分层抽样的应用 某单位有工程师6人,技术员12人,技工18人,要从这些 人中抽取一个容量为n的样本,如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取,不用剔除个体;如果样本容量增加1,则在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除1个个体, 求得样本容量为_.,6或12或18或36,【失误案例】总体容量N=36,当样本容量为n时, 系统抽样间隔为 ,所以n是36的约数, 分层抽样的抽样比为 ,求得工程师、技术员、技工的 抽样人数分别为 所以n应是6的倍数, 所以n=6或12或18或36.,【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:在求解中,在求出n的值后没有检验,导致增解.原因是没有注意条件“如果样本容量增加1,则在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除1个个体”.,【自我纠正】总体容量N=36.当样本容量为n时,系统抽 样间隔为 ,所以n是36的约数.分层抽样的抽样比为,求得工程师、技术员、技工的抽样人数分别为所以n应是6的倍数,所以n=6或12或18或36.当,样本容量为n+1时,总体中先剔除1人时还有35人,系统 抽样间隔为 N*,所以n只能是6. 答案:6,
