1、第三章 三角恒等变换,3.1 和角公式,3.1.1 两角和与差的余弦,1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,掌握用向量证明问题的方法,进一步体会向量法的作用. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式,并能用两角和与差的余弦公式解决相关的求值、化简和证明等问题.,两角和与差的余弦公式温馨提示:这两个公式分别记作C+,C-.记忆两角和与差的余弦公式时,可注意到:公式右端的两部分为同名三角函数的积,连接符号与左边角的连接符号相反.,【做一做1】 cos 75等于( )答案:C 【做一做2】 cos 32cos 28-sin 32sin 28的值为( )答案:A,评析公式cos(
2、)=cos cos sin sin 剖析(1)公式的结构特征是:两角和(差)的余弦等于这两角的余弦之积与正弦之积的差(和),等式两边的运算符号相反,即“同名相乘,异号连接”. (2)公式的适用范围是:对任意角,均成立,其中角,可以是单独一个角,也可以是几个角的组合,例如:cos(+)+2=cos(+)cos 2-sin(+)sin 2等. (3)一般情况下,cos()=cos cos 不成立,即不能按照分配律展开.但也并不是cos(+)=cos +cos ,cos(-)=cos -cos 恒不成立,对于某些特殊的角,这两个等式是成立的,例如:当 时满足cos(+)=cos +cos 等.,(4
3、)公式的逆用、变形应用是灵活使用公式的前提,如:cos cos sin sin =cos(),(cos +cos )2(sin +sin )2=2+2cos()等. (5)利用该公式还可以来推导和证明诱导公式,如:cos(+)=cos cos -sin sin =-cos ,题型一,题型二,题型三,题型四,【例1】 求值:(1)cos215-sin215; (2)sin(110+x)cos(x-40)+cos(x-70)sin(220-x). 分析(1)逆用两角和的余弦公式; (2)统一函数名称和角,使其符合两角和与差的余弦公式的结构. 解:(1)原式=cos 15cos 15-sin 15s
4、in 15=cos(15+15)=cos 30= . (2)原式=cos(x+20)cos(x-40)+sin90+(x-70)sin(x-40) =cos(x+20)cos(x-40)+sin(x+20)sin(x-40) =cos(x+20)-(x-40)=cos 60= .,题型一,题型二,题型三,题型四,反思公式C是三角恒等式,既可正用,也可逆用,一定要注意公式的结构特征,灵活变换角或名称,同时在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时,关键在于把待求的角转化成已知角或特殊角(如30,45,60,120,135,150)之间和与差的关系问题,然后利用公式化简求值.,题型一,题型二,题
5、型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思本题属于“给值求值”的题目,“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中经常用到,因为合理“变角”后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明.常见的角的变换方式:=(+)-=-(-)= (+)-(-),2=(+)+(-)=(+)-(-),4=22,= ,+2=(+)+等.变换的方式很多,需要自己慢慢地体会和探索.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,分析利用两角和的余弦公式求+的余弦值,并结合角+的范围进行求解.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题
6、型二,题型三,题型四,反思此类题是“给值求角”的题目,解题步骤:(1)求所求角的某一个三角函数值;(2)确定所求角的范围.此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论,范围讨论的程度过大或过小,会使求出的角不符合题意或者漏解,同时要根据角的范围确定求该角的哪一种三角函数值.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,分析将f(x)化为y=Acos(x+)的形式后,再求其单调递增区间.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思形如y=asin x+bcos x的函数,均可利用两角和与差的余弦公式将其转化为 cos(x+)的形式,进而可研究该函数的性质.,题型一,题型二,题型三,题型四,1,2,3,4,答案:D,1,2,3,4,答案:A,1,2,3,4,解析:cos 555=cos(360+195)=cos(180+15) =-cos 15=-cos(45-30) =-(cos 45cos 30+sin 45sin 30)答案:B,1,2,3,4,1,2,3,4,
