1、2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式,1.掌握向量数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能利用平面向量数量积的坐标运算与度量公式解决有关长度、角度、垂直、正投影等实际问题.,1,2,3,1.向量的数量积(内积)的坐标运算 已知a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ab=a1b1+a2b2. 知识拓展非零向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2)的夹角的范围与坐标运算的数量积的关系是: (1)为锐角或零角x1x2+y1y20; (2)为直角x1x2+y1y2=0; (3)为钝角或平角x1x2+y1y20.,1,2,3,答案:C,答案:-1,1,2,3,2.向量垂直的坐
2、标表示 已知a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ab a1b1+a2b2=0. 名师点拨解决两个向量垂直时,在表达方式上有一定的技巧,如a=(m,n)与b=k(n,-m)总是垂直的,当两个向量的长度相等时,k取1. 【做一做2】 已知a=(2,5),b=(,-3),且ab,则= . 解析:ab,ab=0,1,2,3,归纳总结 1.由向量的长度公式可以发现,引入向量的直角坐标,建立了向量与解析几何的联系. 2.由两个向量的夹角的余弦的表达式可以发现向量的数量积与三角函数的联系,利用向量可以解决有关三角问题.,1,2,3,【做一做3-1】 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则A
3、BC为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断,答案:B,1,2,3,答案:A 【做一做3-3】 已知a=(3,x),|a|=5,则x= . 解析:由|a|2=9+x2=25,解得x=4. 答案:4,用向量的数量积的坐标运算来分析“(ab)c=a(bc)”不恒成立 剖析设a=(x1,y1),b=(x2,y2),c=(x3,y3), 则ab=x1x2+y1y2, bc =x3x2+y3y2, (ab)c=(x1x2+y1y2)(x3,y3) =(x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3), a(bc)=(x1,y1)(x3x2+y3y2) =(x1x3x
4、2+x1y2y3,x2x3y1+y1y2y3). 假设(ab)c=a(bc)成立, 则有(x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3) =(x1x3x2+x1y2y3,x2x3y1+y1y2y3),x1x2x3+y1y2x3=x1x3x2+x1y2y3, x1x2y3+y1y2y3=x2x3y1+y1y2y3. y1y2x3=x1y2y3,x1x2y3=x2x3y1. y2(y1x3-x1y3)=0,x2(x1y3-x3y1)=0. b是任意向量, x2和y2是任意实数. y1x3-x1y3=0.ac. 这与a,c是任意向量,即a,c不一定共线,相矛盾. 假设不成立. (ab)c=
5、a(bc)不恒成立.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思已知向量的坐标,我们便直接用公式来计算数量积、模和夹角等问题;若向量的坐标是未知的,一般考虑用定义和运算律进行转化.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 (1)已知向量a=(1,2),2a-b=(3,1),则ab等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5,题型一,题型二,题型三,题型四,解析:(1)由于a=(1,2),2a-b=(3,1), 所以b=(-1,3), 于是ab=1(-1)+23=5. (2)如图,以A为原点,AB,AD所在直线分别为 x轴、y轴, 则D(0,1),C(1,1),B
6、(1,0).设E(x,0)(0x1).答案:(1)D (2)1 1,题型一,题型二,题型三,题型四,分析要对ABC的三个内角分别讨论,并利用坐标反映垂直关系.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则向量a与b垂直ab=0x1x2+y1y2=0. 2.向量垂直的坐标表示x1x2+y1y2=0与向量共线的坐标表示x1y2-x2y1=0很容易混淆,应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上鉴别,垂直是ab=0,而共线是方向相同或相反.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 已知a=(-3,2),b=(-1,0),
7、向量a+b与a-2b垂直,则实数的值为( )解析:a=(-3,2),b=(-1,0), a+b=(-3-1,2), a-2b=(-3,2)-2(-1,0)=(-1,2). 由(a+b)(a-2b),知4+3+1=0.答案:A,题型一,题型二,题型三,题型四,【例3】 已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (1)求证:ABAD; (2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思用向量法解决几何问题的关键是把有关的边赋予向量,然后把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题
8、都统一为向量的坐标运算即可,最后再回归到原始几何图形中进行说明.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 如图,在平面直角坐标系xOy中有一ABC,其中AB=AC=3 ,BC=6,M为AC边上靠近A点的一个三等分点,试问线段BM(端点除外)上是否存在一点P,使得PCBM?,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,错因分析ab0a与b的夹角为钝角或平角.因此上述解法中需要对结论进行检验,把a与b的夹角为平角的情况舍去才能得出正确的答案.答案:A,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练4】 若a=(3,2),b=(m,6),且a与
9、b的夹角为锐角,则实数m的取值范围是 . 解析:由ab=3m+120,得m-4. 又当a与b共线时有36=2m,解得m=9. 这时b=3a,a与b同向,夹角为0, 因此m的取值范围是m-4,且m9. 答案:m-4,且m9,1,2,3,4,5,6,答案:C,1,2,3,4,5,6,2.设m,n是两个非零向量,且m=(x1,y1),n=(x2,y2),则以下等式中与mn等价的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4 解析:显然正确;对两边平方,化简,得mn=0,因此也是正确的,故选D. 答案:D,1,2,3,4,5,6,3.已知向量a=(-2,1),b=(-2,-3),则向量a在向量b方向上的射影的数量为( )C.0 D.1答案:B,1,2,3,4,5,6,4.已知a=(1,2),b=(1,1),c=b-ka,若ca,则c= . 解析:根据a和b的坐标,求c的坐标,再利用垂直建立关于k的方程,求出k后可得向量c.,1,2,3,4,5,6,答案:(5,4),1,2,3,4,5,6,0180,=60. a+b=(-1,-2),a=(1,2), a+b与a为相反向量, a与c的夹角为120.,
