1、第一章,导数及其应用,1.3 导数在研究函数中的应用,1.3.1 函数的单调性与导数,自主预习学案,1函数的单调性与导函数正负的关系 由导数的几何意义可知，函数f(x)在x0的导数f (x0)即f(x)的图象在点(x0，f(x0)的切线的斜率在xx0处f (x0)0，则切线的斜率kf (x0)0，若在区间(a，b)内每一点(x0，f(x0)都有f (x0)_0，则曲线在该区间内是上升的反之若在区间(a，b)内，f (x)_0，则曲线在该区间内是下降的,由此我们得出： 设函数yf(x)在区间(a，b)内可导， (1)如果在区间(a，b)内，f (x)0，则f(x)在此区间单调_； (2)如果在区
2、间(a，b)内，f (x)0，则f(x)在此区间内单调_ 2函数的变化快慢与导数的关系 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化较_，其图象比较_即|f (x)|越大，则函数f(x)的切线的斜率越大，函数f(x)的变化率就越大,递增,递减,快,陡峭,D,A,解析 f (x)在a，b上为增函数，f(x)在a，b上的切线斜率k随x的增大而增大，故选A,C,C,互动探究学案,命题方向1 利用导数研究函数的单调性,D,规律总结 1.函数的图象与函数的导数关系的判断方法 (1)对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减 (2)对于导函数，则应考查
3、其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致 2利用导数证明或判断函数单调性的思路 求函数f(x)的导数f(x)：(1)若f(x)0，则yf(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f(x)0，则yf(x)在(a，b)上单调递减；(3)若恒有f(x)0，则yf(x)是常数函数，不具有单调性,C,(2)求证：函数f(x)exx1在(0，)内是增函数，在(，0)内是减函数 解析 (1)由函数yxf(x)的图象可知当x0， f(x)为增，当10，f(x)1时，xf(x)0，f(x)0，此时f(x)为增函数，选C,(2)由f(x)exx1， 得f(x)ex1.
4、当x(0，)时，ex10， 即f(x)0， 所以f(x)在(0，)内为增函数 当x(，0)时，ex10， 即f(x)0， 所以f(x)在(，0)内是减函数,命题方向2 求函数的单调区间,解析 (1)函数f(x)的定义域为R， f (x)3x23，令f (x)0，则3x230. 即3(x1)(x1)0，解得x1或x1. 函数f(x)的单调递增区间为(，1)和(1，)， 令f (x)0，则3(x1)(x1)0，解得1x1. 函数f(x)的单调递减区间为(1,1),规律总结 1.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f (x)； (3)在函数f
5、(x)的定义域内解不等式f (x)0和f (x)0； (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间 2若yf(x)在(a，b)内可导，f (x)0或f (x)0且yf(x)在(a，b)内导数为0的点仅有有限个，则yf(x)在(a，b)内仍是单调函数，例如：yx3在R上f (x)0，所以yx3在R上单调递增,D,命题方向3 已知函数的单调性，确定参数的取值范围,规律总结 1.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 (1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f (x)0(或f (x)0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“”时是否满足题意 (2)先令f (x)
6、0(或f (x)0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“”时f(x)是否满足题意 2恒成立问题的重要思路 (1)mf(x)恒成立mf(x)max. (2)mf(x)恒成立mf(x)min.,转化思想的应用构造法证明不等式,规律总结 若证明不等式f(x)g(x)，x(a，b)，可以转化为证明：f(x)g(x)0.如果f(x)g(x)0，说明函数F(x)f(x)g(x)在(a，b)上是增函数若F(x)f(x)g(x)是增函数，f(a)g(a)0，当x(a，b)时，f(x)g(x)0，即f(x)g(x),D,因忽视条件的前提而致误,在解题中，常常会将必要条件作充分条件或将既不充分也不必要条件作充要条件使用而致误，这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性,A,解析 令F(x)f(x)x22013，则f (x)f (x)2xF(2)0， 不等式f(x)x22013的解集为(，2),C,D,课 时 作 业 学 案,
