1、请你来排课表摘要 每学期的开学初，学校都会根据时间、课程、课时要求、教室、班级人数、教师等因素对各学院各专业的课表进行重排。我们首先对题目的要求进行分析，将题目归类为优化模型问题，主要运用运筹学的知识来建立模型。确定了分别将教师、课程、教室三个因素优化组合进行讨论，并分配到课表上的不同时间段上最终形成满足要求的课表的解决方案。首先，我们确定了各优化因素之间的约束关系，然后根据各因素间约束关系的要求不同，编制出各因素间的效用矩阵。其中我们采用了多重约束条件，将各约束条件分为硬约束（强制要求）和软约束（用偏好系数表示） ；其次，我们为课表上的每一个时间段随机分配课程；再次，我们用逐级优化和 0-1
2、 规划的方法分别将教师、教室分配到课表上的不同时间段上，按时间+课程+教师+教室的组合，形成了一份尽可能多地满足课程、教师、教室要求的课表。最终根据题目给的数据，通过 MATLAB 软件编程进行模型验证，求出了所需课表，且在方案合理性分析中用计算机模拟的方法分析了偏好系数的变化、教室的种类对排课结果的影响。文尾我们给出了教师、教室的配置建议。关键词： 排课模型 随机分配 优化目标矩阵 多重约束条件 0-1 规划目录 1 问题重述与分析.41.1 问题的重述 4 1.2 问题的分析. 4 2 问题的假设 4 3 符号说明 54 模型的建立与求解.5 4.1 模型的准备 5 4.1.1对教师、课程
3、、上课时间联系的刻画 5 4.1.2 对时间段S i进行编号 . .64.1.3 对课程的处理 7 4.2 模型的建立 . 7 4.2.1 随机分配课程到各个时间段 .7 4.2.2 给每一个时间段安排教师74.2.3为每一个时间段安排教室 9 4.2.4 安排课程表 11 5 模型的求解 . 115.1编号并随机分配课程 11 5.2分配教师 . 11 5.3分配教室 . 12 5.4编排课表 12 6 模型的合理性分析.127 模型的评价 .127.1 模型的优点 . 12 7.2 模型的缺点 . 12 8 参考文献 .12 附录 .131、问题重述与分析1.1 问题的重述现有课程 40
4、门，编号为 C01C40；教师共有 25 名，编号为 T01T25；教室 18 间，编号为 R01R18。具体属性及要求见附表 1，附表 2，附表 3。课表编排规则：每周以 5 天为单位进行编排，每天最多只能编排 8 节课（上午 4 节，下午 4 节） ，特殊情况下可以编排 10 节课（晚上 2 节） ，每门课程以 2 节课为单位进行编排，同类课程尽可能不安排在同一时间。 你所要解决的问题：1. 请你结合实际情况建立数学模型，通过编程计算，给出较为合理的课表编排方案，分析你所给出的方案的合理性。2. 如果不准晚上排课，排课结果是否有所变化，如何变化？3. 对教师聘用，教室配置给出合理化建议。1
5、.2 问题的分析本题的目标是将所有课程按照一定的约束条件安排到课表中。由于课程的总周课时数为160节，而一周的总课时数是50节，所有最少需要4张课表才能安排好所有的课程；又由于教师的总周课时数最多为116节课，若使所有的教师上满所有课程也是难以完成160节的总周课时的，因此必须分单双周制才能编排好所有的课程；我们要到达的基本要求是教师不冲突、教室不冲突、课程全部排完以及所有软、硬约束。由于目标是将所有课程排完，可以先将不同课程按照其时间要求随机分配至课表中，形成“时间段-课程 ”组合；再建立该组合对教师的约束，通过“0-1规划”确定最优的“时间段-课程-教师”组合；同理，利用“0-1 规划”
6、确定出“时间段-课程- 教师-教室”的最优组合，最终得到所求课表。2、问题的假设1假设学校的优先考虑目标是完成所有课程的编排； 2假设所编排的课程表是学生自选型，即课程的编排不会受到班级以及班级人数的限制，只与课程的人数要求有关； 3假设在课程要求中的各项均为强制要求，即“ 硬约束” ；假设在教师属性中，能胜任课程类别、周最大课时数为强制要求，即“硬约束” ；对教室类别要求、上课时间要求用偏好程度衡量，为“软约束” ； 4假设可以分单双周上课制，即问题中的周课时是以两星期为一周期来计算，可以使所得的课表安排一周上课课程后接下来一周另外安排课程；5假设课表只受上课时间、教师、教室、课程的影响，其
7、他因素（教室故障问题等）不会影响课程的进行；6一门多学时的课程只能由同一个老师完成，并且尽量能在同一间教室上课；3、符号说明主要符号 符号意义效用矩阵4321A、原课程编号iC新的周课时数编号iK教师编号jT教室编号kR偏好系数（表示教师对教室、教师对上课时间的偏好系数）课程表上时间段的编号iS教师的要求课时数jT jT课程的要求课时数iC iCS= 课程表上某一时间段的课程- 教师-教室组合ujiRY,4、模型的建立与求解41 模型的准备（1）对教师、课程、上课时间联系的刻画根据分析，关联关系有课程上课时间、课程教室、教师课程、教师上课时间、教师教室一共五个，该模型中存在的联系可由下图给出，
8、其中实线表示“硬约束”，虚线表示“软约束”。根据关联关系，由此可以得到刻画每个关系的效果指标矩阵，依次建立A1，A2，A3，A4 四个效用矩阵。其中，为强制约束的有A2、A4，偏好约束有A1、A3，矩阵表示如下图所示。矩阵：1A刻画i 教师上j 教室的偏好效果指标，其中： （当 =0时ija 10ijaij表示i 教师不希望在j 教室上课， =1时表示i 教师希望在j 教室上课，ja时表示i 教师在j 教室上课的偏好程度适中，赋值越大说明偏好越大）10ij矩阵：2A刻画i 教师上j 课程时的效果指标，其中： =0，1（当 =0时表示ija ijaijai 教师不能上j 课程， =1时表示i教师
9、能够上j课程）a矩阵：3A刻画i 教师上j 时间段课时的偏好效果指标，其中： （当ija 10ija=0时表示 i 教师不希望在j 时间段上课， =1时表示i 教师希望在j 时间段上ij ja课， 时表示i 教师在j 时间段上课的偏好程度适中，赋值越大说明偏10ij好越大）矩阵：4A刻画i 课程在j 教室上时的效果指标，其中： =0，1（当 =0时ija ijaija表示i 课程不能在j 教室上， =1时表示i 课程能够在j 教室上）ja（2）对时间段S i进行编号由于每门课程以2节课为单位进行编排，因此可以用 表示各段时间，如下iS图所示：（3）对课程的处理由于有些课程的课时数为奇数，因此对
10、这些课程进行适当的处理及调整，具体做法如下：当某一课程的课时数为奇数时，取大于它的最小偶数，若该课程的课时数为偶数时则不改变其值。对所有课程的课时数进行调整后所得到的新的课时数为 (i=1,2,3.40，iK即有40门课程），原课程的编号为 (i=1,2,3.40，即原有的40门课程）， iCijY 星期时间段 星期一 星期五 星期一 星期五 星期一 星期五 星期一 星期五一二节 1S 5S6 10S1 15S6 20S三四节 2 2 3 3 4五六节 41 456 501 56 60七八节 6S 6S 7S 7S 8S(i=1,2,3.40，为原有的课程编号， j=1，2，3 )，现目标就是
11、对集合 进1iKijY行排课。4.2 模型的建立 （1）随机分配课程到各个时间段由于课程的上课时间（上午，下午）要求为强制性约束，利用 excel 表格的筛选功能分别选出上、下午的课程集合 B 上午 = ， B 下午 = 。我们随机给ijYijYB 上午 的每一个元素抽取一个上午的时间段，B 下午 中的每一个元素抽取一个下午的时间段，组成时间段课程 组合。此时， （某一时间段对应的某一课程） 。 如此，iSjYiSij就已经完成随机分配，使得每个时间段编号都有一个课程赋值。(2) 给每一个时间段安排教师 A.结合效用矩阵 的2AiS根据教师 对课程Cj 的效用矩阵 ，对 进行第二次赋值。当第i
12、 个时间段jT2AS上的初值是 ，若 =1,则 =1,否则， =0。ijYijai iB. 结合效用矩阵 的3AiS根据教师 对上课时间的偏好 矩阵，对 进行第三次赋值， = + 。jT3iSiSijaC. 结合效用矩阵 的 1iS根据教师 对 时间段上的课程所要求的教室的偏好 矩阵，对 进行第四次jTi 1AiS赋值， = + 。最终得到iSijajiSjissssjj ii212211由此，我们可以得到下表教师 对时间段 的效用指标表：jTiS 1s2 is 1T1 i1 221s2 is2 jT1js2j jis表2D. 利用0-1规划将教师 分配到不同的时间段上jT由于目标是将 教师分
13、配到不同的时间段上，约束条件是分配结果必须使得j教师的课时数要求与课程的周课时数要求同时满足。用 表示 教师在时间段jiXjT的上课情况（其中， =1说明 教师能在时间段 上课， =0说明 教师不iSjiXjTiSjij能在时间段 上课） ，因此，问题转化为求以下有约束条件的0-1 规划问题：i目标函数：max z= nijjijiSx1约束条件：=njjix1iSC2=nijix1jT=0,1ijx由上面问题可求出解为：jiXjixxxxjj ii212211将教师安排到最优的时间段，即此时所得的课表即为： (当 =1 时，将jiTY,jix与 排在一起)，若无最优解，则重回模型建立第一步，
14、重新随机分配课程。jTijY(3)给每一个时间段安排教室 A.结合效用矩阵 的4AiS根据教师 对课程 的效用矩阵 ，对 进行第一次赋值。当第 i 个时间段jTjc2AiS上的初值是 ，若 =1,则 =1,否则， =0。ijYijai iB. 结合效用矩阵 的1AiS根据教师 对i 教室的偏好程度 矩阵，对 进行第二次赋值， = + 。jT1AiSiSija最终得到jiSjissssjj ii212211由此，我们可以得到下表教室 对时间段 的效用指标表：kRiS 1s2 is kR1 i1 221s2 is2 kR1ks2k kis表3C. 利用0-1规划将教室 分配到不同的时间段上k目标是
15、将教室 分配到不同的时间段上，约束条件是分配结果必须满足同一R间教室在四张课表的同一时间段不重复。用 表示在时间段 教室 使用情况kiXiSkR（其中， =1说明 教师能在时间段 上课， =0说明 教师不能在时间段kiXjTiSijT上课 ）因此，问题转化为求有约束条件的 0-1 规划问题:iS目标函数：max z= nijkiiSx1约束条件：由上面的问题可求出解：kiXkixxxxkk ii.21 2221 11将教室安排到最优的时间段，此即此时所得的课表，当 =1 时，将 与 排kixuRjiTY,在一起即为：S= ，若无最优解，则重回模型建立第一步，重新随机ujiRTY,分配课程。(4
16、)安排课程表 将每个 的组合按照其编号读入到“时间段-课程”统计表 中，然后结合已知的数据分析iS和整理得到最后的课程表。5 模型的求解 5.1 编号并随机分配课程 充分考虑课程的时间要求（上午或下午），随机分配课程，得到“时间段-课程”组合。由于题目所给数据中，教师的总课时数小于课程总课时数，又经过计算，设定目标是做成四张课表，其中两张先行开课，上完后，另外两张课表再开课。利用0-1 规划求解，构造效用矩阵时，要考虑的是教师对这一事件的偏好，利用excel 构造出效用矩阵。见附带的A1、A2、A3、A4表格。 5.2 分配教师 结合效用矩阵，为每个“时间段-课程”组合分配教师，得到“时间段-
17、课程-教师”组合。5.3 分配教室结合效用矩阵，为每个“时间段-课程-教师”组合分配教室，得到“时间段-课程-教师-教室”的最优组合。5.4 编排课表将获得的时间段编号+课程+教师+教室的组合编制成课表，编制结果见附录。其中，第一、二张课表同时开课，上完后，第三、四张课表同时开课。6 模型的合理性分析 模型充分考虑了课程、教室、教师等的相互约束，建立了关系关联，并对约束采用0-1 规划，确定出“时间段-课程-教师-教室”组合。同时，我们也充分考虑了教师对教室和上课时间的偏好，建立了一个偏好系数可调的模型，使所得课表尽量满足课程、教室、教师的各种要求。但是，当四张课表一起开课时，无法满足教师的周
18、最大课时数，即四张课表总需要周学时数为 160，但教师所能提供的只有 116 学时，计算机模拟表示没有最优解。于是，我们做出以下调整：将题目简化为两张课表一同开课，待到上完课程后，再开另外两张课表。7 模型的评价 7.1 模型的优点（1）引入了偏好系数，能较大程度地满足教师、课程和教室的要求；（2）建立了关联关系，使模型建立更清晰、明确；（3）用 0-1 规划解决相互约束问题，形成“时间段-课程-教师-教室”组合，合理且具有条理性；（4）逐步优化，层层推进，思路清晰。7.2 模型的缺点（1）当课时数为奇数时，将其近似为偶数计算，导致课表中所有时间未能充分利用；（2）在随机给每个时间段安排课程时
19、，未能确立完善的分配方式。8 参考文献(1) 韩中庚，数学建模方法与应用，北京：高等教育出版社，2005。(2) 张小红、张建勋，数学软件与数学实验，北京：清华大学出版社，2004。附录附表 1课程编号 课程类别 周课时数 对教室座位最大要求数 对教室类别要求 时间要求C01 1 4 50 多媒体教室 上午C02 1 4 30 普通教室 下午C03 1 6 40 普通教室 下午C04 1 4 25 多媒体教室 上午C05 1 3 60 普通教室 下午C06 2 4 100 普通教室 下午C07 2 4 50 多媒体教室 上午C08 2 2 30 普通教室 上午C09 2 4 40 普通教室 下
20、午C10 2 3 25 多媒体教室 上午C11 3 6 60 普通教室 上午C12 3 4 80 普通教室 上午C13 3 6 50 多媒体教室 下午C14 3 2 30 普通教室 下午C15 3 3 40 普通教室 下午C16 4 4 25 多媒体教室 上午C17 4 4 60 普通教室 下午C18 4 6 90 普通教室 上午C19 4 4 50 多媒体教室 上午C20 4 2 50 普通教室 上午C21 5 4 30 普通教室 上午C22 5 4 40 多媒体教室 下午C23 5 3 25 普通教室 上午C24 5 6 60 普通教室 下午C25 5 4 100 多媒体教室 上午C26
21、6 3 50 多媒体教室 下午C27 6 4 30 普通教室 下午C28 6 4 40 普通教室 下午C29 6 4 50 多媒体教室 上午C30 6 4 30 普通教室 下午C31 7 6 40 普通教室 上午C32 7 4 25 多媒体教室 下午C33 7 3 60 普通教室 无C34 7 4 80 多媒体教室 上午C35 7 4 50 普通教室 下午C36 8 6 30 机房 无C37 8 4 40 机房 上午C38 8 2 25 机房 上午C39 8 4 60 机房 下午C40 8 4 50 机房 无附表 2教师编号 能胜任课 程类别 周最大课时数 对教室类别要求 上课时间要求 尽可能
22、不同天 上课的教师T01 1，8 4 多媒体教室或机房 上午 T4T02 1 4 普通教室 下午T03 1 6 普通教室 上午T04 2 4 多媒体教室 上午 T1T05 2 4 普通教室 下午T06 2 6 普通教室 无T07 3 4 普通教室 上午T08 3，8 3 普通教室或机房 下午T09 3 4 普通教室 上午 T11,T18T10 3 6 多媒体教室 上午T11 4 8 普通教室 下午 T9,T12 4 4 普通教室 无T13 4 6 多媒体教室 下午T14 5 2 普通教室 上午T15 5，8 3 普通教室或机房 下午 T23T16 5 4 普通教室 上午T17 6 4 普通教室
23、 下午T18 6 6 普通教室 无 T9T19 6 4 多媒体教室 下午T20 7 4 普通教室 上午T21 7 6 普通教室 下午T22 7 6 多媒体教室 上午T23 3，8 4 普通教室或机房 无 T15T24 4，8 6 普通教室或机房 上午T25 6，8 4 普通教室或机房 下午附表 3教室编号 最大座位数 教室类别R01 100 多媒体教室R02 100 普通教室R03 100 普通教室R04 50 多媒体教室R05 50 普通教室R06 50 普通教室R07 50 普通教室R08 60 普通教室R09 60 普通教室R10 60 多媒体教室R11 60 普通教室R12 60 机房
24、R13 40 机房R14 40 机房R15 40 机房R16 40 多媒体教室R17 50 普通教室R18 40 普通教室所得的四张课程表：第一张课程表第二张课程表第三张课程表星期时间段 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五一二节 C7T22R04C1T01R04C4T04R16C37T23R14C18T24R03三四节 C12T09R02C8T06R18C16T13R16C20T12R11C1T01R04五六节 C2T02R18C3T03R18C9T06R06C33T20R11C9T06R06七八节 C6T05R03C2T02R18C3T03R18C33T20R11C3T03R18星期时间
25、段 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五一二节 C37T23R14C10T04R16C10 C19T13R10C31T22R09三四节 C16T13R16C18T24R03C10T04C4T04R16C11T07R08五六节 C39T24R12C13T10R04C36T25R15C5T03R08C30T18R18七八节 C17T11R08C6T05R03C28T25R08C5T03R08C27T17R05星期时间段 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五一二节 C34T22R01C19T13R10C11T07R08C34T22R01C29T19R04三四节 C25T16R02C21T14R1
26、7C25T16R02C11T07R08C7T22R04五六节 C30T18R08C17T11R08C28T25R08C15T08R06C39T24R12七八节 C13 C24 C13 C15 C24第四张课程表T10R04T15R11T10R04T08R06T15R11星期时间段 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五一二节 C21T14R17C31T22R09C12T07R03C23T16R16空课三四节 C38T24R13C29T19R04C31T22R09C23T16R16C18T24R03五六节 C35T21R11C22T15R16C35T21R11C26T19R10C22T15R16七八节 C27T17R05C14T11R07C32T20R04C26T19R10C32T20R04九十节 C36T25R15C40T23R12C36T25R15C40T23R12空课
