1、57第三章 导数及其应用第三章 导数及其应用第一部分 五年高考荟萃2009 年高考题一、选择题1.(2009 年广东卷文)函数 xexf)3()的单调递增区间是 ( )A. 2,( B.(0,3) C.(1,4) D. ),2( 答案 D解析 ()3()()xxxfxeee,令 ()0f,解得 2x,故选 D2.（2009 全国卷理） 已知直线 y=x+1 与曲线 ylna相切，则 的值为( ) A.1 B. 2 C.-1 D.-2答案 B解: 设切点 0(,)Pxy，则 00ln,()xayx,又 0 1|xya01,12a.故答案 选 B 3.（2009 安徽卷理）已知函数 ()fx在 R
2、 上满足 2()8fxfx，则曲线()yfx在点 ,)f处的切线方程是 ( )A. 21 B. yx C. 32yx D. 23yx 答案 A解析 由 2()8ff得几何(2(fxx，即 2)()4f， 2()fx /()fx，切线方程1yx，即 10y选 A4.（2009 江西卷文）若存在过点 (,)的直线与曲线 3yx和 21594ax都相切，57则 a等于 ( ) A 1或 25-64 B 1或 24 C 74或 25-6 D 74或答案 A解析 设过 (,0)的直线与 3yx相切于点 30(,)x，所以切线方程为320yxx即 30，又 (1,)在切线上，则 0x或 02，当 0x时，
3、由 y与 2594ax相切可得 564a，当 2时，由 7与 21yx相切可得 1，所以选 A.5.（2009 江西卷理）设函数 ()fxg，曲线 ()yg在点 ,()处的切线方程为 1yx，则曲线 y在点 (1,)f处切线的斜率为 ( )A 4 B 4 C 2 D 2答案 A解析 由已知 (1)g，而 ()fxgx，所以 (1)214fg故选 A力。6.（2009 全国卷理）曲线 21y在点 ,处的切线方程为 ( ) A. 20xy B. 0x C. 450xy D. 450xy答案 B解 11122|()()xxx ,故切线方程为 y,即 0y 故选 B.7.（2009 湖南卷文）若函数
4、()fx的导函数在区间 ,ab上是增函数，则函数 ()yfx在区间 ,ab上的图象可能是 ( )57A B C D解析 因为函数 ()yfx的导函数 ()yfx在区间 ,ab上是增函数，即在区间,ab上各点处的斜率 k是递增的，由图易知选 A. 注意 C 中 yk为常数噢.8.（2009 辽宁卷理）若 1x满足 2x+ 2x=5, 满足 2x+2 2log(x1)=5, 1x+ 2 ( )A. 52 B.3 C. 7 D.4答案 C解析 由题意 125x 22log()x 所以 115x, 21log(5)xx即 2 121l()令 2x172t,代入上式得 72t 2log 2(2t2)2
5、2log 2(t1)52t2log 2(t1)与式比较得 tx 2于是 2x172x 29.（2009 天津卷理）设函数 1()ln(0),3f则 ()yfx( )A 在区间 (,)e内均有零点。 B 在区间 1内均无零点。C 在区间 (,)e内有零点，在区间 (1,)e内无零点。D 在区间 1内无零点，在区间 内有零点。 【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。解析 由题得 xxf31)(，令 0)(f得 3x；令 0)(xf得30x； 0得 ，故知函数 在区间 ,上为减函数，在区间ababa o xo xyba o xyo xyby57),3(为增函数，在点 3x处有极小值 03ln1；又
6、)(,0,1)( efeff，故选择 D。二、填空题10.（ 2009 辽宁卷文）若函数2()1xaf在 处取极值，则 a 解析 f(x)2()xf(1) 34a0 a3答案 311.若曲线 2fxInx存在垂直于 y轴的切线，则实数 a的取值范围是 .解析 解析 由题意该函数的定义域 0x，由 12fx。因为存在垂直于y轴的切线，故此时斜率为 0，问题转化为 范围内导函数 fax 存在零点。解法 1 （图像法）再将之转化为 2gxa与 1hx存在交点。当 0不符合题意，当 0a时，如图 1，数形结合可得显然没有交点，当 0a如图 2，此时正好有一个交点，故有 应填 ,0或是 |。57解法 2
7、 （分离变量法）上述也可等价于方程 120ax在 ,内有解，显然可得1,0ax12.（ 2009 江苏卷）函数 32()156fx的单调减区间为 . 解析 考查利用导数判断函数的单调性。 2()3)(f x ，由 1)0x得单调减区间为 ,。亦可填写闭区间或半开半闭区间。13.（ 2009 江苏卷）在平面直角坐标系 oy中，点 P 在曲线 3:10Cyx上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为 . 解析 考查导数的几何意义和计算能力。 23102yxx，又点 P 在第二象限内， x点 P 的坐标为（-2，15）答案 : a 【命题立意】:本题考查了指
8、数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查, 根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.14.（ 2009 福建卷理）若曲线 3()lnfxax存在垂直于 y轴的切线，则实数 a取值范围是_.答案 (,0)解析 由题意可知 21()fxax，又因为存在垂直于 y轴的切线，所以 2310)(,0)ax。15.(2009 陕西卷理)设曲线 1*(nyN在点（1 ，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 nx,令 lgnx，则 129a 的值为 . 答案 -2 1*1129129()()| 1()198.lg.l.lg2310nn xnyyx ynxxa A解 析 ： 点 （
9、 ， ） 在 函 数 的 图 像 上 ， （ ， ） 为 切 点 ，的 导 函 数 为 切 线 是 ：令 =0得 切 点 的 横 坐 标 ：16.（ 2009 四川卷文）设 V是已知平面 M上所有向量的集合，对于映射 :,fVa，记 a的象为 ()f。若映射 :f满足：对所有 ab、 及任意实数 都有57()()fabfafb，则 f称为平面 M上的线性变换。现有下列命题：设 是平面 M上的线性变换， aV、 ，则 ()()fabfb 若 e是平面 上的单位向量，对 ,e设 ，则 是平面 M上的线性变换； 对 ,()aVfa设 ，则 f是平面 M上的线性变换； 设 f是平面 M上的线性变换，
10、V，则对任意实数 k均有 ()(fakf。其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）答案 解析 ：令 1，则 )()(bfabf故是真命题同理，：令 0,k，则 kf故是真命题： af)(，则有 f)( )()(bfafbabb 是线性变换，故是真命题：由 eaf)(，则有 ef)( ebfafebab )()( e是单位向量， 0，故是假命题【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。17.（ 2009 宁夏海南卷文）曲线 21xye在点（0,1）处的切线方程为 。答案 31yx解析 2xe，斜率 k 20e3 ，所
11、以， y13x ，即 31yx三、解答题18.（ 2009 全国卷理）本小题满分 12 分。 （注意：在试题卷上作答无效）设函数 32fxbcx在两个极值点 12x、 ，且 120,1,.x，（I）求 bc、 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点 bc的57区域；(II)证明： 2110fx分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。大部分考生有思路并能够得分。 236fxbxc由题意知方程0有两个根 12、1,x且 ， 2,.则有 10f，f， f，故有右图中阴影部分即是满足这些条件的点 ,bc的区域。(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。
12、主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标 322fxbxc中的 b， （如果消 c会较繁琐）再利用 2x的范围，并借助（I）中的约束条件得 ,0进而求解，有较强的技巧性。解析 由题意有 2360fxbc 又 322fxbc 消去 可得 32221fx又 2,x，且 ,0c 211()fx 19.（ 2009 浙江文） （本题满分 15 分）已知函数 32()()axxb (,)abR（I）若函数 (fx的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 ，求 ,的值；（II）若函数 在区间 (1,)上不单调，求 a的取值范围解析 （）由题意得 )2()1(23xxf57又 3)
13、2()0afb ，解得 0b， 3a或 1（）函数 xf在区间 )1,(不单调，等价于导函数 )(在 ,既能取到大于 0 的实数，又能取到小于 0 的实数即函数 f在 上存在零点，根据零点存在定理，有0)1(， 即： 0)2()1(23)()1(23 aa整理得： 0)5a，解得 520.（ 2009 北京文） （本小题共 14 分）设函数 3()()fxb.（）若曲线 )yf在点 2,fx处与直线 8y相切，求 ,ab的值；（）求函数 (x的单调区间与极值点.解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力（） 23fxa,曲线 ()y在点
14、()fx处与直线 8y相切， 20404,2.86f ab（） 23fx,当 0a时， 0，函数 ()fx在 ,上单调递增，此时函数 ()fx没有极值点.当 时，由 xa，当 ,xa时， 0f，函数 ()fx单调递增，当 时， x，函数 单调递减，当 ,x时， f，函数 ()fx单调递增，此时 a是 ()x的极大值点， a是 ()f的极小值点.21.（ 2009 北京理） （本小题共 13 分）设函数 ()(0)kxfe57（）求曲线 ()yfx在点 0,()f处的切线方程；（）求函数 的单调区间；（）若函数 ()fx在区间 (1,)内单调递增，求 k的取值范围.解析 本题主要考查利用导数研究
15、函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力（） ,0,0kxfxeff,曲线 ()y在点 ()处的切线方程为 yx.（）由 1kxfxe，得 1k，若 0k，则当 ,时， 0f，函数 fx单调递减，当 1,x时， fx，函数 f单调递增，若 0k，则当 1,k时， 0f，函数 fx单调递增，当 1,x时， fx，函数 f单调递减，（）由（）知，若 0k，则当且仅当 1k，即 1k时，函数 fx1,内单调递增，若 0，则当且仅当 k，即 k时，函数 fx,内单调递增，综上可知，函数 1内单调递增时， k的取值范围是 1,0,.22.(2009 山东卷文)（本小题满分 1
16、2 分）已知函数 32(fxabx,其中 0a （1 ）当 b,满足什么条件时 , )(f取得极值?（2 ）已知 0,且 )(xf在区间 1上单调递增,试用 表示出 b的取值范围.57解: (1)由已知得 2()1fxabx,令 0)(f,得 210axb,)(xf要取得极值,方程 0必须有解,所以 240b,即 2, 此时方程 2x的根为1abax,224baba,所以 12()(fx 当 0a时,x (-,x 1) x 1 (x1,x2) x2 (x2,+)f(x) 0 0 f (x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数所以 )(x在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值.当 0a
17、时, x (-,x 2) x 2 (x2,x1) x1 (x1,+)f(x) 0 0 f (x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数所以 )(x在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值.综上, 当 ba满足 时, )(xf取得极值. (2)要使 )(xf在区间 0上单调递增,需使 2()10fxabx在 (,上恒成立.即 1,(2恒成立, 所以 ma)b设 ()axg,2(1()2xag,令 0得 1或 x(舍去), 当 a时, ,当 (0,)a时 (0gx, 1()2ax单调增函数;当 1(,x时 ()gx, 1()2单调减函数,57所以当 1xa时, ()gx取得最大, 最大值为
18、1()ga.所以 b当 01a时, ,此时 ()0gx在区间 (,1恒成立,所以 1()2axg在区间 (,上单调递增,当 1时 最大,最大值为 1),所以 b综上, 当 1a时 , ba; 当 01时, 2ab 【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.22.设函数 321()()4fxaxa，其中常数 a1()讨论 f(x)的单调性;()若当 x0 时， f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围。 解析
19、本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。解析 （I） )2(4)1(2)( axaxxf 由 1a知，当 时， 0f，故 (f在区间 ,是增函数；当 x2时， )(x，故 )x在区间 ),是减函数；当 时， f，故 (f在区间 2(a是增函数。综上，当 1a时， )x在区间 ),和 ),是增函数，在区间 )2,(a是减函数。（II）由（I）知，当 0时， )(f在 ax2或 0处取得最小值。aaf 42)1()23( 44f)0(57由假设知 ,0)
20、(21fa即 .024,0)6(3,1a解得 11 时, 12a当 x 变化时， ()fx与 f的变化情况如下表：x (,12)a(,1)(,)()f+ +x单调递增 单调递减 单调递增由此得，函数 ()f的单调增区间为 (,12)a和 (,)，单调减区间为 (12,)a。当 1a时， 21a此时有 ()0fx恒成立，且仅在 x处 ()0fx，故函数 ()fx的单调增区间为 R当 时， 同理可得，函数 ()fx的单调增区间为 (,1)和(12,)a，单调减区间为 (1,2a 综上：当 时，函数 ()fx的单调增区间为 (,)和 (1,)，单调减区间为(12,)a；当 时，函数 ()fx的单调增
21、区间为 R；当 时，函数 的单调增区间为 (,1)和 (2,)a，单调减区间为(1,2)a.()由 得 321()fxx令 2()30fx得 12,3x由（1）得 增区间为 ,)和 ,，单调减区间为 (,)，所以函数 ()f在处 2,3x取得极值，故 M（ 513）N（ ,9） 。观察 ()f的图象，有如下现象：当 m 从-1（不含 -1）变化到 3 时，线段 MP 的斜率与曲线 ()fx在点 P 处切线的斜率()fx之差 Kmp- ()f的值由正连续变为负。线段 MP 与曲线是否有异于 H，P 的公共点与 Kmp ()f的 m 正负有着密切的关联；57Kmp ()fm=0 对应的位置可能是临
22、界点，故推测：满足 Kmp ()f的 m 就是所求的 t 最小值，下面给出证明并确定的 t 最小值.曲线 ()fx在点 ,P处的切线斜率2()3f；线段 MP 的斜率 Kmp245m当 Kmp ()f=0 时，解得 12或直线 MP 的方程为2454()33myx令22()()mgxf当 时， 2)x在 (1,上只有一个零点 0x，可判断 ()fx函数在(1,0)上单调递增，在 0,)上单调递减，又 (1)2g，所以 g在 1,2上没有零点，即线段 MP 与曲线 (fx没有异于 M，P 的公共点。当 2,3m时，24(0)03mg. 2()0gm所以存在 ,使得 即当 23时 MP 与曲线 (
23、)fx有异于 M,P 的公共点 综上，t 的最小值为 2.（2 ）类似（1 ）于中的观察，可得 m 的取值范围为 1,3解法二：（1 ）同解法一.（2 ）由 a得 321()fxx，令 2()0fx，得12,3x由（1）得的 ()fx单调增区间为 (,1)和 (3,)，单调减区间为 (1,3)，所以函数在处取得极值。故 M( 51,3).N( 9)57() 直线 MP 的方程为22454.33mmyx由2232451myx得 322(4)40xxm线段 MP 与曲线 f有异于 M,P 的公共点等价于上述方程在(1,m)上有根,即函数322()(4)4gxx在 (-1,)上有零点.因为函数 )为
24、三次函数,所以 (g至多有三个零点, 两个极值点.又 (10gm.因此, )x在 1,)m上有零点等价于 ()gx在 1,)m内恰有一个极大值点和一个极小值点,即 22(36(4)0,g在 内有两不相等的实数根.等价于22236140()()m （ ） 即152,25mm或 解 得又因为 13,所以 m 的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的 r 的最小值为 2.36.（ 2009 辽宁卷文） （本小题满分 12 分）设 2()1)xfea，且曲线 yf（x）在 x1 处的切线与 x 轴平行。(2)求 a 的值，并讨论 f（x）的单调性；(1)证明：当 0,(cos)f(in)22时 ， 解
25、析 （） 2)1xfeaax.有条件知，(1)f，故 3. 2 分 于是2 )(2)xxee.故当 (,(1,时， f0； 当 2)x时， )fx0.从而 (f在 ,， (,单调减少，在 (2,1)单调增加. 6 分57（）由（）知 ()fx在 0,1单调增加，故 ()fx在 0,1的最大值为 (1)fe，最小值为 0f. 从而对任意 1x， 2,，有 12()fxfe. 10 分而当 ,时， cosin0,.从而 ()()ff 12 分37.（ 2009 辽宁卷理） （本小题满分 12 分）已知函数 f(x)= 21x ax+(a 1) lnx， 1a。（1 ）讨论函数 ()f的单调性； （
26、2 ）证明：若 5a，则对任意 x 1，x 2(0,)，x 1x 2，有 12()1ffx。解析 (1) ()fx的定义域为 (,)。2 11()1)()axaxaf2 分（i）若 即 ,则2(1)xf故 ()f在 0,)单调增加。(ii)若 1a,而 ,故 12a,则当 (1,)xa时， ()0fx;当 ()x及 ()x时， )0f故 f在 ,单调减少，在 (,(,)单调增加。(iii)若 1a,即 2,同理可得 )fx在 1a单调减少，在 (0,1),)a单调增加.(II)考虑函数 ()gxf211lna57则 21()()2(1)(1)agxxag由于 11,证明对任意的 c,都有 M2
27、: ()若 MK 对任意的 b、c 恒成立，试求 k 的最大值。本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和份额类讨论的思想（满分 14 分）（I）解析 2()fxbxc，由 ()fx在 1处有极值 43可得(1)0433fc解得 ,1bc或若 ,，则 22()1()0fxx，此时 ()fx没有极值；若 3bc，则 31x当 x变化时， ()fx， f的变化情况如下表：,(,)1 (,)()fx0 + 0 A极小值 12A极大值 43A当 1x时， ()fx有极大值 43，故 b， 3c即为所求。（）证法 1： 2|()|gfx当 |b时，函数 )y的对称轴 位于区间 1.之外。()fx在 ,上的最值在两端点处取得故 M应是 1g和 ()中较大的一个
