1、高中数学辅导网 http:/ http:/ 2011 届高三最后一次适应性考试（数学理）试卷类型：A本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考 证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案 标号，答在 试题卷上无效。3将填空题和解答题用 0.5 毫米的黑色墨水 签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内答在试题卷上无效。4考试结束， 请 将本试题卷和答题卡一并上交。一 、选择题
2、 (本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 的展开式中第三项的系数是62xA B C15 D5414522 是虚数单位，若复数 满足 ，则复数 的实部与虚部的和是iz()izA0 B C1 D23已知非零向量 、 满足向量 与向量 的夹角为 ，那么下列结论中一 定成立abab的是A B C D|aba:b4有 5 名毕业生站成一排照相，若甲乙两人之间恰有 1 人，则不同站法有A18 种 B24 种 C36 种 D48 种5 已知函数 ，则函数 的大致图象是13,(),()logxf()yfx6 是数列 的前 项和，则 “数列 为
3、常数列”是“数列 为等差数列”的 nSnananSA xyO B xyO D xy OyC xO高中数学辅导网 http:/ http:/ B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7若双曲线 与直线 无交点，则离心率 的取值范围是21(0,)xyab2yxeA B C D (,),(1,5)(1,58某球与一个 的二面角的两个面相切于 、 两点，且 、 两点间的球面距离为2AB，则此球的表面积是A B C D 1243649已知 、 是三次函数 的两个极值点，且 ，321()(,)fxaxbR(0,1)，则 的取值范围是 (,2)baA B C D14(,1)21(,)241(0
4、,)310 已知 是定义在 上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件：()fx,b 的值域为 M，且 M ；,a对任意不相等的 ， ， 都有| | |xy()fxfyx那么，关于 的方程 = 在区间 上根 的情况是()f,bA没有实数根 B有且仅有一个实数根C 恰有两个不等的实数根 D有无数个不同的实数根二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在答题卡相应位置上 )11已知 = tan2,sico则12若函数 是定义域上的连续函数，则实数 ()fx1(0)xa a13若函数 = ，则不等式 的解集为 ()f2log(4)x1()2fx14. 在空间中，若射线
5、 、 、 两两所成角都为 ，且 ， ，则直线 OABC32OA1BAB与平面 所成角的大小为 BC15某企业 2011 年初贷款 万元，年利率为 ，按复利计算，从 2011 年末开始，每年末偿ar还一定金额，计 划第 5 年底还清，则每年应偿还的金额数为 万元三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）高中数学辅导网 http:/ http:/ (本小题满分 l2 分)已知函数 ( R )2(cos()cos3fxx（）求函数 的最小正周期及单调递增区间； )() 内角 的对边长分别为 ，若 且ABC、 、 abc、 、 3(),12Bfb3,c试判断
6、 的形状，并说明理由,ab17 （本小题满分 12 分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在整个下落过程中它将 3 次遇到黑色障碍物，最后落入 袋或 袋中已知AB小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是 12（）求小球落入 袋中的概率 ；B()PB（）在容器入口处依次放入 2 个小球，记落入 袋中的小球个数为 ，A试求 的分布列和 的数学期望 E18 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD，底面为直角梯形， ，A90BAD且 AD=2，AB=BC=1 ，PA=BCAD:(0).（）设 M 为 PD 的中点，求证
7、： 平面 PAB；CM:（）若二面角 BPCD 的大小为 150，求此四棱锥的体积.AMDCBP高中数学辅导网 http:/ http:/ （本小题满分 12 分）已知数列 中， ， ，其前 项和为 ，且当 时，na123annS210naS（）求证：数列 是等比数列；nS（）求数列 的通项公式；（）令 ，记数列 的前 项和为 ，证明对于任意的正整数 ，19(3)nnabnbnTn都有 成立78T20 （本小题满分 13 分）已知椭圆 ： 上的一动点 到右焦点的最短距离为 ，且右C21xyab(0)aP21焦点到右准线的距离等于短半轴的长() 求椭圆 的方程；() 过点 ( ， )的动直线 交
8、椭圆 于 、 两点，试问：在坐标平面上是否存M013lCAB在一个定点 ，使得无论 如何转动，以 为直径的圆恒过定点 ？若存在，求出点 的Tl TT坐标；若不存在，请说明理由21. （本小题满分 14 分）已知函数 1()ln2xfx（）求证：存在定点 ，使得函数 图象上任意一点 关于 点对称的点 也在函M()fxPMQ数 的图象上，并求出点 的坐标；()fx（）定义 ，其中 且 ，求 ；121()()()ni nSffff *nN2 201S高中数学辅导网 http:/ http:/ ，求证：对于任意 都有 nS*nN2123llnS参考答案一、选择题A 卷 1A 2 3 4 5D 6A 7
9、D 8C 9A 10 B 卷 1B 2A 3D 4 5B 6A 7D 8B 9C 10 二、填空题11 12 13 14 1525212x1arcos31)(5ra三、解答题16解：（） ，3coscos2incos2in3 3fxxxx .故函数 的最小正周期为 ； 递增区间为 ( Z )6 分f 5,1kk（）解法一： ， 33sin22Bfsin32B ， ， ，即 9 分06B由余弦定理得： ， ，即22cosba2132a，230a故 （不合题意，舍） 或 11 分12因为 ， 所以 ABC 为直角三角形.12 分24bca解法二： ， 33sin2Bf1sin32B ， ， ，即
10、9 分06高中数学辅导网 http:/ http:/ ， ，13sinsini6aAC3i2 ， 或 0C32当 时， ；当 时， （不合题意，舍） 11 分6A所以 ABC 为直角三角形 . 12 分17解：（）当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下时小球才会落入 袋中，故B 5 分311()24PB（）记“小球落入 袋中” 为事件 ， “小球落入 袋中” 为事件 ，则事件 与事件 为对ABA立事件 ，从而 8 分13()1()4PB显然， 的取值为 0、1、2，且 ； 201()46C； 236()()4PC239(P的分布列为0 1 2p 16696故 12 分169302.E（或由随机
11、变量 ，故 ）,4B:32.4E18解法一：（）证明：取 PA 的中点 N，连结 BN、 NM，在PAD 中， ，且 ；MNAD:12A又 ，且 ，BC12所以 MN BC，即四边形 BCMN 为平行四边形， .: CMBN:又 平面 PAB， 平面 PAB，故 平面 PAB. 5 分BN（）如图，连结 AC，则二面角 BPCD 的大小等于二面角 BPCA 的大小与二面角DPCA 的大小的和. 由 知 ，又 ，所以 平2,ACADCPC高中数学辅导网 http:/ http:/ PAC，即平面 P 平面 PAC， 所以二面角 DPCA 的大小为 90. 于是二面角 BDCPCA 的大小为 60
12、，过 B 作 于 E，过 E 作 于 F，连结 BF，由三垂线定ACPC理知 为二面角 BPCA 的平面角. EF9 分在 RtABC 中， ，又易知 PBC 为 Rt，且 ，2 21BP: ，解得 11 分223sin1EFB1.所以四棱锥 PABCD 的体积为 12 分1(2).3V:解法二：以 A 为坐标原点，以 AB、 AD、AP 所在直线为 x、y 、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则 B（1，0，0 ） ，C （1，1 ，0） ，D（0 ，2，0 ） ，P（0，0， ）. 2 分（）由 M 为 PD 中点知 M 的坐标为（0，1 ， ） ，所以 .(1,)2CM又平面 PA
13、B 的法向量可取为 ，而 ，即 .(,)m0m:又 平面 PAB，所以 平面 PAB. 6 分CC:（）设平面 PBC 的法向量为 . 1(,)axyz (1,0),(1,)PB10PBxyz:不妨取 ，则 ， 1z1,0xy(,).a又设平面 PCD 的法向量为 . 2,bxz (1,)(0,),PCD220PCyzD:不妨取 ，则 . 9 分2z22,yx(,)b由 的方向可知 ，解得 11 分,ab 23cos1502|14a: 1A E DCBPFAMDCBPNAMDCBPxyz高中数学辅导网 http:/ http:/ PABCD体积为 12 分11(2)5V:19（）证明：当 时，
14、 ，2n 211)()nnnnnnnaSSSS所以 1()S又由 ，可推知对一切正整数 均有 ，20,4 0数列 是等比数列 分n（）解：由（）知等比数列 的首项为 1，公比为 4， nS 1nS当 时， ，22134nna又 ，1 分2,(),34.nn（）证明：当 时， ，此时234nna221199()()(3)nnnba，234(n又 ，11293)8ba 分213,()84,2()(nn，1378Tb当 时， 2n2134()(nn214nn122121)()8n nb 1分7784n又因为对任意的正整数 都有 所以 单调递增，即 ， 0,nbnTnT所以对于任意的正整数 ，都有 成
15、立 分37820 解： ()设椭圆的焦距为 ，则由题设可知 ，解此方程组得2c21acb， . 所以椭圆 C 的方程是 . 5 分2a1b21xy高中数学辅导网 http:/ http:/ T（u, v）. 若直线 l 的斜率存在，设其方程为 ，13ykx将它代入椭圆方程，并整理，得 2(189)160kxk设点 A、 B 的坐标分别为 ，则 12(,)(,)AxyB12,896.kx因为 及12(,),(,)TxuyvTxuyv121,3kxykx所以 1212(AB:22 1()339vkxukvxu9 分264(35)6v当且仅当 恒成立时，以 AB 为直径的圆恒过定点 T，0TAB:所
16、以 解得2218,35.uv0,1.uv此时以 AB 为直径的圆恒过定点 T（0 ，1）. 11 分 当直线 l 的斜率不存在，l 与 y 轴重合，以 AB 为直径的圆为 也过点 T（0，1）.2xy综上可知，在坐标平面上存在一个定点 T（0 ，1） ，满足条件. 13 分解法二：若直线 l 与 y 轴重合，则以 AB 为直径的圆是 21.若直 线 l 垂直于 y 轴，则以 AB 为直径的圆是 7 分6().39xy由 解得 .221,6().39x01xy由此可知所求点 T 如果存在，只能是（0 ，1）. 8 分事实上 点 T（0，1 ）就是所求的点. 证明如下：当直线 l 的斜率不存在，即
17、直线 l 与 y 轴重合时，以 AB 为直径的圆为 ，21xy过点 T（0，1 ） ； 当直线 l 的斜率存在，设直线方程为 ，代入椭圆方程，并3yk整理，得 2(89)160.kxk设点 A、 B 的坐标为 ，则 10 分 12(,)(,)AyBx12,896.kx高中数学辅导网 http:/ http:/ ，12(,),(,1)TAxyTBxy221121246()39kxkx:2216360.89kk所以 ，即以 AB 为直径的圆恒过定点 T（0 ，1）. TAB综上可知，在坐标平面上存在一个定点 T（0 ，1）满足条件. 13 分21解：（）显然函数定义域为（0，1 ）. 设点 M 的
18、坐标为（ a, b） ，则由212()2)lnl1ln21xaxxafxax b对于 恒成立，于是 解得 0,0,.b.b所以存在定点 ，使得函数 f(x)的图象上任意一点 P 关于 M 点对称的点 Q 也1(,)2M在函数 f(x)的图象上 . 4 分（）由（）得 (),fx1221()()()n nSffff 12()(nSffffn+，得 ， ，故 8 分*12,)SnN 2015.S（）当 时，由（）知 ，*nN2211lllln()nn于是 等价于 10 分2123llnnS23l().令 ，则 ，3()l()gxx3)1xg当 时， ，即函数 在 上单调递增，又 g(0)=0.0,0(0,)于是， 当 时，恒有 ，即 恒成立. 12 分(,)x()gx32ln(1)0xx故当 时，有 成立，取 ，0,23ln1,则有 成立. 14 分231ln()
