1、概率密度及其性质 指数分布 均匀分布 正态分布与标准正态分布,2 连续型随机变量,退 出,前一页,后一页,目 录,一、连续型随机变量的概念与性质,1) 定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负函数 f (x)，使得对于任意实数 x，有,则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f (x) 称为 X 的概率密度函数,简称概率密度.,退 出,前一页,后一页,目 录,分布函数与密度函数几何意义,密度函数f ( x) :曲边梯形的高. 分布函数F ( x0 ):表示以区间(-, x0)为底边, 以f ( x) 为高的曲边梯形的面积,由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质：,退 出,前一
2、页,后一页,目 录,前两个条件是概率密度的充分必要条件,即,退 出,前一页,后一页,目 录,50 连续型随机变量的分布函数 在实数集上处处连续,注 意,退 出,前一页,后一页,目 录,说 明,(1)由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们所关心的概率是指是它在某一区间上取值的概率（而不是在某些点的概率）,退 出,前一页,后一页,目 录,(2),(3),即某区间是否包括端点以及包括多少个端点，对于一个连续型随机变量在该区间取值的概率没有影响（为什么？对于离散型随机变量呢？）,例 1,设 X 是连续型随机变量，其密度函数为,解： 由密度函数的性质,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后
3、一页,目 录,例 2,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,目 录,例 3,某电子元件的寿命 X（单位：小时）是以,为密度函数的连续型随机变量求 5 个同类型的元 件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率.,设 A= 某元件在使用的前 150 小时内需要更换,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,退 出,前一页,后一页,目 录,解：,例 3（续）,检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重Bernoulli试验 设 Y 表示5 个元件中使用寿命不超过150小时 的元 件数，,4
4、连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,故所求概率为,退 出,前一页,后一页,目 录,下面的例子可以说明这个问题,二、一些常用的连续型随机变量,1) 均 匀 分 布,若随机变量 X 的密度函数为,记作 X U a , b,退 出,前一页,后一页,目 录,说 明, 类似地，我们可以定义,退 出,前一页,后一页,目 录,例 4,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,目 录,2)指 数 分 布,如果随机变量 X 的密度函数为,退 出,前一页,后一页,目 录,例 4,退 出,前一页,后一页,目 录,一种电子元件的使用寿命X（单位：小时）服从参数为10的指数分布，求其中一个
5、的使用寿命在10到20小时的概率。,例 4（续）,令：B= 使用为1020小时 ,退 出,前一页,后一页,目 录,3)正 态 分 布,x,f (x),0,退 出,前一页,后一页,目 录,标准正态分布,退 出,前一页,后一页,目 录,正态分布密度函数的图形性质,x,0,退 出,前一页,后一页,目 录,正态分布密度函数的图形性质（续）,退 出,前一页,后一页,目 录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,退 出,前一页,后一页,目 录, 位置参数,第二章 随机变量及其分布,退 出,前一页,后一页,目 录, 形状参数,正态分布的重要性,正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下 情
6、形加以说明：, 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之 一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布 的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的 影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则 该随机指标一定服从或近似服从正态分布, 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许 多分布所不具备的,(3)正态分布可以作为许多分布的近似分布,退 出,前一页,后一页,目 录,4连续型随机变量的概率密度,二：正态分布的计算,退 出,前一页,后一页,目 录,-1 0 1,（1）标准正态分布的计算：,对应的标准正态分布分布函数为：,x,0,x,-x,退 出,前一页,后一页,目 录,将 求出来。,（为什么？
7、）,标准正态分布的计算（续）,例 5,退 出,前一页,后一页,目 录,三、一般正态分布的计算,退 出,前一页,后一页,目 录,证明：,证明思路：只需要证明 Y 的分布函数 FY(y) 或密度函数fY(y) 恰好等于标准正态分布的分布函数 密度函数 。,退 出,前一页,后一页,目 录,注：,例6,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,目 录,0,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,=1.645,=2. 575,= -1.645,= -2. 575,退 出,前一页,后一页,目 录,定义,4 正态分布的密度函数及几何性质。 5 一般正态分布函数与标准正态分布函数的关系。 6 会利用正态分布密度函数的性质求积分。,小结： 连续型随机变量的密度函数的定义和性质。特别是,2 均匀分布的定义及性质。 3 指数分布的定义。,退 出,前一页,后一页,目 录,结束！,退 出,前一页,后一页,目 录,
