1、2016 年广西外国语学院数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题. 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出. 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性. 如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理. 我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： 所属学校（请填写完整的全名）：
2、参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2天然肠衣最大捆数的搭配问题研究摘要天然肠衣的搭配在其加工中占有非常重要的位置，如何能在给出的原料下得到更多的肠衣捆数是生产商考虑的重点. 本文在以下假设的基础上来分析如何使捆数达到最大：一，肠衣经过清洗之后被分割成长度不等的小段作为成品的原料，假设这些原料在搭配捆绑时不能载分割（因为若还可以分割则原来对原料的分割就没有意义了）；二，在原料降级使用时上一规格的剩余原料降为这个规格长度范围最长的原料，如规格为 14-25.5 的剩余原料降级为
3、7-13.5 使用时，当作长度为 13.5-13.9 的原料使用. 因为把 14 米的肠衣降为 13.5-13.9 比降为 13-13.4 所要浪费的材料要少，所以将上一规格剩余原料降为本规格最长范围的原料是合理的. 在以上假设的基础上，首先通过建模得到构成一捆产品全部方案. 通过 Matlab 编程我们得出构成一捆规格为 3-6.5 的成品的方案有 90849 个，构成一捆 7-13.5、14-25.5产品的方案分别有 10866、4286 个. 由于所得方案的总量过大，对于 30 分钟内得出分配方案很难做到，因此我们对方案进行筛选. 舍弃那些跨越三个长度范围以上的方案，得出构成一捆 3-6
4、.5、7-13.5、14-25.5 成品的方案分别有 668、439、792 种. 对于筛选后得到的方案相比最初的数据减少了很多，在现在高科技飞速发展的年代，对于这个数据在 30 分钟内得出方案完全有可能. 在得出构成一捆成品的方案后，我们先建立在原料不可降级使用时的捆数最大模型. 在原料不可分割的条件下要想总捆数最大，就是三类成品在现有原料的条件下各自最大捆数的和，所以我们建立了分别对应三类产品的最大捆数模型，也就是含不等式约束的线性规划问题.在分类最大捆数模型下，得到 3-6.5、7-13.5、14-25.5 成品的最大捆数分别为 14 捆、17 捆、137 捆，总共最大捆数 188 捆.
5、此时，虽然 14-25.5的产品原料全部用完，但第 3-6.5、7-13.5 类产品的原料还存在部分原料的剩余. 这样分成三个模型，虽然能控制在 30 分钟内，但有点繁琐，而且没有考虑原料降级使用的. 由于分类最大捆数模型上述的不足，所以本文又在考虑原料可降级使用的条件下，得出一个全部产品一起考虑的模型，即综合最大捆数模型. 该模型在分类最大捆数模型的基础上，加入一些松弛变量或人工变量，并对三类产品最大捆数模型进行综合，得出一个综合整数规划模型. 该模型最优值为 191 捆，比分类时多 3 捆. 并且达到最优值时 14-25.5 产品的原料全部用完，切实在现有原料条件下的最大值，故满足了最短长
6、度最长的产品最多的条件. 该模型既考虑了原料的降级使用，也能将三类最大捆数模型综合在内. 虽然模型的变量较多，但通过 Lingo 来求解整数规划模型速度很快. 因此对于一般情况的原料，在已得出的构成一捆产品方案的基础上，再应用我们给出的 Lingo 程序，在 30 分钟之内一定可以得出最大捆数方案. 关键词：整数规划；分类方案；Matlab；Lingo2一 问题重述天然肠衣是采用健康牲畜的食道、罚、小肠、大肠和膀胱等器官，经过特殊加工，对保留的组织进行盐渍或干制的动物组织，是灌制香肠的衣膜. 其制作加工是我国的一个传统产业，出口量也占世界首位. 肠衣在加工的过程中，经过清洗整理后被分割成长度不
7、等的小段（原料） ，进入组装工序. 传统的生产方案依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）. 为了提高生产效率，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产，而此“药方”需满足以下条件：(1) 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；(2) 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；(3) 为提高原料使用率，总长度允许有 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；(4) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用. 如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；(5) 为了食品保鲜,要
8、求在30分钟内产生方案. 上述五个条件中第一个条件表明在现有的条件下达到最多的捆数；第二个条件是表示捆数最多的条件下最短长度最长的产品越多越好，在本例中就是规格为 14-25.5的成品越多越好；第三个条件表明成品的规格中总长度可以有 0.5 米的误差，例如规格 3-6.5 的成品可以为总数 19 根，总长度为 88.5 或者 89.5 为一捆；第四个条件是为了不浪费材料，在高一规格成捆数之后还有剩余的，将其将为下一级使用，如在 14-25.5 规格中若剩余 14 米的原料，可将其降为 7-13.5 米使用，与 7-13.5 米的原料进行捆扎，其在计算总长度时记为 13.5；第五个条件则要求所建
9、模型的求解时间需低于 30分钟. 二 符号说明为了方便后面构建模型，现对文中将出现的符号进行如下说明：第类：规格为 3-6.5 的成品；第类：规格为 7-13.5 的成品；第类：规格为 14-25.5 的成品；：构成一捆第类成品的第 种方案；128(,)iiiAa i：构成一捆第类成品的第 种方案；,14Bb：构成一捆第类成品的第 种方案；12,iiiCc i：第类成品的原料数；8()oo：第类成品的原料数；1214,pp：第类成品的原料数. qq三 模型的假设为了能够更好地分析肠衣大搭配问题，我们作出如下假设：第一，肠衣经过清洗之后被分割成长度不等的小段作为成品的原料，由于这些小段已经分割好
10、，那么我们在搭配捆绑时假设这些小段不能在分割（因为若还可以分割3则原来对原料的分割就没有意义了）；第二，在原料降级使用时上一规格的剩余原料降为这个规格长度范围最长的原料，如第类成品的剩余原料可以与第成品的原料进行捆扎，降级为 13.5-13.9 的原料使用. 同样，当第类成平的原料有剩余时可与第 类成品的原料进行捆扎，降级为6.5-6.9 的原料使用. 此假设是符合实际的，因为把 14 米的肠衣降为 13.5-13.9 比降为 13-13.4 所要浪费的材料要少，所以我们将上一规格材料的剩余量降为本规格最长范围的原料是合理的；第三，当所有的构成一捆成品的方案总量很大时，我们可以对这些方案进行限
11、制，筛选部分方案就行优化. 因为若总量很大时对所有的方案均予以考虑，则不易在 30 分钟内得出最多捆数. 四 模型的建立与求解问题给出的五个条件要想一次达到是非常困难的，故我们必须分步来满足这些要求. 要想知道所给原料能够成多少捆数，首先应该找出那些能构成一捆的所有方案，然后再求最大捆数，下面我们就分这两个步骤来进行研究. 4.1 构成一捆成品的方案要想求出给出条件的最大捆数，首先必须要分析构成一捆成品的方案有多少种. 比如对于第类产品可以从 3 米、3.5 米、4 米一直到 6.5 米中的任取几个构成总数为 19 或 20 根，总长度为 88.5 米、89 米或 89.5 米即可. 根据以上
12、分析，为了得出构成一捆第类成品的方案，我们建立分类模型（一）如下：128813.56.12.9.5,8iiixxxN通过 Matlab1编程（见附录一）的出该模型的解 有 90849 个，既构成一捆第iA类成品的方案有 90849 个（具体方案见附件“原始第一类方案.txt”）. 类似分类模型（一），我们为了得到构成一捆第类、第类成品的方案，我们建立分类模型（二）、（三）如下：分类模型（二） ；1214417.53.798.9.5,14iiixxxN4分类模型（三） . 1224241.5.368.9.5,24iiixxxN通过 Matlab1编程（程序类似分类模型（一），得出分类模型（二）的
13、解 有iB10866 个（具体方案见附件“原始第二类方案.txt”），分类模型（三）的解 有C4286 个（具体方案见附件“原始第三类方案.txt”）. 4.2 每类成品的最大捆数模型从 4.1 的结果可知，对于每一类产品，构成一捆的方法都由许多，最少的都有4286，若对这所有的构成方案均进行考虑运算量就会太大，不易在 30 分钟内得出最多捆数，因此我们对这些构成方案进行筛选. 我们将构成此方案所需的长度范围超过三个的舍弃，例如在构成一捆第类成品的方案3*1+3.5*4+4*3+4.5*4+5*6+5.5*1+6*1=88.5，此方案跨度了 3-3.4、3.5-3.9、4-4.4、4.5-4.
14、9、5-5.4、5.5-5.9、6-6.4 共七个长度范围，故将此方案舍弃掉. 此假设在实际加工中也是合理的，因为构成一捆肠衣的方案所需的长度范围越多其工作量就越大，此假设可降低实际的工作量. 基于上述假设，我们对 4.1 中得出的结果进行筛选，得出构成第类、第类、第类成品的方案分别有 668、439、792 种，具体结果见附表一、附表二和附表三. 我们先忽略第四个条件，即在原料不可降级使用条件下的最大捆数. 由第一个假设可知要想总捆数最大，实际上是三类成品在现有原料的条件下各自最大捆数的和，故我们先分别对三类模型求出最大捆数. 下面我们以第类成品为例建立模型，第、类产品则类似. 筛选后能够构
15、成一捆第类产品的方案有 668 种，而该成品的原料限制如表一. 表一 第类产品的原料长度 3-3.4 3.5-3.9 4-4.4 4.5-4.9 5-5.4 5.5-5.9 6-6.4 6.5-6.9根数 43 59 39 41 27 28 34 21现假设第 种构成一捆的方案 有 捆，各长度范i 128(,)(1,268)iiiAa ix围根数为 ，则可知捆数 需满足各长度范128(,)(43,59734oo围的根数的总数应少于 ，如长度范围位于 3-3.4 的应满足 . 由此可知，要ib 1iab在满足原料的条件下捆数最大实际上是一个求最大的整数规划模型 2-4，现建立第类成品的最大捆数模
16、型如下：5681max.,12,86iijjistoxN该模型可以通过用 Lingo 编程 5求解，编程如下sets:h/1668/:x;l/18/:b;links(h,l):a;endsetsdata:a=file(chanpin1.txt);b=43,59,39,41,27,28,34,79;enddata！chanpin1.txt表示形成一捆第类成品的方案;max=sum(h(i):x(i);for(l(j):sum(h(i):x(i)*a(i,j)b(j);for(h(i):gin(x(i);该程序的运行结果见表二. 表二中非 0 变量 所对应的方案 的具体数值见表三. ixiA表二
17、第类成品的最大捆数模型的解变量 7x1327x29431462473514x53615x其他结果 2 1 1 1 1 2 1 1 1 3 0表三 第类成品的最大捆数模型中非 0 解所对应的形成一捆产品的具体方案表长度方案 3-3.4 3.5-3.9 4-4.4 4.5-4.9 5-5.4 5.5-5.9 6-6.4 6.5-6.97A0 0 4 15 1 0 0 0133 0 0 1 15 0 0 020 4 9 0 0 7 0 0947 2 0 0 0 11 0 0316 0 0 0 7 0 6 0629 0 0 3 0 0 8 047A1 9 0 0 0 0 9 0510 0 16 0 0
18、 0 3 137 0 0 0 0 10 0 260 13 1 0 0 0 0 6由表二和表三的结果可知第类成品的最大捆数为 14 捆，此时原料的应用情况见表四. 表四 第类成品的最大捆数模型中原料的应用情况与给出的原料数量的比较长度 3-3.4 3.5-3.9 4-4.4 4.5-4.9 5-5.4 5.5-5.9 6-6.4 6.5-6.96给出原料根数 43 59 39 41 27 28 34 21使用根数 42 54 36 37 24 28 34 21由表四可知，第类成品的最大捆数模型中对于给出的原料最终只剩下 16 根，再也不能构成一捆，因此第类成品的最大捆数为 14 捆是合理的. 类
19、似第类成品的最大捆数模型，对于第、类产品可建立如下模型. 第类成品的最大捆数模型：；4391max.,12,439iijjistbpxN第类成品的最大捆数模型：；7921ma.,12,479iijjistxcqN其中 为第类成品的原1214(,)(,205,3,8,518,2)pp料数，为第,35,9,84,64,2,36,0,1)qq类成品的原料数. 对于第、类成品的最大捆数模型的求解算法类似于第类成品的最大捆数模型，得出结果及结果的比较见表五-表十. 表五 第类成品的最大捆数模型的解变量 34x956x10953x16973x2587x3102x386x39其他结果 2 1 6 3 7 3
20、 2 1 2 1 4 1 2 2 0表六 第类成品的最大捆数模型中非 0 解所对应的形成一捆产品的具体方案表长度方案 7|7.47.5|7.98|8.48.5|8.99|9.49.5|9.910|10.410.5|10.911|11.411.5|11.912|12.412.5|12.913|13.413.5|13.934B0 0 0 0 0 0 0 4 0 3 1 0 0 091 0 0 0 0 0 0 0 0 5 2 0 0 0560 0 0 1 0 0 0 0 4 0 3 0 0 00 0 0 0 0 0 3 0 0 4 0 1 0 0130 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 4 0
21、 0690 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 5 0 07B0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 5 0 02580 0 0 3 0 0 0 0 1 0 0 0 4 00 0 0 0 0 0 0 4 3 0 0 0 0 1310 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 2 120 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 3 180 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 236B0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 47396B0 0 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 4表七 第类成品的最大捆数模型中原料的应用情况与给出的原料数量的比较长度7
22、|7.47.5|7.98|8.48.5|8.99|9.49.5|9.910|10.410.5|10.911|11.411.5|11.912|12.412.5|12.913|13.413.5|13.9给出原料根数 24 24 20 25 21 23 21 18 31 23 22 59 18 25使用根数 1 0 9 25 21 23 21 18 31 23 22 59 18 25表八 第类成品的最大捆数模型的解变量 15x6170x8794x103107x120150x16017x结果 9 5 14 3 11 4 15 7 15 1 16变量 1321322923527534317其他结果 9
23、1 6 8 2 2 2 6 1 0表九 第类成品的最大捆数模型中非 0 解所对应的形成一捆产品的具体方案表长度方案14|14.414.5|14.915|15.415.5|15.916|16.416.5|16.917|17.417.5|17.918|18.418.5|18.919|19.419.5|19.915C0 0 0 0 0 1 0 2 0 2 0 060 1 0 0 0 0 0 0 0 2 2 071 0 0 0 0 0 0 1 0 0 3 080 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 1940 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 2130 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0
24、270 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 22C0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0150 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 060 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 070 1 0 0 0 0 0 0 3 0 0 01931 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 020 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 02 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 09C0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0350 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0270 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 040 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0310 0
25、 0 0 0 0 0 0 0 0 0 070 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0长度方案20|20.420.5|20.921|21.421.5|21.922|22.422.5|22.923|23.423.5|23.924|24.424.5|24.925|25.425.5|25.915C0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 060 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 070 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 080 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0940 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 08103C0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 070 0
26、0 0 0 0 0 0 0 0 0 021 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 052 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0600 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0170 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 093C0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 020 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 02 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 090 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0350 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0270 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 040 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 031C0 0 0 2 1
27、 0 0 1 0 0 0 070 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1表十 第类成品的最大捆数模型中原料的应用情况与给出的原料数量的比较长度14|14.414.5|14.915|15.415.5|15.916|16.416.5|16.917|17.417.5|17.918|18.418.5|18.919|19.419.5|19.9给出原料根数 35 29 30 42 28 42 45 49 50 64 52 63使用根数 35 29 30 42 28 42 45 49 50 64 52 63长度20|20.420.5|20.921|21.421.5|21.922|22.422.5|22.
28、923|23.423.5|23.924|24.424.5|24.925|25.425.5|25.9给出原料根数 49 35 27 16 12 2 0 6 0 0 0 1使用根数 49 35 27 16 12 2 0 6 0 0 0 1由表五-表七的结果可知，第类成品的到最大捆数为 37，对于给出的原料剩余58 根. 由于该模型求出的所有这些构成一捆第 类成品的方案中均未用到长度为 7.5-7.9 的原料，故该长度范围的原料全部剩余了，而长度为 7-7.4 的也只用了一根，因此造成了第类成品的原料剩余量较多. 虽然如此，但长度位于 8.5-13.4 的原料完全用完，既长度较长的原料全部用完，这样
29、有利于减少浪费，故第类成品最大捆数模型也具有一定的合理性. 观察表八-表十，我们得出第类成品的到最大捆数为 137，恰好是给出原料的根数. 从表十可知所有的原料被完全用完，很显然 第类成品最大捆数模型是最优的，表九中各方案安排也是最合理的. 综合第、类成品最大捆数模型，我们可知在不考虑降级情况下总捆数最大为 188 捆. 虽然此时第类成品的原料全部用完，但第、类的原料还有部分剩余，故模型有待改进. 五 模型的改进综合最大捆数模型第四部分给出了不考虑降级情况下的第、类成品最大捆数模型，得出最大捆数为 188 捆. 但在这些模型中有很多材料被浪费掉，特别是长度为 7.5-7.9 的肠衣完全没有用到
30、，7-7.4 的肠衣虽然用到但也只用了一根，这对大批生产的工厂来说损耗是很大的. 为了减少材料的浪费，我们考将上一规格产品的材料剩余量降级使用. 由第二个9假设可知，原料降级使用时降到离自己所在规格最近的长度范围，即第类成品的剩余原料可以与第成品的原料进行捆扎，降级为 13.5-13.9 的原料使用. 第类成平的原料与第类成品的原料进行捆扎，降级为 6.5-6.9 的原料使用. 基于以上分析，我们可以求解第类成品最大捆数模型，得出结果后看是否有剩余的原料，若无则正好分配完，继续解第类成品最大捆数模型，若有剩余，则将剩余的原料作为 13.5-13.9 的原料，再求解第类成品最大捆数模型，以此类推
31、，直至求完第类成品最大捆数模型，最后将三个模型的结果求和就得到最大捆数. 此方法虽容易理解，但过程繁琐，因此我们需建立一个统一的模型来求出最大捆数. 用 表示选择第 种构成一捆第类成品的方案(1,268)ix i的捆数， 表示 选择第 种构成一捆第类成品的方i iAa (1,2439)iy i案 的捆数， 表示选择第 种构成一捆第类成品的12,14,iBb ,7z方案 的捆数. 第类产品有 8 种不同长度的原料 3-3.4 表示第 1 种,2()iiiCc原料，3.5-3.9 为第 2 种原料，以此类推至第八种原料. 类似地，第类、第类产品的原料分别为 14、24 种. 第类产品的第 种原料在
32、最优分配后的剩余量用i表示，的第 种原料在最优分配后的剩余量用 表示，1(,8)id i 2(1,4)id第类的第 种原料在最优分配后的剩余量用 表示，则考虑原料可以i 3(1,4)id降级使用下的综合最大捆数模型为 68497211maxiiiyz. ,ijjjstdo6814,8812,i iixa439,13ijjjbdp24,14141,i iix79213,ijjjcdq,68,49,27iixNyz1,13,4idN在此模型中 、 与 相当于线性规划中的松弛变量或人工变量. 此模型是典1id2ii型的整数规划模型，可以通过 Lingo 软件求解. 在第四部分我们已经得出在最大捆数情
33、况下第类产品的原料正好全部用完，而第类产品的原料不存在降级使用的情况，为了减少模型的变量，减少求解难度，我们将上述综合最大捆数模型进行简化，得到简化后的综合最大捆数模型如下10684397211maxiiiyz.,ijjsto6814, 812,iiixad439,13ijjjbp,14142,ixd7921,ijjcq,68,439,271,iixNyzdi 显然该简化模型比原来的综合最大捆数模型减少了 与 ，我们通过 Lingo 编程求idi解，编程如下：data:A=file(chanpin1.txt);B=file(chanpin2.txt);C=file(chanpin3.txt);
34、l= 43,59,39,41,27,28,34,79;m= 24,24,20,25,21,23,21,18,31,23,22,59,18,25;n= 35,29,30,42,28,42,45,49,50,64,52,63,49,35,27,16,12,2,0,6,0,0,0,1;enddatamax=sum(leia(i):x(i)+sum(leib(j):y(j)+sum(leic(k):z(k);for(lla(i)|i#ne#8:sum(leia(j):x(j)*A(j,i)=l(i);sum(leia(j):x(j)*A(j,8)-sum(llb(j):b2(j)=l(8);for(l
35、lb(i)|i#ne#14:sum(leib(j):y(j)*B(j,i)+b2(i)=m(i);sum(leib(j):y(j)*B(j,14)-sum(llc(j):b3(j)+b2(14)=m(14);for(llc(i):sum(leic(j):z(j)*C(j,i)+b3(i)=n(i);for(leia(i):gin(x(i);for(leib(i):gin(y(i);for(leic(i):gin(z(i);for(llb(i):gin(b2(i);for(llc(i):gin(b3(i);for(llb(i):b2(i)=m(i);for(llc(i):b3(i)=n(i);该
36、程序求得结果见表十一，而综合最大捆数模型中原料的应用情况与给出的原料数量的比较分析见表十二. 表十一 综合最大捆数模型的解11变量 148x35486x527x6043x6710y34y7914y619y结果 1 2 1 2 1 2 4 2 3 3 4 1 2 1 5变量 7y046y58y350y67z6z530z48z结果 1 1 3 2 2 2 3 4 7 3 1 1 2 2 1变量 49z5867z98z96105z10z20z59z34z结果 10 13 1 2 5 3 1 7 10 1 1 4 1 2 2变量 149z57z8314z8920z920z72z3z3540z结果 1
37、1 1 11 4 10 2 3 1 2 1 1 2 4 21变量 258z6270z31z7 其他 , ,ixyiz结果 1 1 1 2 6 1 0表十二 综合最大捆数模型中原料的应用情况与给出的原料数量的比较长度 3-3.4 3.5-3.9 4-4.4 4.5-4.9 5-5.4 5.5-5.9 6-6.4 6.5-6.9给出根数 43 59 39 41 27 28 34 21使用根数 42 59 39 40 23 27 33 21长度 7-7.4 7.5-7.9 8-8.4 8.5-8.9 9-9.4 9.5-9.9 10-10.4 10.5-10.9给出根数 24 24 20 25 21
38、 23 21 18使用根数 15 24 10 25 21 23 21 18长度 11-11.4 11.5-11.9 12-12.4 12.5-12.9 13-13.4 13.5-13.9 14-14.4 14.5-14.9给出根数 31 23 22 59 18 25 35 29使用根数 31 23 22 5 18 25 35 29长度 15-15.4 15.5-15.9 16-16.4 16.5-16.9 17-17.4 17.5-17.9 18-18.4 18.5-18.9给出根数 30 42 28 42 45 49 50 64使用根数 30 42 28 42 45 49 50 64长度 1
39、9-19.4 19.5-19.9 20-20.4 20.5-20.9 21-21.4 21.5-21.9 22-22.4 22.5-22.9给出根数 52 63 49 35 27 16 12 2使用根数 52 63 49 35 27 16 12 2长度 23-23.4 23.5-23.9 24-24.4 24.5-24.9 25-25.4 25.5-25.9给出根数 0 6 0 0 0 1使用 0 6 0 0 0 1由表十一可知，综合最大捆数模型所得最大捆数为191（ ）捆，比分类最大捆数模型的总和要多 3 捆. 由于篇幅有6843972119iiixyz限，对于在情况最优下，各个 所对应的具
40、体构成一捆产品的方案在此不再列出，,iixyz在附表一、附表二与附表三中可查得相应的值. 在综合最大捆数模型下得到第、类成品的捆数分别为 17、37、147 捆. 我们会发现第类成品的捆数比我们给出的材料所能构成的捆数要多，这就是原料降级使用的结果，因为我们的第类12成品原料有剩余，将其原料降为长度为 6.5-6.9 的原料使用，最终使得我们的第类成品比分类最大捆数模型中多出三捆. 实际上在表十二中长度为 7-7.4 与 7.5-7.9 的原料的使用根数均是降为 6.5-6.9 所使用的根数，在本来的第类成品最大中均未使用. 六 模型的总结与评价本文在合理假设的基础上，首先通过建模得到构成一捆
41、产品全部方案. 由于所得方案的总量过大，对于 30 分钟内得出分配方案无法做到，因此我们对方案进行筛选，舍弃跨越三个长度范围以上的方案，得出构成一捆第类、第类、第类成品的方案分别有 668、439、792 种. 对于筛选后得到的方案相比最初的数据减少了很多，而且在现在高科技飞速发展的年代，对于这个数据在 30 分钟内得出方案完全有可能. 当然也可以在此基础上对方案再进行限制，得到更少的方案，但是这样有可能某些长度范围的原料在任何一种方案中都未使用到，那么此时对于那些未使用到的原料就非常的浪费. 而在我们筛选后得出的方案中未出现这种状况，故筛选是合理的. 在得出构成一捆成品的方案后，我们先建立在
42、原料不可降级使用时的捆数最大模型. 由原料不可分割的假设可知要想总捆数最大，实际上是三类成品在现有原料的条件下各自最大捆数的和，所以我们建立了分别对应三类产品的最大捆数模型，实际上也是含不等式约束的线性规划问题.第、类产品最大捆数模型下，我们得到它们的最大捆数分别为 14 捆、17 捆、137 捆.虽然第类产品的原料全部用完，但第、类产品的原料还存在部分原料的剩余. 还有三类产品分成三个模型，虽然能控制在 30 分钟内，但非常繁琐，而且没有考虑原料降级使用的条件，对原料的浪费较多，存在一些不合理的地方. 由于分类最大捆数模型存在一系列的不足，所以我们又在考虑原料可降级使用的条件下，得出一个全部
43、产品一起考虑的模型，即综合最大捆数模型. 该模型在前面分类最大捆数模型的基础上，加入一些松弛变量或人工变量，并对三类产品最大捆数模型进行综合，得出一个综合整数规划模型，求解得到最大捆数为 191 捆，比分类时多3 捆. 该模型达到最优解时，第类产品的原料全部用完，故满足了最短长度最长的产品对多的条件. 综合最大捆数模型既考虑了原料的降级使用，也能通过一个模型将总的最大捆数得出. 虽然该模型的变量较多，但通过 Lingo 来求解整数规划模型速度很快，通过我们给出的程序，几分钟就得出了结果. 因此对于一般情况的原料，在已得出的构成一捆产品方案的基础上，再应用我们给出的 Lingo 程序，在 30
44、分钟之内一定可以得出最大捆数方案. 虽然最终的模型考虑到了所有的因素，但对于降级的问题我们只是将其降为下一等级长度范围最长的情况，对于是否可以降为其它长度未考虑，因此有待进一步的改进. 参考文献1 胡良剑, 孙晓君. MATLAB 数学实验M. 北京：高等教育出版社, 2006.62 甘应爱等. 运筹学(第三版)M. 北京:清华大学出版社, 2005.63 彭放, 杨瑞琰等. 数学建模方法M. 北京:科学出版社, 20074 韩中庚. 数学建模方法及其应用M. 北京：高等教育出版社, 2005.65 谢金星, 薛毅. 优化建模与 LINDOLINGO 软件M. 北京:清华大学出版社, 2005.713
