1、3.4 随机变量函数的分布,求Y=g(X) 的分布的一般方法的步骤：若Xf(x), - x +,(1) 确定Y的取值范围R(Y)；,（2）求Y的分布函数, 任意y R(Y) ，FY (y) PYyP g(X) y,（3）对分布函数求导，,(4) 最后总结，,3.4.1一维随机变量函数的分布,此法也叫“分布函数法”.,例：设随机变量,求Y=3X+5的概率密度。,解 先求Y=3X+5的分布函数FY(y),Y的概率密度函数为,平方变换公式,定理 设随机变量X有密度函数fX(x)，,若Y=X2，则有,当y0时,当y 0时,证明：对于Y=X2有,例.设XU(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度 （
2、补充直接使用公式）。,当y0时,当y 1时,当0y1时,定理: 设X的概率密度为fX(x),y=g(x) 是x的严格单调函数且其反函数g-1(y)有连续导数，则Y=g(X)也是连续随机变量，其概率密度为,其中，区间（ ）为Y的值域。,单调变换公式,利用上述定理来求密度的方法可以称为公式法：一般地若XfX(x), y=g(x)是严格单调连续可导函数，则,注 1、只有当g(x)是x的单调连续可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数； 2、注意定义域的选择。,其中h(y)为yg(x)的反函数。,例3.4.1：设随机变量XN（，2），Y=10X， 求Y的分布函数。,线性变换公式,定理 设随机变量X有
3、密度函数fX(x)，则,若Y=aX+b，则有,重要结果, 特别：,标准化,解 当XN (0,1)时, Y=X20, 以 记X的密度, 则,即,Y是服从自由度为1的分布, 记作Y 即为 （1/2，1/2）,二维连续型随机变量的函数的分布（不要求）,设二维随机变量(X,Y)f(x,y)，z=g(x,y)是连续函数，则随机变量Z=g(X,Y)的分布函数为,即FZ(z)可利用f(x,y)在平面区域：G=(x,y)| g(x,y)z上的二重积分得到。,Z=g(X,Y)的密度函数为,一般方法(分布函数法) 若（X，Y） f(x，y), - x,y +, Z=g(X,Y)为随机变量X和Y函数，则求Z的密度函数的一般方法为：,(1) 确定Z的取值范围zR(Z)；,（2）求Z的分布函数， 任取zR(Z)，FZ (z) PZzP g(X,Y) z,（3）对分布函数求导，,(4) 最后总结，,例：设随机变量X，Y相互独立，其密度函数分别为,求随机变量Z=2X+Y的分布函数与密度函数。,(1) R(Z)=(0，+);,(2) 任意取z(0，+);,当z/21时，,当z/21时，,(3)对分布函数求导，得,(4)归纳总结，得,推广：,正态分布的可加性,定理3.5.5,3.4.2、随机变量的可加性,
