1、 第 28 章 圆28.1 圆的认识学习目标: 经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程；理解圆的概念，理解点与圆的位置关系学习重点: 圆及其有关概念，点与圆的位置关系学习难点: 用集合的观念描述圆学习方法: 指导探索法 .学习过程:一、例题讲解：【例 1】如图，RtABC 的两条直角边 BC=3，AC=4，斜边 AB 上的高为 CD，若以 C 为圆心，分别以 r1=2cm，r 2=24cm，r 3=3cm 为半径作圆，试判断 D 点与这三个圆的位置关系【例 2】如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法【例 3】 已知：如图， OA、OB、OC 是O 的三条半径，AOC=BOC
2、，M、N 分别为OA、OB 的中点求证：MC=NC【例 4】 设 O 的半径为 2，点 P 到圆心的距离 OP=m，且 m 使关于 x 的方程 2x222x m1=0 有实数根，试确定点 P 的位置【例 5】 城市规划建设中，某超市需要拆迁爆破时，导火索的燃烧速度与每秒09 厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点 120 米以外的安全区域，这个导火索的长度为18 厘米，那么点导火索的人每秒跑 65 米是否安全？【例 6】 由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭近来 A 市气象局测得沙尘暴中心在 A 市正东方向 400km 的 B 处，正在向西北方向移动（如图 3-1-5），
3、距沙尘暴中心 300km 的范围内将受到影响，问 A 市是否会受到这次沙尘暴的影响？教学反思：作业批改：28.1 圆的认识 （第一课时）学习目标: 经历探索圆的对称性及相关性质的过程理解圆的对称性及相关知识理解并掌握垂径定理学习重点: 垂径定理及其应用学习难点: 垂径定理及其应用学习方法: 指导探索与自主探索相结合。学习过程:一、举例：【例 1】判断正误：（1）直径是圆的对称轴（2）平分弦的直径垂直于弦【例 2】若O 的半径为 5，弦 AB 长为 8，求拱高【例 3】如图，O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，已知 AE=6cm，EB=2cm，CEA=30，求CD 的长【例 4】如图，在
4、O 中，弦 AB=8cm，OCAB 于 C，OC=3cm，求O 的半径长【例 5】如图 1，AB 是O 的直径，CD 是弦，AECD，垂足为 E，BFCD，垂足为 F，EC和 DF 相等吗？说明理由如图 2，若直线 EF 平移到与直径 AB 相交于点 P（P 不与 A、B 重合） ，在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？如图 3，当 EFAB 时，情况又怎样？如图 4，CD 为弦，ECCD，FDCD，EC、FD 分别交直径 AB 于 E、F 两点，你能说明 AE 和BF 为什么相等吗？教学反思：作业批改：28.1 圆的认识（第二课时）学习目标:圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关
5、系定理学习重点:圆心角、弧、弦之间关系定理学习难点:“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明学习方法:指导探索法.学习过程:一、例题讲解：【例 1】已知 A,B 是O 上的两点,AOB=120 0,C 是 的中点,试确定四边形 OACB 的形状,并说明理由.【例 2】如图，AB、CD、EF 都是O 的直径，且1=2=3，弦 AC、EB、DF 是否相等？为什么？【例 3】如图，弦 DC、FE 的延长线交于O 外一点 P，直线 PAB 经过圆心 O，请你根据现有圆形，添加一个适当的条件： ，使1=2教学反思：作业批改：28.1 圆的认识二（第一课时）学习目标:（1）
6、理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；（2）继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力；（3）渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法学习重点:圆周角的概念和圆周角定理学习难点:圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想学习方法:指导探索法.学习过程:一、举例：1、已知O 中的弦 AB 长等于半径，求弦 AB 所对的圆周角和圆心角的度数2、如图，OA、OB、OC 都是圆 O 的半径，AOB=2BOC求证：ACB=2BAC3、如图，已知圆心角AOB=100，求圆周角ACB、ADB 的度数？4、一条弦分圆为 1：4 两部分，求
7、这弦所对的圆周角的度数？5、 已 知 AB 为 O 的 直 径 ， AC 和 AD 为 弦 ， AB=2， AC= ， AD=1， 求 CAD 的 度 数 6、如图，A、B、C、D、E 是O 上的五个点，则图中共有 个圆周角，分别是7、如图，已知ABC 是等边三角形，以 BC 为直径的O 交 AB、AC 于 D、E（1）求证：DOE 是等边三角形；（2）如图 3-3-14，若A=60，ABAC，则中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由？8、已知等圆O 1和O 2相交于 A、B 两点，O 1经过 O2，点 C 是 BA2上任一点（不与A、O 2、B 重合），连接 BC 并延
8、长交O 2于 D，连接 AC、AD求证： （1）操作测量：图 a）供操作测量用，测量时可使用刻度尺或圆规将图（a）补充完整，并观察和度量 AC、CD、AD 三条线段的长短，通过观察或度量说出三条线段之间存在怎样的关系？（2）猜想结论（求证部分），并证明你的猜想；（在补充完整的图（a）中进行证明）（3）如图 b），若 C 点是 2BO的中点，AC 与 O1O2相交于 E 点，连接 O1C，O 2C求证：CE2=O1O2EO2教学反思：作业批改：28.1 圆的认识二（第二课时）学习目标: 掌握圆周角定理几个推论的内容,会熟练运用推论解决问题.学习重点:圆周角定理几个推论的应用.学习难点:理解几个推
9、论的”题设” 和”结论” 学习方法:指导探索法.学习过程:一、举例：【例 1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形 3-3-19 所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？【例 2】如图，已知O 中，AB 为直径，AB=10cm，弦 AC=6cm，ACB 的平分线交O于 D，求 BC、AD 和 BD 的长【例 3】如图所示，已知 AB 为O 的直径，AC 为弦，ODBC，交 AC 于 D，BC=4cm（1）求证：ACOD；（2）求 OD 的长；（3）若 2sinA1=0，求O 的直径【例 4】四边形 ABCD 中，ABDC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图 3-3-15，求
10、 BD 的长【例 5】如图 1，AB 是半O 的直径，过 A、B 两点作半O 的弦，当两弦交点恰好落在半O 上 C 点时，则有 ACACBCBC=AB 2（1）如图 2，若两弦交于点 P 在半O 内，则 APACBPBD=AB 2是否成立？请说明理由（2）如图 3，若两弦 AC、BD 的延长线交于 P 点，则 AB2= 参照（1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性教学反思：作业批改：28.1 圆的认识二（2）学习目标:通过经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索，了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心，圆的内接三角形
11、的概念，进一步体会解决数学问题的策略学习重点:1定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆定理中“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有” 2通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了学习难点:分析作圆的方法，实质是设法找圆心过已知点作圆的问题，就是对圆心和半径的探讨学习方法:教师指导学生自主探索交流法.学习过程:一、举例：【例 1】 下面四个命题中真命题的个数是（ ）经过三点一定可以做圆；任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；任意一个圆一定有一个内接三角形
12、，而且只有一个内接三角形；三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【例 2】 在ABC 中，BC=24cm，外心 O 到 BC 的距离为 6cm，求ABC 的外接圆半径【例 3】 如图，点 A、B、C 表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由【例 4】 阅读下面材料：对于平面图形 A，如果存在一个圆，使图形 A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形 A 被这个圆所覆盖如图 3-4-5 中的三角形被一个圆所覆盖，图 3-4-6 中的四边形被两个圆所覆盖回答下列问题
13、：（1）边长为 1cm 的正方形被一个半径为 r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm（2）边长为 1cm 的等边三角形被一个半径为 r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm（3）边长为 2cm，1cm 的矩形被两个半径都为 r 的图所覆盖，r 的最小值是 cm，这两个圆的圆心距是 cm【例 5】 已知 RtABC 的两直角边为 a 和 b，且 a，b 是方程 x23x1=0 的两根，求 RtABC 的外接圆面积【例 6】 如图，有一个圆形铁片，用圆规和直尺将它分成面积相等的两部分教学反思：作业批改：28.2 与圆有关的位置关系（第一课时）学习目标:经历探索直线和圆位置关系的过程，理解直线与圆有相交、
14、相切、相离三种位置关系，了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系。学习重点:直线和圆的三种位置关系，切线的概念和性质学习难点:探索切线的性质学习方法:教师指导学生探索法.学习过程:一、举例：【例 1】在 RtABC 中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，以 C 为圆心，r 为半径的圆与AB 有何位置关系？（1）r=2cm；（2）r=24cm（3）r=3cm【例 2】已知：如图，ABC 中，内切圆 I 和边 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，若FDE=70，求A 的度数【例 3】小红家的锅盖坏了，为了配一个锅盖，需要测量锅的直径（铅沿所形成的圆的直径），而小红家只有一把长
15、20cm 的直尺，根本不够长，怎么办呢？小红想了想，采取了以下办法：如图，首先把锅平放到墙根，锅沿刚好靠到两墙，用直尺紧贴墙面量得 MA的长，即可求出锅的直径请你利用图说明她这样做的理由【例 4】如图 3-5-9，已知AB，求作：（1）确定AB的圆心；（ 2）过点 A 且与O相切的直线（注：作图要求利用直尺和圆规，不写作法，但要求保留作图痕迹）【例 5】 东海某小岛上有一灯塔 A，已知 A 塔附近方圆 25 海里范围内有暗礁，我110 舰在 O 点处测得 A 塔在其北偏西 60方向，向正西方向航行 20 海里到达 B 处，测得A 在其西北方向如果该舰继续航行，是否有触礁的危险？请说明理由（提示
16、 2=1 414， 3=1732）教学反思：作业批改：28.2 与圆有关的位置关系（第二课时）学习目标:能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线，会作三角形的内切圆学习重点:切线的判定和画法学习难点:探索圆的切线的判定方法，作三角形内切圆的方法学习方法:师生共同探索法.学习过程:一、举例：【例 1】 如图，已知O 中，AB 是直径，过 B 点作O 的切线 BC，连结 CO若ADOC 交O 于 D求证：CD 是O 的切线【例 2】 已知：如图，同心圆 O，大圆的弦 AB=CD，且 AB 是小圆的切线，切点为E求证：CD 是小圆的切线【例 3】 如图，在 RtABC 中，C=90，AC
17、=5，BC=12，O 的半径为 3（1）当圆心 O 与 C 重合时，O 与 AB 的位置关系怎样？（2）若点 O 沿 CA 移动时，当 OC 为多少时？C 与 AB 相切？【例 4】 如图，直角梯形 ABCD 中，A=B=90，ADBC，E 为 AB 上一点，DE 平分ADC，CE 平分BCD，以 AB 为直径的圆与边 CD 有怎样的位置关系？【例 5】 有一块锐角三角形木板，现在要用它截成一个最大面积的圆形木板，问怎样才能使圆形木板面积最大？【例 6】 设直线 到O 的圆心的距离为 d，半径为 R，并使 x22 dxR=0，试由关于 x 的一元二次方程根的情况讨论 与O 的位置关系【例 7】
18、 如图 3-5-15，AB 是O 直径，O 过 AC 的中点 D，DEBC，垂足为 E（1）由这些条件，你能得出哪些结论？（要求：不准标其他字母，找结论过程中所连的辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出 4 个结论即可）（2）若ABC 为直角，其他条件不变，除上述结论外你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形（要求：写出 6 个结论即可，其他要求同（1）教学反思：作业批改：28.2 与圆有关的位置关系（三）学习目标:经历探索两个圆位置关系的过程，理解圆与圆之间的位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距 d，半径 R 和 r 的数量关系的联系学习重点:两圆的位置关系，相切两圆的性质两圆的五种位
19、置关系的描述性定义，要注意数学语言的严谨性和准确性，必须注意讲清关键性词语（如谁在谁的外部、内部、惟一公共点等）圆与圆的位置关系也可以与点和圆、直线和圆的位置关系类比记忆，每种位置关系可归纳为相离、相交、相切三类相切两圆的性质是由圆的对称性决定的，两个圆组成的图形也是轴对称的，对称轴是连心线学习难点:相切两圆位置关系的性质的理解学习方法:教师讲解与学生合作交流探索法.学习过程:一、例题讲解：【例 1】 已知A、B 相切，圆心距为 10cm，其中A 的半径为 4cm，求B 的半径【例 2】 定圆 O 的半径是 4cm，动圆 P 的半径是 1cm当两圆相切时，点 P 与点 O 的距离是多少？点 P
20、 可以在什么样的线上移动？【例 3】 已知两个圆互相内切，圆心距是 2cm，如果一个圆的半径是 3cm，那么另一个圆的半径是多少？【例 4】 已知O 1和O 2的半径分别为 1 和 5，圆心距为3，则两圆的位置关系是（ ）A相交 B内含 C内切 D外切【例 5】 如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是 1m的水泥管，两两相切地堆放在一起，其最高点到地面的距离是 【例 6】 一个等腰梯形的高恰好等于这个梯形的中位线若分别以这个梯形的上底和下底为直径作圆，这两个圆的位置关系是（ ）A相离 B相交 C外切 D内切【例 7】 两圆的圆心坐标分别是（ 3，0）和（0，1），它们的半径分别是 3 和5
21、，则这两个圆的位置关系是（ ）A相离 B相交 C外切 D内切【例 8】 两枚如图 3-6-4 同样大小的硬币，其中一个固定，另一个沿其周围滚动，滚动时两枚硬币总是保持有一点相接触（相外切），当滚动的硬币沿固定的硬币周围滚动一圈，回到原来的位置时，滚动的那个硬币自转的周数是多少？教学反思：作业批改：28.3 圆中的计算计算问题（一）学习目标:经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，了解弧长计算公式及扇形面积的计算公式，并会应用公式解决问题学习重点:弧长计算公式及理解，弧长公式 = 180Rn，其中 R 为圆的半径，n 为圆弧所对的圆心角的度数，不带单位由于整个圆周可看作 360的弧，而 3
22、60的圆心角所对的弧长为圆周长 C=2R，所以 1的圆心角所对的弧长是 362R，即 180，可得半径为 R 的圆中，n的圆心角所对的弧长 = 180n圆心角是 1的扇形的面积等于圆面积的 36，所以圆心角是 n的扇形面积是 S 扇形= 360nR 2要注意扇形面积公式与弧长公式的区别与联系（扇形面积公式中半径 R 带平方，分母为 360；而弧长公式中半径 R 不带平方，分母是 180）已知 S 扇形 、n、R 四量中任意两个量，都可以求出另外两个量扇形面积公式 S 扇 = 21R，与三角形的面积公式有些类似只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看作底，R 看作高就比较容易记了学习难点:利用弧长
23、公式时应注意的问题及扇形面积公式的灵活运用学习方法:学生互相交流探索法.学习过程:一、例题讲解：【例 1】 一圆弧的圆心角为 300，它所对的弧长等于半径为 6cm 的圆的周长，求该圆弧所在圆的半径【 例 2】 如 图 ， 在 半 径 为 3 的 O 和 半 径 为 1 的 O 中 ， 它 们 外 切 于B， AOB=40AOCO，求曲线 ABC 的长【例 3】 扇形面积为 300，圆心角为 30，求扇形半径【例 4】 如图，正三角形 ABC 内接于O，边长为 4cm，求图中阴影部分的面积【例 5】 如图，等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB=4，O 是 AB 的中点，以 O 为圆心的半圆分别
24、与两直角边相切于点 D、E，求图中阴影部分的面积【例 6】 半径为 3cm，圆心角为 120的扇形的面积为（ ）A6cm 2 B5cm 2 C4cm 2 D3cm 2【例 7】 如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为 2，1，AOB=120，则阴影部分面积是（ ）A4 B2 C 34 D【例 8】 如图，已知O 的直径 BD=6，AE 与O 相切于E 点，过 B 点作 BCAE，垂足为 C，连接 BE、DE（1）求证：1=2；（2）若 BC=45，求图中阴影部分的面积（结果可保留 与根号）【例 9】 如图， ABC 是正三角形，曲线 CDEF叫做“正三角形的渐开线”，其中CD、 E、 F的圆心依
25、次按 A、B、C 循环，它们依次相连接如果 AB=1，求曲线 CDEF的长【例 10】 如图，A、B、C、D、E 相互外离，它们的半径都是 1，顺次连接五个圆心得五边形 ABCDE，求图中五个扇形的面积之和（阴影部分）教学反思：作业批改：28.3 圆中的计算计算问题（二）学习目标:经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题学习重点:圆锥的侧面展开图及侧面积的计算圆锥的侧面展开图是扇形，其半径等于母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长设圆锥的底面半径为 r，母线长为 ，则它的侧面积：S 侧=r，S 全 =S 侧 S 底 =r（r）学习难点:对圆锥的理解认识圆锥是一
26、个底面和一个侧面围成的，它可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在直线旋转而成的图形学习方法:观察想象实践总结法.学习过程:一、例题讲解：【例 1】 已知圆锥的底面积为 4cm 2，母线长为 3cm，求它的侧面展开图的圆心角【例 2】 若圆锥的底面直线为 6cm，母线长为 5cm，则它的侧面积为 cm（结果保留 ）【例 3】 在 RtABC 中，已知 AB=6，AC=8，A=90如果把 RtABC 绕直线 AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为 S1；把 RtABC 绕直线 AB 旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为 S2那么 S1：S 2等于（ ）A2：3 B3：4 C4：9 D5：12【例 4】 圆锥的侧面积是 18，它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的高和锥角【例 5】 一个圆锥的高为 3 cm，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥母线与底面半径的比；（2）锥角的大小；（3）圆锥的全面积教学反思：作业批改：
