1、2-7. 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型。(1) (2) 2635yyu 23yu(3) 42解 (1) 由所求的系统输入输出方程,有a1=2, a2=6, a3=3, b=5当选择输出 y 及其 1 阶、2 阶导数为状态变量时,可得状态空间模型为 0013625xxuy(2) 先将方程变换成 y 的首项的系数为 1,对方程两边除以 2，得31yu由所求的系统输入输出方程,有a1=0, a2=0, a3=-3/2, b0=1/2, b1=0, b2=0, b3=-1/2, 故由式(2-17)可得 0110223130/4baa因此,当选择状态变量 102132012xyuyuxyu时
2、,可写出状态空间模型为0103/2/4uxxy(3) 由所求的系统输入输出方程,有a1=4, a2=5, a3=2, b0=2, b1=1, b2=1, b3=2, 故由式(2-17)可得 0110223130794baa因此,当选择状态变量 10213207219xyuyuu时,可写出状态空间模型为 170192543uxxy32-8 将下列传递函数转换为状态空间模型(1) (2) 231840()6sG 21()56sG(3) 2(5)s解 (1) 由系统特征多项式 ,可求得系统的极点为6123sss1=-1, s2=-2, s3=-3于是有 321)(sksksG其中, 112233()
3、ssk故当选择状态变量为 G(s)分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出,则可得状态空间模型为 10123xxuy(2) 对本题，先用长除法求出严格真有理函数如下 22135() 1()566ssGGs由系统特征多项式 ,可求得系统的极点为256ss1=-2, s2=-3于是有 12()kGss其中, 1223()4sk故当选择状态变量为 G(s)分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出,则可得状态空间模型为201314xxuy(3) 由系统特征多项式 ,可求得系统的极点为2(3)ss1=s2=-3, s3=-1于是有 31121)()sksskG其中 212 2311()3,d)3()ssksG。
4、故当选择状态变量为 G(s)分式串-并联分解的各个一阶惯性环节的输出,可得状态空间模型为 031xxuy52-9 试求题图 2-9 所示系统的模拟结构图,并建立其状态空间模型。 +U(s)1KspsKp1sJ12sJKbsn )(+_题图 2-9解： 系统方框图变换成：upK1+_spK11sKps1Jns2JKbs1x1x2x3x45 _x6 _则状态空间表达式 中：xABuyCD, 0010/ / 000/2 1111 11JkJkJkAb npp pp 00/1pkB, 0CD2-10 给定题图 2-10 所示的一个系统方框图,输入变量和输出变量分别为 ,试列出系统的一个状态yu和空间模
5、型。题图 2-10解：首先,定出状态方程。对此,需将给定方块图化为图示规范方块图,并按图中所示把每个一阶环节的输出取为状态变量 。进而,利用每个环节的因果关系 ,可以导出变换域变量关系式：1234,x2305susxs21 4x s323sxsx4x基此,可以导出变换域状态变量方程： 11235010ssxsu2 42x x3123ssxs4234x将上述关系式组取拉普拉斯反变换,并运用 ,就定义此方块图的状态变量方程：1iiLsx2321434345010uxx再将上述方程组表为向量方程,得到此方块图的状态方程：71 12 23 34 4 50 0- 1- xxu进而,定出输出方程。对此,由
6、方块图中相应环节显示的因果关系,可直接导出此方块图的输出方程： 12340 1 xy2-11 已知系统的状态空间模型为 3010152560xxuy现用 =Px 进行状态变换,其变换矩阵为 1023P试写出状态变换后的状态方程和输出方程。解 本题的线性变换为 =Px ，因此相应的各个矩阵的变换公式为11,ABPCDP 的逆矩阵为 10/213因此有 11300254/415/60APBPC 故系统在新的状态变量 下的状态空间模型为x310254/05/61xuy92-12 求下列各方阵 A 的特征值、特征向量和广义特征向量。(1) (2) 1302。 12A(3) (4) 1254A 0182
7、6解 (1) 由特征方程| I-A|=0 可求得系统的特征值为 1=1, 2=2计算对应于 1=1 的特征向量。按定义有( 1I-A)v1=0将 A、 1和 v1代入上式,有 12030v该方程组有无穷组解。由于 n-rank(1I-A)=1,即特征向量解空间为 1 维,其通解式为TT11v令 v11=1, 可得如下独立的特征向量 T10再计算对应于重特征值 2= 2 的特征向量。按定义有( 2I-A)v2=0将 A、 2和 v2代入上式,有 21300v由于 n-rank(2I-A)=1,该方程组有特征向量解空间为 1 维,其通解式为TT21223v因此,令 v22=1,解之得 T2(2)
8、由特征方程| I-A|=0 可求得系统的特征值为 1= 2=-1, 3=5即-1 为系统的二重特征值,其代数重数为 2。计算对应于二重特征值-1 的特征向量。按定义有( 1I-A)v1=0将 A、 1和 v1代入上式,有 12320v由于 n-rank(1I-A)=2,该方程组有特征向量解空间为 2 维,故特征向量解空间为 2 维,独立的特征向量数为 2。解该方程,可得特征向量的通解式为 TT11231212()vvvv因此,令 v11=1,v12=0 或 1,解之得和 T10T2即重特征值 2 有两个线性独立的特征向量,故该重特征值的几何重数亦为 2。 再计算对应于重特征值 3=5 的特征向
9、量。按定义有( 3I-A)v2=0将 A、 3和 v3代入上式,有 312420v该方程组有无穷组解。由于 n-rank(1I-A)=1,即特征向量解空间为 1 维,其通解式为TT332313vvv令 v31=1, 可得如下独立的特征向量 T1(4) 由特征方程| I-A|=0 可求得系统的特征值为 1= 2=1, 3=2由于矩阵为友矩阵，因此对应于 1= 2=1 的特征向量和广义特征向量分别为11TT21, 1,2 100v对应于 3=2 的特征向量和广义特征向量分别为 TT233114v(4) 由特征方程| I-A|=0 可求得系统的特征值为 1= 2= 3=-2由于矩阵为友矩阵，因此对应
10、于 1= 2= 3=-2 的特征向量和广义特征向量分别为 TT2, 11,2TT,3 400v2-13 试将下列状态方程变换为约旦规范形(对角线规范形)(1) (2) 21702312uyxx82343157uxx解 (1) 先求 A 的特征值。由特征方程| I-A|=0 可求得系统的特征值为 1=-1, 2=1, 3=2求特征值所对应的状态向量。由前述方法可求得特征值 1, 2,和 3所对应的特征向量分别为p1=0 1 -1 , p2=1 0 1 , p3=-1 0 0取系统的特征向量组成线性变换矩阵 P 并求逆矩阵 P-1,即有101,0计算 、 和ABC1 102,521APBPC 故系
11、统在新的状态变量 下的状态空间模型为x02152xxuy(2) 先求 A 的特征值。由特征方程| I-A|=0 可求得系统的特征值为 1=-1, 2=1, 3=2求特征值所对应的状态向量。由前述方法可求得特征值 1, 2,和 3所对应的特征向量分别为13p1=-4 -3 -2 , p2=3 2 1 , p3=2 1 1取系统的特征向量组成线性变换矩阵 P 并求逆矩阵 P-1,即有1432,021计算 、AB1 10632, 237PABP 故系统在新的状态变量 下的状态空间模型为x106321237xu2-14 状态空间模型为 010232uyxx(1) 画出其模拟结构图;(2) 求系统的传递
12、函数。解：(i) 系统的模拟结构图如下：u yx1x2s1-3s-s1-3x3-2(ii) 传递函数 由下式给出：()GsDBAIC1)对于该问题,矩阵 A,B,C 和 D 为：, , , 3102A2110CD因此： 213100)(sssG6723ss152-15 已知两系统的传递函数阵 分别为12()Ws。, 1()02ss2134()0sW试求两子系统串联联结和并联联结时,系统的传递函数阵。解： 串联联结时,21()()Wss23121469754210432ssss并联联结时,12()()Wss211863404102sss2-16 给定题图 2-16 所示的动态输出反馈系统,其中,
13、 1 211 34 , 0 0ssGG试定出反馈系统的传递函数矩阵 。s_sG1s2sysu+题图 2-16解：计算所依据的关系式为 sGsIsGsIsG121121 或采用前一个计算公式。对此,先行计算 21s 1s 4375 3 21 0 14 3212 ssss 21s3 1s 475 342212GsI12212 1s3 s 475 34 sI17 416237104 416237102 5 424 2332 sssss ssss基此,求得 416237104 4623710 95 1 416237104 16237042 5 12 0 1 24 33 424 2332121 ssss
14、 ssss sssssssGIG2-17 将下列系统输入输出方程变换为状态空间模型。(1) (2)(1)()ykykuk(2) 0.6(12()yuk解： (1) 可知： 1021021 bba故可得：101021210 ab因此,当选择状态变量如下：)()()()()01201 kyukkyxy可写出如下线性离散系统的状态空间表达式:)()(2)1(x0kky(2) (2)(1).6()1)2(yuk解： 可知： 021 bba故可得：106.1210210 ab因此,当选择状态变量如下：)()()()1()0201 kuykukyxy可写出如下线性离散系统的状态空间表达式: )(1)(6.0)(x19)(01)(kkxy2-18 求下列系统状态空间模型对应的 z 域传递函数 G(z)(1) (2) 201(1)()34kkuyxx0101)()().6(2()kkuyxx解： (1) 由公式可得： 651213043021)()11zzzDHGICz(2) 00(1)()().1xkxku2()y解：由公式可得： 16.02106)160(.84.12)() 221 zzzzDHGICz
