1、- 1 -第一章 整式的运算某地区在推耕还林期间，有一块原长为 m 米、宽为 a 米的长方形林区增长了 n 米，加宽了 b 米。用不同的方法表示林区现在的面积，便可得到一个等式：在七年级上册，我们已学过用字母表示数，并了解了什么是代数式。在这一章里，我们将继续学习代数式的有关概念，并对代数式中的整式进行四则运算。整式的运算并不复杂，整式的加减其实就是合并同类项，这你不陌生吧，整式的乘除中单项式的乘法是基础。因此，掌握并熟练运用它是整式乘除运算的关键。在学习本章时，我们要能够自己推导运算性质，要注意掌握各种运算之间的联系和区别，要善于从一般问题中发现特殊规律。 随着学习的深入，你会越来越深刻地体
2、会到数学的魅力。 第一节 整式走进新课程教材讲解在现实情景中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感，通过具体的例子确实- 2 -理解单项式、多项式、整式的概念，从而能准确确定一个单项式的次数，根据实际问题列出代数式。在具体实例归纳概念的学习过程中，使学生感受到学习的快乐，进一步发展符号感，培养感知能力，锻炼学生细心、探究的能力。课题引入可以这样,引导回顾搭建桥梁：“在上册中学习了用字母表示数，代数式等内容。我们常说学以致用，那么，我们学这些又有什么作用呢？”本节课通过创设一定的问题情景，回忆复习字母表示数的知识，列代数式，例如“求窗户装饰物的面积”等，教师还可以选取学生感兴趣的题目，选出 5
3、6 道，通过小组讨论、交流，比较所列出的代数式，找出它们的区别与联系，从而引出单项式、多项式以及整式的概念，进而引出整式的次数。上学期已经学习了字母表示数，代数式等内容，本节主要讨论的是整式的有关概念。教材没有直接给出整式的概念，而是给出了一个为娱乐场所设计方案的情景，目的是使学生了解整式的实际背景，进一步理解字母表示数的意义，认识代数式的表示作用。“读一读”的目的是进一步丰富整式的实际背景，使学生再一次体会代数式的表示作用，并由此引出单项式、多项式及整式的概念。对于概念的教学，学生只要能够识别单项式和多项式，并且能求出他们的次数即可。 “议一议”是对前面情境的进一步讨论，学生将初步体会整式运
4、算对解决问题的作用。同时回顾一些学过的运算法则，活动中要求学生能根据幂的意义和乘法运算律解决这个问题。第二问的设计方案的处理，教师应鼓励学生充分发挥想象和创造，设计出符合要求而且美观的方案，同时叙述自己的设计思路，并与同伴进行交流。学生的设计只要符合要求，教师都应鼓励。对于有特色的设计，教师应注意记录。 “读一读 ”中皮克公式是一个非常有趣的结论，教师可以根据情况，留为课下作业，鼓励学生探索教科书中给出的点阵中多边形面积的计算方法，并运用皮克公式计算其他一些多边形的面积。本节课的重点是单项式与多项式的区别，有一点教师需要强调“单独一个数字或单独一个字母也叫做单项式”。求整式的次数是本节教学中的
5、一个难点。这一点有少部分学生容易忽视，例如：“求 23x2y3 的次数”，有较少部分学生容易求得 “3+2+3=8”，教师应该强调只有字母因数的指数对单项式的次数起作用，数字因数的指数对单项式的次数不起- 3 -作用。教师可以举这样一个生动形象的例子来解释， “有三只兔子和两只鸡放在同一个笼子里，现在问你这个笼子里共有几只家禽腿？”虽然兔子的腿比鸡的腿要多，但是，兔子不是家禽，不能算进去。这样就容易理解了。 课程资源为了突出重点，建议设计以下教学活动，以供参考。用多媒体展示鲜花(百合花)彩图。(假如没有多媒体设施，可以直接提问学生各种正鲜花的寓意)师：我们看一下这束美丽鲜花，哪位同学可以告诉我
6、这是什么花？这种花代表什么？也就是有什么寓意？(展示这幅图后，学生的兴趣很高，这样，就起到了激发学生兴趣的作用)师：知道这些“鲜花寓意” 后，不要忘了给自己的长辈以及亲朋好友在恰当的节日送恰当的鲜花啊！你们看小明和他爸爸是怎样送花的：小明想春节送给每位老师一束康乃馨，他想了想，需要送给 9 位老师，而小明的爸爸要送给奶奶和爷爷各一束，送给妈妈一束玫瑰花，送给三位很不错的战友一束百合花：每束康乃馨的价格为 a 元，每束玫瑰花为 b 元，每束百合花的价格为 c 元。你能帮助小明计算小明和爸爸各需要多少钱？一共需要多少钱吗？学生用代数式将结果表达出来后，再找出 2 个代数式，并把它们写在一起，进行分
7、析，分类。从而引出单项式、多项式以及整式的概念，然后通过练习强化概念间的区别。师生互动室案例鉴赏1、单项式的概念例 1 将下列各项中的单项式填入单项式集合中：， ， ， ， ， x259yxbca2c13， ， y14t0- 4 -单项式集合 精析:单项式概念有两个方面：一是指含有数字与字母乘积的代数式，如 ，bca2；二是指单独的一个字母或一个数也是单项式，如 ， 。由概念知单项式中可xy2 x25含有乘法和乘方运算，不能含有加减运算，如 ， 都不是单项式。另外9y14单项式可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算，如 ， 。所以，单cab3t0项式集合是 ， ， ， x25bcaxy2
8、、单项式的次数和系数例 2 单项式 的系数是 ，次数是 。3510单项式 的系数是 ， 。xy2精析： 单项式的系数指它的数字因数，次数是指所有字母的指数的和，另外 是常数。因此。单项式 的系数是 ，次数是 4；单项式 的系数 ，次数3510ab5103xy22是 23、多项式及其次数例 3 下列代数式中那些是多项式，它们的次数分别是多少？ 25xy1z432yx精析：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数。是 、 两个单项式的和，它们的次数分别是 、 。2 0因此，这个多项式的次数是 。是 、 、 三个单项式的和，它们的次数3xyz1分别是 、 、 ，因此，这个多项式的次数是 。 是
9、 、 、 三个21022yx34- 5 -单项式的和，它们的次数分别是 、 、 。因此多项式的次数是 。4104例 4 根据题意，列出整式:随着计算机技术迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑按原价降低 元后，又m降价 ，现售价为 元，那么该电脑的原售价为（ ） 。%20nA. 元 B. 元)54(m)45(mnC. 元 D. 元精析：第一次降价后的售价= ，即原售价 = ，%201%201n所以原售价= 元，故选 B。)45(mn数学天地好奇是数学教育的宝贵财富1、一个重要的评估据教育进展国际评估组织对世界 21 个国家的调查，中国孩子的计算能力是世界上最强的。调查同时显示，中国的中学生在学
10、校用来做数学题的时间是每周 307 分钟，而其他国家孩子学数学的时间仅为 217 分钟。令人痛心的是，中国学生为这个 “计算能力世界第一”付出的不仅仅是时间，而且还牺牲了孩子的创造力。其创造力在所有参加调查的国家中排名倒数第五。中小学生中，认为自己有好奇心和想像力的只占 4.7%，而希望培养想像力和创造力的只有 14.9%。2、一个重要的案例近年来，世界数学领域有一个很大的成就，就是英国人怀尔斯证明了法国数学家费马提出的 360 多年没有人能证明的“费马大定理”。什么是“费马大定理”呢？我们都知道商高定理，就是直角三角形两边平方的和等于斜边的平方。360 年前，法国的数学家费马就提出过这样一个
11、疑问，平方成立，那么 3 次方成立不成立，4 次方成立不成立他认为，在 n 是大于 2 的自然数时没有正整数解。这激起好多人去证明。 360 多年来，费马问题有几千种“证明” ，但没有一种经得起推敲。这是数学上的难题。到 1953 年，英国的怀尔斯诞生了， 。在他 10 岁时，老师教他商高定理的时候，跟他讲还有一个 “费马大定理”，说- 6 -这是一个世界数学难题。在老师的影响下，这个 10 岁小孩就对这个问题产生了兴趣，从此非常喜欢学数学，研究数学，最终成了一个数学家。1985 年他做了美国普林斯顿大学的教授。在此后七、八年的时间里，他没有一篇文章发表，什么会议上都看不到他，大家都说他年轻时
12、脑袋用完了，他消失了。但他若干年后，终于解决了“费马大定理”。3、一个重要的结论好奇心是数学教育的宝贵财富这个故事给我们很大的启发，让我们感到学生人无全才，人人有才。学生的头脑不是知识的容器，而是智慧的火种。每个学生的火种是不一样的，教师、家长、同学有义务来把这个火种点燃。怀尔斯的火种就被老师点燃了。所以我们感到有这样能唤起学生好奇心的老师是非常重要的。复旦大学原校长、教授杨福家曾经给上海 600 名教师作报告。他问，在座的有没有知道商高定理的？大家都举手。他又问，有谁知道“费马大定理”，11 个人举手。他再问，谁在讲商高定理时告诉了学生“费马大定理”，而这个大定理还没有解决，是世界难题，只有
13、一个人举手。学生在年轻时产生的好奇心、兴趣对他的一生都是有用的。我们去看看那些有发明创造的人，他们年轻时代都有一个故事。而我们现在的考试制度，使得我们的一些年轻人整天在被动学习、做题训练中度过。这种状况亟待改变。我们应该让学生在年轻时生活得愉快，有浓厚的兴趣，充满好奇心。 但同时，学生有兴趣地大量做题也不能被简单地否定。比如在中学里，一个学生一个暑假很有兴趣地做了 1000 道数学题，虽然没有去玩，但这对这个学生很有帮助。从此这个学生就不怕数学了，同时这个学生的逻辑思维也得到了训练，显然，这是终身受益的。现在的问题是，受高考制度的影响，学生的学习变成被动的、没有兴趣的解题训练，这就抹杀了年轻一
14、代的好奇心和兴趣。杨福家教授认为，我们的教育缺少对好奇心的引发与引导，而西方发达国家在这方面要比我们好得多。在英国的伊顿公学是一个教师对一个学生。牛津大学、剑桥大学在上个世纪就实施了导师制。杨福家教授很欣赏他们的一句话：导师抽烟(杨福家教授是不赞成导师抽烟的)，不断地把烟往学生身上喷，一直喷到把他们心中的火种点燃。因此，我们说，好奇心是数学教育的宝贵财富。- 7 -活动教室活动一：一块长方形纸板，长为 a 厘米，宽为 b 厘米，在它的四个角各剪去一个边长为 c 厘米的小正方形，然后折成无盖的长方体盒子，请动手制作一下，求出它的表面积。在轻松愉快的活动中，体会多项式的应用。培养学生的好奇心，增强
15、学好数学的信心，进一步体会数学的乐趣。 活动二：天安门广场有一个圆形花坛，在花坛内是一个圆形的小喷水池。如果花坛的半径是a 米，小喷水池的半径比花坛的半径少 20 米，问花坛的外围周长与喷水池的周长一共多少米？由于圆形花坛的半径是 a 米，圆形喷水池的半径是 米，由圆的周长计算公)20(a式，得花坛的外围周长是 米，喷水池的周长是 米，则花坛的外围周长和2喷水池的周长一共是 + 米。这里 + 属于代数式中的整)0()(式。如果有图片，让学生置身于优美的环境中，犹如身临其境，有点燃思维火花之功效。活动三 每个同学写出 6 个整式，并要求既有单项式，又有多项式，然后交给同桌的同学，完成以下任务：
16、找出单项时，多项式。 是单项式的写出系数与次数，是多项式的写出是几次几项式，最高次数是什么？互相讨论对方的答案是否正确。设计这样的开放性活动，学生兴趣很高，积极性十分高涨。在轻松愉悦的氛围中，获得知识巩固知识。- 8 -课本习题金钥匙 1. 单项式有一个，是 7h,次数是 1。其余的都是多项式，分别是 4，2，3。2.有 3 项，系数分别是 ，1，2 ；次数分别是 1，3，0。有 3 项，系数分别是 1，2，3；次数分别是 3，4，2。3.xy 2 3a+b学生自习室放飞思维一、选择题1.下列各式中，单项式的个数是（ ）， ， ， ， m3a213m37.2yA.1 个 B.2 个 C.3 个
17、 D.4 个2.下列代数式是单项式的是 （ ）A. B. C. D. ba231xxy3.在整式 ， ， ， ， ， 中，单项式的个数为 .0y3a3273b（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4.下列说法中正确的是 （ ）A.单项式 的系数是 2，次数是 2; B.单项式 的系数是 0，次数是 0。32yxxC. 是二次单项式。 D.单项式 的系数是 ，次数是 3。21432y4二、填空：5.单项式 的系数是 ，次数是 。43yx- 9 -6.单项式 的系数是 ，次数是 。y27.多项式 是 次 项式，最高次项的系数是 ，常数103862yxx项是 。8.在代数式 ： ， ， ， ， ， ， ， ， 21xab43nm201ba21x2中，单项式有 个，多项式有 个，整式有 个。三、解答题：9.下列多项式分别有几项？每项的系数，次数是多少？多项式次数是多少？ xyx6425 223yx 43272yxyx10.已知多项式 1221012 baba请你按照上述规律写出多项式的第五项，并指出它的系数和次数。这个多项式是几次几项式？11.已知多项式 是五次四项式，单项式 的次数与341251xyxm mnyx625这个多项式的次数相同，求 的值。2n
