1、复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。,复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展 。,第一章 复数与复变函数,1.1复数及其表示法,一对有序实数（ ）构成一个复数，记为 .,自变量为复数的函数就是复变函数, 它是本课程的研究对象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基础上作简要的复习和补充; 然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念, 为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础.,x, y 分别称为 Z 的实部和虚部, 记作x=Re(Z),
2、 y=Im(Z), .,称为 Z 的共轭复数。,与实数不同, 一般说来, 任意两个复数不能比较大小.,两个复数相等,他们的实部和虚部都相等,特别地，,1.代数形式 :,复数的表示法,1)点表示,2) 向量表示,-复数z的辐角(argument),记作Arg z=q .,任何一个复数z0有无穷多个幅角,将满足,-p q0p 的q0 称为Arg z的主值, 记作q0=arg z .则,Arg z=q0+2kp =arg z +2kp (k为任意整数),0,x,y,x,y,q,z=x+iy,|z|=r,-复数z的模,当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确
3、定:,说明：当 z 在第二象限时，,2.指数形式与三角形式,利用直角坐标与极坐标的关系: x = r cosq, y = r sinq, 可以将z表示成三角表示式:,利用欧拉公式 e iq = cosq + i sinq 得指数表示式:,例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.,解,1),z在第三象限, 因此,因此,2) 显然, r = | z | = 1, 又,因此,练习：,写出 的辐角和它的指数形式。,解：,1.2复数复数的运算,设,z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3) z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3
4、)=z1z2+z1z3 .,复数运算满足交换律,结合律和分配律:,1 . 四则运算,加减法与平行四边形 法则的几何意义:,乘、除法的几何意义:,定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和.,等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 的意思是等式的两边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然.,几何上 z1z2 相当于将 z2 的模扩大 |z1| 倍并旋转一个角度Arg z1 .,0,1,例2：设,求：,解：,若取,则,若取,则,;,按照乘积的定义, 当z10时, 有,定理2 两个
5、复数的商的模等于它们的模的商, 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.,2 . 乘方与开方运算,1）乘方,De Moivre 公式：,2 ）开方:,若满足，,则称w为z的n次方根，,记为,于是,推得,从而,几何解释：z1/n的n个值就是以原点为中心, r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点。,例2 求,解 因为,所以,即,四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.,1.3复数形式的代数方程与平面几何图形,很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表 示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.,例3 将通过两点z1=x1+iy1与z
6、2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表示. 解 通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为,因此, 它的复数形式的参数方程为,z=z1+t(z2-z1). (-t+),由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成 z=z1+t(z2-z1). (0t1),取,得知线段,的中点为,例4 求下列方程所表示的曲线:,解：,设 z = x + i y , 方程变为,几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直平分线, 方程为 y = - x , 也可用代数的方法求出。,O,x,y,-2,2i,y=-x,设 z =
7、x + i y , 那末,可得所求曲线的方程为 y = -3 .,O,y,x,y=-3,1.4 复数域的几何模型-复球面,0,N,x1,x2,x3,o,z(x,y),x,y,P(x1,x2,x3),x1,x2,x3,N(0,0,2r),除了复数的平面表示方法外, 还可以用球面上的点来表示复数.,对复平面内任一点z, 用直线将z与N相连, 与球面相交于P点, 则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系, 而N点本身可代表无穷远点, 记作. 这样的球面称作复球面.,扩充复数域-引进一个“新”的数:,扩充复平面-引进一个“理想点”: 无穷远点 .,约定:, 1.4 区域,1. 区域的
8、概念,平面上以 z0为中心, d (任意的正数)为半径的圆: |z-z0|d 内部的点的集合称为z0的邻域, 而称由不等式 0|z-z0|d 所确定的点集为z0的去心邻域.,包括无穷远点自身在内且满足 |z|M 的所有点的集合, 其中实数 M0 , 称为无穷远点的邻域. 即它是圆 |z|=M 的外部且包含无穷远点本身. 不包括无穷远点本身的仅满足 |z|M 的所有点称为无穷远点的去心邻域, 也记作 M|z|.,设G为一平面点集, z0为G中任意一点. 如果存在z0的一个邻域, 该邻域内的所有点都属于G, 则称z0为G的内点. 如果G内的每个点都是它的内点, 则称G为开集,平面点集D称为一个区域
9、, 如果它满足下列两个条件: 1) D是一个开集; 2) D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来.,设D为复平面内的一个区域, 如果点P不属于D, 但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点, 这样的点P称为D的边界点. D的所有边界点组成D的边界. 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.,区域 D与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作D. 如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面, 即存在正数 M, 使区域 D的每个点z都满足 |z|M, 则称 D为有界的, 否则称为无界的.,2. 单连通域与多连通域 平面曲线 在数学上, 经常用参数方程来表示各
10、种平面曲线. 如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数, 则方程组 x=x(t), y=y(t), (atb) 代表一条平面曲线, 称为连续曲线. 如果令 z(t)=x(t)+iy(t) 则此曲线可用一个方程 z=z(t) (atb) 来代表. 这就是平面曲线的复数表示式.,设C: z=z(t) (atb)为一条连续曲线, z(a)与z(b)分别为C的起点与终点. 对于满足 at1b, at2b 的 t1与 t2, 当 t1t2而有 z(t1)=z(t2) 时, 点 z(t1)称为曲线 C的重点. 没有重点的连续曲线 C, 称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线. 如果简单曲线 C的起点与
11、终点闭合, 即 z(a)=z(b) , 则曲线 C 称为简单闭曲线.,任意一条简单闭曲线 C 把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集, 其中除去 C 外, 一个是有界区域, 称为 C 的内部, 另一个是无界区域, 称为 C 的外部, C 为它们的公共边界. 简单闭曲线的这一性质, 其几何直观意义是很清楚的.,定义 复平面上的一个区域 B, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连通域, 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域.,1.5 复变函数,1. 复变函数的定义,定义 设 D 是复平面中的一个点集,称为复变函数.,其确定了自变量为x和y的两个二元实变函数 u
12、 ,v .,例如, 考察函数 w = z2.令 z = x+iy, w = u+iv , 则 u+iv = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy , 因而函数 w = z2 对应于两个二元函数: u = x2-y2, v = 2xy,在以后的讨论中, D常常是一个平面区域, 称之为定义域, 并且, 如无特别声明, 所讨论的函数均为单值函数.,2. 映射的概念,函数 w=f (z) 在几何上可以看做是把 z平面上的一个点集D(定义集合)变到 w平面上的一个点集G (函数值集合)的映射(或变换). 如果 D 中的点 z 被映射 w=f (z) 映射成 G中的点 w, 则 w 称为 z 的象(映
13、象), 而 z 称为 w 的原象.,x,u,D,G,Z,z,w,W=f(z),v,y,W,设函数w = z =x iy ; u=x , v=-y,x,y,O,u,v,O,设函数 w = z2 = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy , 有 u = x2-y2, v = 2xy,函数 w=z2 对应于两个二元实变函数: u=x2-y2, v=2xy 把 z 平面上的两族双曲线 x2-y2 = c1 , 2xy = c2 分别映射成w平面上的两族平行直线 u=c1 , v=c2 .,10,如果函数(映射) w=f (z) 与它的反函数(逆映射) z =j (w)都是单值的, 则称函数(映射)
14、 w =f (z)是一一的. 此时, 我们也称集合D与集合G是一一对应的.,举例：曲线在映射下的像,例题1,例题2,例题3,例题4,1.6 复变函数的极限和连续性,1.函数的极限 定义 设函数 w = f (z)定义在 z0的去心邻域 00, 相应地必有一正数d (e) (0 d ), 使得当 0 |z-z0|d 时有| f (z)-A |e ,则称A为f (z)当 z趋向于z0时的极限, 记作,或记作当 zz0 时 , f (z)A.,几何意义:,等价定义：,设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 则,运算性质：,当 z
15、0 时的极限不存在,例1 证明函数,证 令 z = x + i y, 则,由此得,让 z 沿直线 y = k x 趋于零, 我们有,故极限不存在.,2. 函数的连续性 定义,则说 f (z)在 z0 处连续. 如果 f (z) 在区域D内处处连续, 我们说 f (z) 在D内连续.,函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在 z0 = x0 + iy0处连续的充要条件是 u(x, y)和 v(x, y)在 (x0, y0)处连续.,性质：,(1)连续函数的四则运算仍然连续；,(2)连续函数的复合函数仍然连续；,(3)连续函数的模也连续；,(4)有界闭区域D上的连续函数必有界，且其模,在D上取到最大值与最小值;,(5)有界闭区域D上的连续函数必一致连续.,例题1 讨论,的连续性。,例2 讨论,解：,的连续性。,
