1、第二节 分式线性映射,一、分式线性映射的概念,二、几种简单的分式线性映射,三、分式线性映射的性质,四、小结与思考,2,一、分式线性映射的概念,称为分式线性映射.,说明:,否则, 由于,那末整个z平面映射成 w平面上的一点.,小知识,3,分式线性映射的逆映射, 也是分式线性映射.,2) 由,3) 两分式线性映射,仍复合为分式线性映,4,4) 分式线性映射,一个一般形式的分式线性映射是由下列三种,特殊的简单映射复合而成:,5,二、几种简单的分式线性映射,平移映射,(为方便起见, 令w平面与z平面重合),6,二、几种简单的分式线性映射,平移映射,(为方便起见, 令w平面与z平面重合),7,旋转与伸长
2、(或缩短)变换,事实上, 设,那末,因此, 把z先转一个角度,8,关于横轴对称,反演变换,此映射可进一步分解为,欲由点z作出点w, 可考虑如下作图次序:,关键:,9,对称点的定义:,设C为以原点为中心, r为半径的圆周. 在以,满足关系式,那末就称这两点为关于这圆周的对称点.,规定: 无穷远点的对称点是圆心O.,10,.,.,设P在C外, 从P作C的切线PT, 由T作OP的垂,作图:,.,11,故可知:,.,.,.,关于单位圆对称,关于实轴对称,12,三、分式线性映射的性质,1.一一对应性,例如:,结论:分式线性映射在扩充复平面上一一对应.,13,2.保角性,14,综上所述知:,15,综上所述
3、:,定理一 分式线性映射在扩充复平面上是一一对 应的，且具有保角性,16,3. 保圆性,所谓保圆性指在扩充复平面上将圆周映射为 圆周的性质.,特殊地，直线可看作是半径为无穷大的圆周.,1) 映射,特点:,所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.,17,2) 映射,若z平面上圆方程为:,令,有,代入z平面圆方程得其象曲线方程:,即,所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.,18,3) 分式线性映射,定理二 分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射,成扩充w平面上的圆周, 即具有保圆性.,说明: 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无,穷远点, 那末它就映射成半径为有限的圆周;,有一个点映射成无穷远点, 那末它
4、就映射成直线.,如果,19,4. 保对称性,对称点的特性,.,.,.,20,.,.,.,21,结论,充要条件是:,22,即分式线性映射具有保对称性.,定理三,23,证,分式线性映射,证毕,24,小知识,分式线性映射首先由德国数学家默比乌斯(17901868)研究, 所以也称为默比乌斯映射.,对每一个固定的w, 此式关于z是线性的;对每一,个固定的z, 此式关于w也是线性的, 因此称上式,是双线性的. 分式线性映射也称双线性映射. ,默比乌斯,25,四、小结与思考,分式线性映射是一类比较简单而又很重要的 共形映射,应熟悉分式线性映射的分解和复合, 及 其保角性、保圆性和保对称性.,26,思考题,27,思考题答案,放映结束，按Esc退出.,28,默比乌斯资料 ,August Mbius,Born: 17 Nov 1790 in Schulpforta, Saxony (now Germany) Died: 26 Sept 1868 in Leipzig, Germany ,
