1、第一期课题：二次根式的综合运用一、知识解析1、二次根式的主要性质：（1） 、 ；)0(a（2） 、 ；2（3） 、 ；02aa（4） 、积的算术平方根的性质： ； )0,(bab（5） 、商的算术平方根的性质： ；,（6） 、若 ，则 。 0baba例 1、x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) ； (3) 。x231x24x思路点拨： 本题考查二次根式的意义.解：(1) 要使 在实数范围内有意义，则必有 ，xx 03x 23当 时， 在实数范围内有意义； xxx23(2) 要使 在实数范围内有意义，则必有 ，101x 0x且当 且 时， 在实数范围内有意义；1x
2、(3) 要使 在实数范围内有意义，则必有 ，24x024x 且当 时， 在实数范围内有意义. 且 24x小结： 这道题目要求的是二次根式有意义时，未知数的取值范围。假如未知数是在二次根号中，则需要利用算术平方根的非负性进行说明，若刚好未知数存在于分式的分母部分，则需要使分母不等于 0，例如（2） 、 （3）中的情况讨论。例 2、根据下列条件，求字母 x 的取值范围：(1) ； (2) 。x121322xx思路点拨： 二次根式重要性质 的运用。02aa解：(1) ， ，xxx1122 0 。1(2) ， ，3322 2x x小结：解答这两道题目，要求理解二次根式有意义的条件，并且要理解绝对值符号
3、的去除方法。例 3、当 x1 时，求 的值222axx2ax21x提示： 注意：x 2a 2 ，)( x 2a 2x （ x） ，x 2x x（ x ） 22x22a2a解： 原式 )(22)(2a21 )()22xxax )(2222ax )()(22xax )(22 x1当 x1 时，2原式 1 【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便即原式 )(22xax)(2xa21a 11(22 22x x2、二次根式的运算（1）二次根式的乘除运算 运算结果应满足以下两个要求：应为最简二次根式或有理式；分母中不含根号。 注意知道每一步运算的算理； 乘法公式的推广：（要
4、注意括号内的限制条件）（2） 、二次根式的加减运算（注意最简二次根式的理解）先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；（3） 、二次根式的混合运算、对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；、 二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。例 4、计算：(1)、 ； (2)、 (b0) xx3126 abba31276353思路点拨： (1)计算时首先把各个二次根式化为最简二次根式，再用整式的运算法则运算；(2)如果可以约
5、分化简或者乘方化为有理数，那么可以先运算再化简；(3)除法不能直接约分化简的，应将除法转化为乘法；(4)适当可以借用乘法公式化简运算过程。解： (1)原式= xx31246(2) ） ，成 立且 ab31,0 ， 原式 aba3165ab321小结 ：计算过程中，如果二次根式可以化为最简二次根式，那么必须先化简，这样可以让计算根简便；化简二次根式的时候必须注意准确性；二次根式的混合运算要注意运算顺序，运算法则的使用及注意结果要化成最简形式。例 5、已知 a、b、c 为ABC 的三边长，化简。2222 bacbacb思路点拨： 利用三角形任意两边之和大于第三边和 进行化简。解：a、b、c 为AB
6、C 的三边长，原式 bacbacba小结：这道题目涉及到实际运用，那么，解答这道题目，必须先掌握好三角形三边大小关系和如何去掉绝对值符号的方法。三角形两边和大于第三边、两边差小于第三边，这个定理可以确定原式中绝对值号里面数的符号。去掉绝对值符号，还要理解，如果绝对值符号里面的数据为非负数，则绝对值符号可以直接去掉；若绝对值符号里面的数据为负数，则去掉绝对值号后，必须化为相反数。例 6、已知 ，求 的值。01642yx xyxyx51932232思路点拨： 本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-1) 2+(y-3)2=0，即 ，y=3其次，根据1二次根式的加减运算，先把各项化
7、成最简二次根式， 再合并同类二次根式，最后代入求值 解：4x2+y2-4x-6y+10=03,2109641222yxyxxyxy519232原 式xy6当 x= ，y=3 时，原式21 6342621例 7、已知：如图，每个小方格的边长都为 1，则点 C 到线段 AB 所在直线的距离等于多少？解： 连接 AC、BC，AB 的长为 ， 1032设 AB 边上的高为 h，则 ， 。4102 10548h即点 C 到线段 AB 所在直线的距离等于 。1054总结升华： 对于此类问题，要注意勾股定理的应用.注意结合图形发现解决问题的办法，即利用数形结合的思想.二、课堂练习1、若 x，y 为实数，且
8、y ，求 的值。x4112xyxy22、8、已知 是 的小数部分，求 的值。m22m3、化简 得( ) 22314xxA.2 B.-4x-4 C.-2 D.4x-44、计算 0825、有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数 、 ，使 且 ，则将2abmn2amnb将变成 ，即变成 开方，从而使得 化简。例如，ab2mn2()mnab，22 33636 256(3)请仿照上例解下列问题：（1） ； （2）52426、已知 x ，y ，求 的值333234yxyx提示： 先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值【解】 x 52 ，y 52 2)(623)(6 xy10，xy4 ，xy5 2(2 )216 3234y22)(yx)(yx 10645【点评】本题将 x、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“xy” 、 “xy” 、 “xy”从而使求值的过程更简捷
