1、板块一 二次函数与三角形【例 1】 （09 湖北） 一开口向上的抛物线与 x 轴交于 A（ ，0） ，B（m2，0）两点，记抛物线顶点为 ，且 ACBC（1）若 m 为常数，求抛物线的解析式；（2）若 m 为小于 0 的常数，那么（ 1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？（3）设抛物线交 y 轴正半轴于 D 点，问是否存在实数 m，使得 BCD 为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由【巩固】 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠 在两坐标轴上，且点A（0，2） ，点 C（-1，0） ，如图所示，抛物线 经过点 B2yax（1）求
2、点 B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点 P（点 B 除外） ，使 ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 xyOBC(-1,0)A(0,2)P1P2xyOBCA【例 2】 如图所示，抛物线 的顶点为 A，其中 2()yxmm（1）已知直线 ： ，将直线 沿 轴向 （填“左”或“右”）平移 个单位（用含l3lx的代数式）后过点 A； m（2）设直线 平移后与 轴的交点为 B，若动点 Q 在抛物线对称轴上，问在对称轴左侧的抛物线上是否存在点 P，使以 P、Q、 A 为顶点的三角形与 相似，且相似比为 2？若
3、存在，求出OAB的值，并写出所有符合上述条件的 P 点坐标；若不存在，说明理由【巩固】 （ 山东德城）如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 0921yxyC 求 、 、 三点的坐标ABC 过点 作 交抛物线于点 ，求四边形 的面积 C 在 轴上方的抛物线上是否存在一点 ，过 作 轴于点 ， x MGx使以 、 、 三点为顶点的三角形与 相似若存在，请求出 点的坐标；否则，请说明MGPAM理由 xyOPCBAE xyOPCBA【例 3】 已知： 是方程 的两个实数根，且 ，抛物线 的图像经过点 mn、 2650xmn2yxbc、 ,0A,B 求这个抛物线的解析式； 设中抛物线与
4、轴的另一交点为 ，抛物线的顶点为 ，试求出点 、 的坐标和 的CDCDBC面积； 是线段 上的一点，过点 作 轴，与抛物线交于 点，若直线 把 分成面POCPHxHBCPH积之比为 的两部分，请求出 点的坐标2:3 D yxOCBA板块二 二次函数与四边形【例 4】 （2009 山东淄博）如图，在矩形 中， ， ， ， ， 分别从 、 、 、ABCD20cmPQMNBD出发沿 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个ADBC， ， ，端点时，运动即停止已知在相同时间内，若 ， ， ，x2cmAx3cCx2cmNx 当 为何值时，以 为两边，以矩形的边（ 或 ）的一部分为第三
5、边构成一个三角PQMN， DBC形 当 为何值时，以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形； 以 、 、 、 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求 的值；如果不能，请说明理P x由QP NM CDBA【巩固】 （2009 湖北襄樊）如图，在梯形 中， ，点 是 的中点， 是等ABCD2BAD ， AB边三角形 求证：梯形 是等腰梯形；ABCD 动点 、 分别在线段 和 上运动，且 保持不变，设 ，求PQM60PQPCxy，与 的函数关系式；yx 在中，当动点 、 运动到何处时，以点 、 和点 、 、 、 中的两个点为顶点MABD的四边形是平行四边形，并指出符合条件的平行四边形的个数；当
6、取最小值时，判断 的形状，并说明理由PC 60 QPM DCBA【例 5】 （大连）如图，直线 交 轴于点 ，交抛物线 于点 ，点 到 各顶ABx20A， 2yax13， OAB点的距离相等，直线 交 轴于点 当 时，在直线 和抛物线 上是否分别存在CyDxOC2yax点 和点 ，使四边形 为特殊的梯形？若存在，求点 、 的坐标；若不存在，说明理PQOPQQ由 xyDCBAO【巩固】 （2009 门头沟一模）在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 、 两点（点xOy2yxbcxB在点 的左侧） ，与 轴交于点 ，顶点为 ，且点 的坐标为 ，点 的坐标为 AByCDB10， C03， 求抛物线
7、和直线 的解析式；A 、 是线段 上的两点，且 ，过点 作与 轴平行的直线交抛物线于点 ，EFAEFM交 轴于点 ，当 时，在 轴上是否存在点 ，使得以点 、 、 、 为顶点的xNMFDxPAF四边形是梯形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由P yxODCBAHNMFEyxODCBA【例 6】 在平面直角坐标系中，抛物线 经过直线 与坐标轴的两个交点 ，它2yaxc24yBC、与 x 轴的另一个交点为 点 是抛物线对称轴与 轴的交点，点 为线段 上的动点AxMA（1）求抛物线的解析式及点 的坐标；（2）如图，若过动点 的直线 交抛物线对称轴于点 试问抛物线上是否存在点 ，使M/EB
8、CEF得以点 为顶点组成的四边形是平行四边形，若存在，求出点 的坐标；若不存在，,NEF F说明理由；（3）如图，若过动点 的直线 交直线 于 ，连接 当 的面积最大时，求/DADCD点 的坐标？ xyOECNMB AxyOECNMB AxyOECNMB A【巩固】 (2008 年沈阳市)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在 轴的负半轴上，边 BCxC在 轴的正半轴上，且 ， ，矩形 绕点 按顺时针方向旋转 后得到矩形y1AB3A60点 的对应点为点 ，点 的对应点为点 ，点 的对应点为点 ，抛物线EFDEFD过点 2axbcD， ，（1）判断点 是否在 轴上，并说明理由；y（2）求抛
9、物线的函数表达式；（3）在 轴的上方是否存在点 ，点 ，使以点 为顶点的平行四边形的面积是矩形xPQOBPQ， ， ，面积的 2 倍，且点 在抛物线上，若存在，请求出点 ，点 的坐标；若不存在，请说明ABOC理由 FEDOCBA xy MFEDOCBA xy【例 7】 （09 北京昌平一模）在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 两点（点 xy2ybcA、在点 的左侧） ，过点 的直线 交抛物线于点 ABA1k,3C（1）求直线 及抛物线的解析式；C（2）若直线 与抛物线的对称轴交于点 ，以点 为中心将直线 顺时针旋转 1ykxE1ykx90得到直线 ，设直线 与 轴的交点为 ，求 的面积；
10、llyPA（3）若 为抛物线上一点，是否存在 轴上的点 ，使以 为顶点的四边形为平行四GxFBEFG、 、 、边形，若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由F板块三 面积问题【例 8】 （2009 大兴一模）在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，162yxyBC 直接写出 、 两点的坐标；BC 直线 与直线 交于点 ，动点 从点 沿 方向以每秒 个单位的速度运动，yx162yxAPOA1设运动时间为 秒（即 ）过点 作 轴交直线 于点 ，若点 在线段 上运tOPtQx BCQPOA动时（如图） ，过 、 分别作 轴的垂线，垂足分别为 、 ，设矩形 的面积为 ，QNM
11、NS写出 和 之间的函数关系式，并求出 的最大值；若点 经过点 后继续按原方向、原速度St S运动，当运动时间 为何值时,过 、 、 三点的圆与 轴相切. tyxOQPN MCBA【例 9】 （2008 河北）如图，在等腰梯形 中， ， ，点ABCDB 507135ADCABC， ，P从点 出发沿折线段 以每秒 个单位长度的速度向点 匀速运动，点 从点 出发沿B5 Q线段 方向以每秒 个单位长度的速度匀速运动，过点 向上作射线 ，交折线段C3QK于点 ，点 、 同时开始运动，当点 与点 重合时停止运动，点 也随之停止，DAEPQP设点 、 运动的时间是 秒Qt0 当点 到达终点 时，求 的值，
12、并指出此时 的长；PB 当点 运动到 上时， 为何值能使 ?DtDC 设射线 扫过梯形 的面积为 ，分别求出点 运动到 上时， 与 的函数关系KABCSEDA， St式；（不必写出 的取值范围）tPKQEDCBA图1HPKQE DCBAF图2 HPKQEDCBA【巩固】 （09 重庆）如图，已知抛物线 经过点 ，抛物线的顶点为 ， ()23()0yaxa(2)A， 0D过 作射线 过顶点 平行于 轴的直线交射线 于点 ， 在 轴正半轴上，连结OMAD OMCBxBC（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点 从点 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 运动，设点 运动的时间P P为 问当 为何
13、值时，四边形 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？()tstDAOP（3）若 ，动点 和动点 分别从点 和点 同时出发，分别以每秒 1 个长度单位和 2 个QB长度单位的速度沿 和 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们OCB的运动的时间为 ，连接 ，当 为何值时，四边形 的面积最小？并求出最小值及此t()st CPQ时 的长PQ QPMODCBA xyH NE QPMODCBA xy【例 10】 （2008 四川泸州）如图，已知二次函数 的图像经过三点 、 、2yabc10， 3， 03C，它的顶点为 ，又正比例函数 的图像与二次函数相交于两点 、 ，且 是线段 的中My
14、kxDEPDE点 求该二次函数的解析式，并求出函数顶点 的坐标；M 已知点 ，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图像求出符合条件的自23E，变量 的取值范围；x 当 时，求四边形 的面积 的最小值0kPCBS OyxPMEDCBAOyxPMEDCBA【例 11】 （湖北宜昌）如图，点 是坐标原点，点 是 轴上一动点 .以 为一边作矩形O(0)An， x(0)nAO， AOBC点 在第二象限，且 矩形 绕点 逆时针旋转 得矩形 过点 的直线2BABC9GDE交 轴于点 ， 抛物线 过点 、 、 且和直线 交ykxm(0)yF2yabcFF于点 ，过点 作 轴，垂足为点 HMxM 求
15、的值； 点 位置改变时， 的面积和矩形 的面积的AHAO比值是否改变？说明你的理由yxOMHGFEDC BA板块四 二次函数与轴对称【例 12】 （08 福建）如图：抛物线经过 A（-3 ，0） 、B（0，4） 、C（4，0）三点.（1） 求抛物线的解析式.（2）已知 AD = AB（D 在线段 AC 上） ，有一动点 P 从点 A 沿线段 AC 以每秒 1 个单位长度的速度移动；同时另一个动点 Q 以某一速度从点 B 沿线段 BC 移动，经过 t 秒的移动，线段 PQ 被BD 垂直平分，求 t 的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使 MQ+MC 的值最小？若存在，
16、请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由。（注：抛物线 2yaxbc的对称轴为 2bxa） QPODC(4,0)B(0,4)A(-3,0) xy【例 13】 （09 北京西城一模）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 与 x 轴、y 轴64y的交点分 别为 A、B，将 OBA 对折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴于点 C.（1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为 D，在直线 BC 上是否存在点 P，使得四边形 ODAP 为平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对
17、称轴与直线 BC 的交点为 T，Q 为线段 BT 上一点，直接写出的取值范围.QAOyAD xTHCBO11【例 14】 已知抛物线 与 轴交于点 ，与 轴分别交于 、 两点2yaxbcy03A， x10B， 5， 求此抛物线的解析式； 若点 为线段 的一个三等分点，求直线 的解析式；DOADC 若一个动点 自 的中点 出发，先到达 轴上的某点（设为点 ） ，再到达抛物线的对称PME轴上某点（设为点 ） ，最后运动到点 ，求使点 运动的总路径最短的点 ，点 的坐标，并求FPF出这个最短总路径的长xCA33B EFyMOMA课后作业1 （湖北湛江课改卷）已知抛物线 与 轴相交于点 ， ，且 是2
18、yaxbx1(0)Ax， 2()B， 12)x12x，方程 的两个实数根，点 为抛物线与 轴的交点230xCy（1）求 的值；ab，（2）分别求出直线 和 的解析式；AB（3）若动直线 与线段 分别相交于 两点，则在 轴上是否存在点 ，(2)ymAB， DE， xP使得 为等腰直角三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由DEP P O-2-13214321 xy yxy=mB(3,0)A(-1,0) P2P1OEFDC(0,2)Gyxy=mB(3,0)A(-1,0) P2OEDC(0,2)2 如图，抛物线 y x2bx2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A(
19、1，0)（1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；）（2）判断 的形状，证明你的结论；ABC（3）点 是 x 轴上的一个动点，当 MCMD 的值最小时，求 m 的值(0)Mm，11-1BDCAO xy CME11-1 BDCAO xy3 （09 山东）如图，抛物线经过 三点(40)1(02)AB， ， ， ， ，（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过 P 作 轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得以 A，P ，M 为顶x点的三角形与 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；OC（3）在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D，使得 的面积最大，求出点
20、D 的坐标CA C-2 41yxABOEMDPC-2 41yxABO4 （09 重庆）如图，抛物线 cbxy2与 x 轴交与 A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交 y 轴与 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P，使PBC 的面积最大？，若存在，求出点 P 的坐标及 PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由 . CyxAB OQCyxAB OEP CyxAB O5 （ 江西）抛物线 与 轴相交于 、 两点（点
21、在 的左侧） ，与 轴相交于点 ，0923yxx yC顶点为 .D 直接写出 、 、 三点的坐标和抛物线的对称轴；ABC 连 接 ， 与 抛 物 线 的 对 称 轴 交 于 点 ， 点 为 线 段 上 的 一 个 动 点 ， 过 点 作 交 抛 物EPBCPFDE线 于 点 ， 设 点 的 横 坐 标 为 ；FP 用含 的代数式表示线段 的长，并求出当 为何值时，四边形 为平行四边形？mFmE 设 的面积为 ，求 与 的函数关系式S6 （ 深圳）如图，在直角坐标系中，点 的坐标为 ，连结 ，将线段 绕原点 顺时针旋09A20， OAO转 ，得到线段 120OB 求点 的坐标； 求经过 、 、
22、三点的抛物线的解析式；A 在中抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 的周长最小？若存在，求出点 的坐标；若CBOC不存在，请说明理由 如果点 是中的抛物线上的动点，且在 轴的下方，那么 是否有最大面积？若有，求PxPAB出此时 点的坐标及 的最大面积；若没有，请说明理由B CBOA xy BOA xy PD BOA xy7 （南京）如图， 、 分别是边长为 的正方形 的边 上的点， ,直线EF4ABCD， 413CEF，交 的延长线于 ，过线段 上的一个动点 作 ， ，垂足分别为 ，EFABGHMG NAD MN，设 ，矩形 的面积为HMxHNy 求 与 之间的函数关系式；y 当 为何值时，矩形
23、的面积最大，最大面积为多少？AM NMHGFED CBA8 （2009 浙江温州）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ，动点 以每30A， 32B， 0C， D秒 个单位的速度从点 出发沿 向终点 运动，同时动点 以每秒 个单位的速度从点 出发沿1OCEA向终点 运动，过点 作 交 于点 ，连结 、 ，设运动时间为 秒ABEFAB FOFt 求 的度数；C 当 为何值时， ;tD 设四边形 的面积为 ，AS求 关于 的函数关系式；St若一抛物线 经过动点 ，当 时，求 的取值范围2yxmE23Sm yxDFEOC BA9 （湖北黄冈）如图，在平面直角坐标系中，四边形 为矩形，点 的坐标分别为OABCAB，动点 分别从点 同时出发，以每秒 个单位的速度运动，其中点 沿403， ， ， MN， ， 1M向终点 运动，点 沿 向终点 运动，过点 作 ，交 于点 ，连结 ，当两OABCNPCP动点运动了 秒时t 点的坐标为（ ， ） （用含 的代数式表示） P t 记 的面积为 ，求 与 的函数关系式 St(04) 当 秒时， 有最大值，最大值是 t 若点 在 轴上，当 有最大值且 为等腰三角形时，求直线 的解析式QyQANAQyxOPNMC BA图1QPyxONMC BA
