1、8.2 决策问题,人们在处理问题时，常常会面临几种可能出现的自然情况，同时又存在着几种可供选择的行动方案。此时，需要决策者根据已知信息作决策，即选择出最佳的行动方案，这样的问题称为决策问题。面临的几种自然情况叫做自然状态或简称状态。状态是客观存在的，是不可控因素。可供选择的行动方案叫做策略，这是可控因素，选择哪一方案由决策者决定。,例8.8 在开采石油时，会遇到是否在某处钻井的问题。尽管勘探队已作了大量调研分析，但由于地下结构极为复杂，仍无法准确预测开采的结果，决策者可以决定钻井，也可以决定不钻井。设根据经验和勘探资料，决策者已掌握一定的信息并列出表8.7。,表8.7,问：决策者应如何作出决策
2、？,解：由题意可以看出，决策问题应包含三方面信息：状态集合 Q= 1, n、策略集合A = 1, m及收益R = aij，其中aij表示如果决策者选取策略i而出现的状态为j，则决策者的收益值为aij（当aij为负值时表示损失值）。,决策问题按自然状态的不同情况，常被分为三种类型：确定型、风险型（或随机型）和不确定型。,确定型决策是只存在一种可能自然状态的决策问题。这种决策问题的结构较为简单，决策者只需比较各种方案，确定哪一方案最优即可。值得一提的是策略集也可以是无限集，例如，线性规划就可行看成一个策略集是限集的确定型决策，问题要求决策者从可行解集合（策略集）中挑选出最优解。确定型决策的求解并非
3、全是简单的，但由于这些问题一般均有其自己的专门算法，本节不准备再作介绍。在本节中，我们主要讨论风险型与不确定型决策，并介绍它们的求解方法。,一、风险型决策问题,在风险型决策问题中存在着两种以上可能出现的自然状态。决策者不知道究竟会出现哪一种状态，但知道各种状态出现的概率有多大。例如，例8.8就是一个风险型决策问题。,对于风险型决策问题，最常用的决策方法是期望值法，即根据各方案的期望收益或期望损失来评估各方案的优劣并据此作出决策。如对例1，分别求出方案 1（钻井）和 2（不钻井）的期望收益值：,E（ 1）=0.2（30）+0.520 + 0.340 = 16（万元）,E（ 2）=0,由于E（ 1
4、）E（ 2），选取 1作为最佳策略。,风险型决策也可采用期望后悔值法求解。首先，求出采取方案 i而出现状态 j时的后悔值 。,例如，如果不钻井，但事实上该处可开出一口高产井，则后悔值为40。因为钻井可收益40万元，但决策者作了不钻井的决策，未获得本来可以获得的40万元收益。然后，比较各方案的期望后悔值，选取期望后悔最小的方案作为最佳策略。在例8.8中，如采用期望后悔值法，则E（ 1）=6，E（ 2）=22，取 1为最佳策略。,在选取策略 i而出现状态 j时后悔值为 的理由是在出现状态 j情况下的最大可能收益为 。,定理8.6 最大期望收益法与最小期望后悔值法等价，即两者选出的最佳策略相同。,证
5、明：由 得,故,等式（8.4）的右端项为一常数，其左端项为采取策略 i时期后悔值与期望收益值之和，从而，若某策略使期望收益最大，则该策略必使期望后悔值最小，定理得证。,对于较为复杂的决策问题，尤其是需要作多阶段决策的问题，常采用较直观的决策树方法，但从本质上讲，决策树方法仍然是一种期望值法。,例8.9 某工程按正常速度施工时，若无坏天气影响可确保在30天内按期完工。但根据天气预报，15天后天气肯定变坏。有40%的可能会出现阴雨天气而不影响工期，在50%的可能会遇到小风暴而使工期推迟15天，另有10%的可能会遇到大风暴而使工期推迟20天。对于可能出现的情况，考虑两种方案：,（1）提前紧急加班，在
6、15天内完成工程，实施此方案需增加开支18000元。,（2）先按正常速度施工，15天后根据实际出现的天气状况再作决策。,如遇到阴雨天气，则维持正常速度，不必支付额外费用。,如遇到小风暴，有两个备选方案：（i）维持正常速度施工，支付工程延期损失费20000元。（ii）采取应急措施。实施此应急措施有三种可能结果：有50%可能减少误工期1天，支付应急费用和延期损失费共24000元；有30%可能减少误工期2天，支付应急费用和延期损失费共18000元；有20%可能减少误工期3天，支付应急费用和延期损失费共12000元。,如遇大风暴，也有两个方案可供选择：（i）维持正常速度施工，支付工程延期损失费5000
7、0元。（ii）采取应急措施。实施此应急措施也有三种可能结果：有70%可能减少误工期2天，支付应急费及误工费共54000元；有20%可能减少误工期3天，支付应急费及误工费共46000元；有10%可能减少误工期4天，支付应急费和误工费共38000元。,根据上述情况，试作出最佳决策使支付的额外费用最少。,解：由于未来的天气状态未知，但各种天气状况出现的概率已知，本例是一个风险型决策问题，所谓的额外费用应理解为期望值。,本例要求作多次决策，工程初期应决定是按正常速度施工还是提前紧急加班。如按正常速度施工，则15天后还需根据天气状况再作一次决策，以决定是否采取应急措施，故本例为多阶段（两阶段）决策问题。
8、为便于分析和决策，采用决策树方法。,根据题意，作决策树如图8.6,图8.6中，表示决策点，从它分出的分枝称为方案分枝，分枝的数目就是方案的个数。表示机会节点，从它分出的分枝称为概率分枝，一条概率分枝对应一条自然状态并标有相应的发生概率。称为未梢节点，右边的数字表示相应的收益值或损失值。,在决策树上由右向左计算各机会节点处的期望值，并将结果标在节点旁。遇到决策点则比较各方案分枝的效益期望值以决定方案的优劣，并且用双线划去淘汰掉的方案分枝，在决策点旁标上最佳方案的效益期望值，计算步骤如下：,（1）在机会节点E、F处计算它们的效益期望值,E(E) = 0.5（24000）0.3（18000）0.2（
9、12000）=19800 E(F) = 0.7（54000）0.2（46000）0.1（38000）=50800,（2）在第一级决策点C、D处进行比较，在C点处划去正常速度分枝，在D处划去应急分枝。,（3）计算第二级机会节点B处的效益期望值,E(B) = 0.400.5（19800）0.1（50000）=14900,并将14900标在B点旁。,（4）在第二级决策点A处进行方案比较，划去提前紧急加班，将14900标在A点旁。,结论 最佳决策为前15天按正常速度施工，15天后按实际出现的天气状况再作决定。如出现阴雨天气，仍维持正常速度施工；如出现小风暴，则采取应急措施；如出现大风暴，也按正常速度施
10、工，整个方案总损失的期望值为14900元。,根据期望值大小决策是随机型决策问题最常用的办法之一。实际应用时应根据具体情况作出分析，选取期望收益最大或期望损失最小的方案。,例8.12 某烧鸡店每卖出一只烧鸡可赚5元，如出现过剩将于下午5点另作处理，每剩一只将损失2.5元。该店根据平时销售情况列出下表，试根据表8.9中提供的信息确定制作烧鸡的最佳数量并求该店销售烧鸡的最佳平均利润。,表8.9,解：根据题意，单位过剩损失k0=2.5，单位不足损失ku = 5， 。,因为 ，但 。故烧鸡的最佳制作量为28只。,8.3 层次分析法建模,层次分析法是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别
11、适用于那些难于完全定量分析的问题。社会的发展导致了社会结构、经济体系及人们之间相互关系的日益复杂，人们希望能在错综复杂的情况下，利用各种信息，通过理智的、科学的分析，作出最佳决策。例如，生产者面对消费者的各种喜好或竞争对手的策略要作出最佳决策；消费者面对琳琅满目的商品要根据它们的性能质量的好坏、价格的高低、外形的美观程度等选择自己最为满意的商品；毕业生要根据自己的专业特长、社会的需求情况、福利待遇的好坏等挑选最为合意的工作；科研单位要根据项目的科学意义和实用价值的大小、项目的可行性、项目的资助情况及周期长短等选择最合适的研究课题。当我们面对这类决策问题时，容易发现，影响我们作决策的因素很多，其
12、中某些因素存在定量指标，可以给以度量，但也有些因素不存在定量指标，只能定性地比较它们的强弱。在处理这类比较复杂而又比较模糊的问题时，如何尽可能克服因主观臆断而造成的片面性，较系统、全面地比较分析并作出较为明智的决策呢？,Saaty.T.L等人在70年代提出了一种以定性与定量相结合，系统化、层次化分析问题的方法，称为层次分析法（Analytic Hiearchy Process，简称AHP）。层次分析法将人们的思维过程层次化，逐层比较其间的相关因素并逐层检验比较结果是否合理，从而为分析决策提供了较具说服力的定量依据，层次分析法的提出不仅为处理这类问题提供了一种实用的决策方法，而且也提供了一个在处
13、理机理比较模糊的问题时，如何通过科学分析，在系统全面分析机理及因果关系的基础上建立数学模型的范例。,一、层次分析的基本步骤,层次分析过程可分为四个基本步骤：（1）建立层次结构模型；（2）构造出各层次中的所有判断矩阵；（3）层次单排序及一致性检验；（4）层次总排序及一致性检验。,下面通过一个简单的实例来说明各步骤中所做的工作。,例8.13 某工厂有一笔企业留成利润要由厂领导决定如何使用。可供选择的方案有：给职工发奖金、扩建企业的福利设施（改善企业环境、改善食堂等）和引进新技术新设备。工厂领导希望知道按怎样的比例来使用这笔资金较为合理。,步1 建立层次结构模型,在用层次分析法研究问题时，首先要根据
14、问题的因果关系并将这些关系分解成若干个层次。较简单的问题通常可分解为目标层（最高层）、准则层（中间层）和方案措施层（最低层）。与其他决策问题一样，研究分析者不一定是决策者，不应自作主张地作出决策。对于本例，如果分析者自行决定分配比例，厂领导必定会询问为什么要按此比例分配，符合决策者要求的决策来自于对决策者意图的真实了解。经过双方沟通，分析者了解到如下信息：决策者的目的是合理利用企业的留成利润，而利润的利用是否合理，决策者的主要标准为：（1）是否有利于调动企业职工的积极性，（2）是否有利于提高企业的生产能力，（3）是否有利于改善职工的工作、生活环境。分析者可以提出自己的看法，但标准的最终确定将由
15、决策者决定。,根据决策者的意图，可以建立起本问题的层次结构模型如图8.7所示。,图中的连线反映了因素间存在的关联关系，哪些因素存在关联关系也应由决策者决定。,对于因果关系较为复杂的问题也可以引进更多的层次。例如，在选购电冰箱时，如以质量、外观、价格、品牌及信誉等为准则，也许在衡量质量优劣时又可分出若干个不同的子准则，如制冷性能、结霜情况、耗电量大小等等。,建立层次结构模型是进行层次分析的基础，它将思维过程结构化、层次化，为进一步分析研究创造了条件。,步2 构造判断矩阵,层次结构反映了因素之间的关系，例如图10.7中目标层利润利用是否合理可由准则层中的各准则反映出来。但准则层中的各准则在目标衡量
16、中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。,在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。虽然你必须让决策者根据经验提供这些数据，但假如你提出“调动职工积极性在判断利润利用是否合理中占百分之几的比例”之类的问题，不仅会让人感到难以精确回答，而且还会使人感到你书生气十足，不能胜任这一工作。此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。为看清这一点，可作如下设想：将一块重为1千克的石块砸成n
17、小块，你可以精确称出它们的质量，设为w1, wn。现在，请人估计这n小块的重量占总重量的比例（不能让他知道各小石块的重量），此人不仅很难给出精确的比值，而且完全可能因顾此失彼而提供彼此矛盾的数据。,设现在要比较n个因子X = x1,xn对某因素Z的影响大小，怎样比较才能提供可信的数据呢？Saaty等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。即每次取两个因子xi和xj，以aij表示xi和xj对Z的影响大小之比，全部比较结果用矩阵A=(aij)nn表示，称A为ZX之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。容易看出，若xi和xj对Z的影响之比为aij，则xj和xi对Z的影响之比应为 。,
18、定义 8.4 若矩阵A=(aij)nn满足,（i）aij 0，,（ii） （i, j = 1,2,n），则称之为正互反矩阵（易见aii =1, i = 1, , n）。,关于如何确定aij的值，Saaty等建议引用数字19及其倒数作为标度。他们认为，人们在成对比较差别时，用5种判断级较为合适。即使用相等、较强、强、很强、绝对地强表示差别程度，aij相应地取1,3,5,7和9。在成对事物的差别介于两者之间难以定夺时，aij可分别取值2、4、6、8。,从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增加了作判断的难度，又容易因此而提供虚假数据。Saaty等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们
19、判断结果的正确性，实验结果也表明，采用19标度最为合适。,如果在构造成对比较判断矩阵时，确实感到仅用19及其倒数还不够理想时，可以根据情况再采用因子分解聚类的方法，先比较类，再比较每一类中的元素。,步3 层次单排序及一致性检验,上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其他因素的干扰影响，较客观地反映出一对因子影响力的差别。但综合全部比较结果时，其中难免包含一定程度的非一致性。如果比较结果是前后完全一致的，则矩阵A的元素还应当满足：,i、j、k = 1,2,n,定义8.5 满足（8.5）关系式的正互反矩阵称为一致矩阵。,如前所述，如果判断者前后完全一致，则构造出的成对比较判断矩阵应当是一个一致矩阵
20、。但构造成对比较判断矩阵A共计要作次比较（设有n个因素要两两比较），保证A是正互反矩阵是较容易办到的，但要求所有比较结果严格满足一致性，在n较大时几乎可以说是无法办到的，其中多少带有一定程度的非一致性。更何况比较时采用了19标度，已经接受了一定程度的误差，就不应再要求最终判断矩阵的严格一致性。如何检验构造出来的（正互反）判断矩阵A是否严重地非一致，以便确定是否接受A，并用它作为进一步分析研究的工具？Saaty等人在研究正互反矩阵和一致矩阵性质的基础上，找到了解决这一困难的办法，给出了确定矩阵A中的非一致性是否可以允忍的检验方法。,定理8.7 正互反矩阵A的最大特征根max必为正实数，其对应特征
21、向量的所有分量均为正实数。A的其余特征根的模均严格小于max。（证明从略）,现在来考察一致矩阵A的性质，回复到将单位重量的大石块剖分成重量为1, n的n块小石块的例子，如果判断者的判断结果完全一致，则构造出来的一致矩阵为,容易看出，一致矩阵A具有以下性质：,定理8.8 若A为一致矩阵，则,（1）A必为正互反矩阵。,（2）A的转置矩阵AT也是一致矩阵。,（3）A的任意两行成比例，比例因子（即wi /wj）大于零，从而rank（A）=1（同样，A的任意两列也成比例）。,（4）A的最大特征根max=n，其中n为矩阵A的阶。A的其余特征根均为零。,（5）若A的最大特征根max对应的特征向量为W=（w1
22、, wn）I，则aij=wi /wj， i,j = 1,2,n。,（注：（1）、（2）可由一致矩阵定义得出，（3）（5）均容易由线性代数知识得到，证明从略）。,定理8.9 n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特征根max=n，且当正互反矩阵A非一致时，必有maxn。,证明：设正互反矩阵A的最大特征根为max，对应的特征向量为W=（w1, wn）T。,由定理，max0且wi 0，i=1，n。又由特征根和特征向量的性质知，AW=max W,（8.7）式两边同除wi且关于i从1到n相加，得到,即,（8.8）式的括号内共有 项。,（8.8）,现证明必要性，由一致矩阵性质（5），有 ， 故由（8.8
23、）式，得max=n。,再证明充分性。由于,(8.9),当且仅当 =1（即 ）时（8.9）式中的等号成立，故由（8.8）式max=n。因而当max=n时必有 =1，于是aijajk=aik i,j,k = 1,2,n成立，A为一致矩阵。,当A非一致矩阵时，（8.9）式中的等号不能对一切i，j成立，从而必有maxn。,根据定理8.9，我们可以由max是否等于n来检验判断矩阵A是否为一致矩阵。由于特征根连续地依赖于aij，故max比n大得越多，A的非一致性程度也就越为严重，max对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出X=x1,xn在对因素Z的影响中所占的比重。因此，对决策者提供的判断矩阵有必要作
24、一次一致性检验，以决定是否能接受它。,为确定多大程度的非一致性是可以允忍的，Saaty等人采用了如下办法：,（1）求出 ，称CI为A的一致性指标。,容易看出，当且仅当A为一致矩阵时，CI = 0。CI的值越大，A的非一致性越严重。利用线性代数知识可以证明，A的n个特征根之和等于其对角线元素之和（即n）故CI事实上是A的除max以外其余n1个特征根的平均值的绝对值。若A是一致矩阵，其余n1个特征根均为零，故CI=0；否则，CI0，其值随A非一致性程度的加重而连续地增大。当CI略大于零时（对应地，max稍大于n），A具有较为满意的一致性；否则，A的一致性就较差。,（2）上面定义的CI值虽然能反映出
25、非一致性的严重程度，但仍未能指明该非一致性是否应当被认为是可以允许的。事实上，我们还需要一个度量标准。为此，Saaty等人又研究了他们认为最不一致的矩阵用从19及其倒数中随机抽取的数字构造的正互反矩阵，取充分大的子样，求得最大特征根的平均值 ， 并定义,称RI为平均随机一致性指标。,对n =1,11,，Saaty给出了RI的值，如表8.10所示。,表8.10,（3）将CI与RI作比较，定义,称CR随机一致性比率。经大量实例比较，Saaty认为，在CR0.10时可以认为判断矩阵具有较为满意的一致性，否则就应当重新调整判断矩阵，直至具有满意的一致性为止。综上所述，在步3中应先求出A的最大特征根ma
26、x及max对应的特征向量W=（w1, wn）T，进行标准化，使得 。再对A作一致性检验：计算 ，查表得到对应于n的RI值，求 ，若CR0.1，则一致性较为满意，以 i作为因子xi在上层因子Z中所具有的权值。否则必需重新作比较，修正A中的元素。只有在一致性较为满意时，W的分量才可用作层次单排序的权重。,现对本节例8.13（即合理利用利润问题的例子）进行层次单排序。,为求出C1、C2、C3在目标层A中所占的权值，构造OC层的成对比较矩阵，设构造出的成对比较判断知阵,A=,于是经计算，A的最大特征根max=3.038，CI=0.019，查表得RI = 0.58，故CR = 0.033。因CR0.1，
27、接受矩阵A，求出A对应于max的标准化特征向量W= ( 0.105, 0.637， 0.258)T，以W的分量作为C1、C2、C3在目标O中所占的权重。,类似求措施层中的P1、P2在C1中的权值，P2、P3在 C2中的权值及P1、P2在C1中的权值：,max=2，CI = CR = 0 W = (0.75, 0.25)T,max=2，CI = CR = 0 W = (0.167, 0.833)T,max=2，CI = CR = 0 W = (0.66, 0.333)T,经层次单排序，得到图8.8。,设上一层次（A层）包含A1,Am共m个因素，它们的层次总排序权值分别为a1,am。又设其后的下一
28、层次（B层）包含n个因素B1,Bn，它们关于Aj的层次单排序权值分别为b1j,bnj（当Bi与Aj无关联系时，bij = 0）。现求B层中各因素关于总目标的权值，即求B层各因素的层次总排序权值b1,bn，计算按表8.11所示方式进行,即 ，i =1,n。,表8.11,步4 层次总排序及一致性检验,最后，在步骤（4）中将由最高层到最低层，逐层计算各层次中的诸因素关于总目标（最高层）的相对重要性权值。,例如，对于前面考察的工厂合理利用留成利润的例子，措施层层次单排序权值的计算如表8.12所示。,对层次总排序也需作一致性检验，检验仍象层次总排序那样由高层到低层逐层进行。这是因为虽然各层次均已经过层次
29、单排序的一致性检验，各成对比较判断矩阵都已具有较为满意的一致性。但当综合考察时，各层次的非一致性仍有可能积累起来，引起最终分析结果较严重的非一致性。,设B层中与Aj相关的因素的成对比较判断矩阵在单排序中经一致性检验，求得单排序一致性指标为CI(j)，(j =1,m)，相应的平均随机一致性指标为RI(j) (CI(j)、RI(j)已在层次单排序时求得)，则B层总排序随机一致性比率为,CR =,当CR0.10 时， 认为层次总排序结果具有较满意的一致性并接受该分析结果。,对于表8.11中的P层总排序，由于CP层间的三个判断矩阵的一致性指标（即CI(j)，j=1，2，3）均为0，故P层总排序的随机一
30、致性比率CR=0，接受层次分析结果，将留成利润的25.1%用于发奖金，21.8%用于扩建福利事业，余下的53.1%用于引进新技术新设备。,二、最大特征根及对应特征向量的近似计算法,众所周知，求矩阵A的特征根与特征向量在n较大时是非常麻烦的，需要求解高次代数方程及高阶线性方程组。由于判断矩阵中aij的给出方法是比较粗糙的，它只是决策者主观看法在一定精度内的定量化反映，也就是说，建模本身存在着较大的模型误差。因而，在计算特征根和特征向量时，没有必要化费太多的时间和精力去求A的特征根与特征向量的精确值。事实上，在应用层次分析法决策时，这些量的计算通常采用较为简便的近似方法。,1、方根法,在应用小型计
31、算器求判断矩阵A的最大特征根与对应特征向量时可采用方根法。其计算步骤如下：,（1）求判断矩阵每行元素的乘积,，i =1,2,n,（2）求Mi的n次方根,（3）对 进行标准化，求特征向量各分量的近似值 。,（4）求A的最大特征根的近似值,从（8.6）式中不难看出，当A为一致矩阵时，由A中各行乘积的n次方根组成的向量与A的特征向量成比例。因而当A的非一致性不太严重时，方根法求得的Wi（i = 1,n）可近似用于层次单排序的权值。,对前面例子中的OC判断阵，有,求 ，得,2、幂法,计算步骤：,（步1）任取一标准化向量W(0)，指定一精度要求0，k=0。,（步2）迭代计算 ，k = 0,1,。,若 ，
32、i = 1,n，则取W= 为A的对应于max的特征向量的近似，否则转步2。,（步3） 将 标准化，即求 其中 为 的第i个分量。,（步4）求max的近似值,对前面例子中的OC判断矩阵，若取 ， =0.001，利用幂法求近似特征向量如下：,（第一次迭代）(0) = (0.511,3,1.444)T， = 4.955，求得W(1) = (0.103,0.605,2.91)T,（第二次迭代）(2) = (0.321,1.993,0.802)T， = 3.116，求得W(2) = (0.103,0.639,0.257)T,（第三次迭代）(3) = (0.316,1.925,0.779)T， = 3.0
33、2，求得W(3) = (0.105,0.637,0.258)T,（第四次迭代）(4) = (0.318,1.936,0.785)T， = 3.04，求得W(4) = (0.105,0.637,0.258)T,因 ，取W = W(4)。进而，可求得 。,3、和积法,（步1）将判断矩阵A的每一列标准化，即令, i, j =1, ,n,令 。,（步2）将 中元素按行相加得到向量 ，其分量 ，i = 1, , n。,（步4）求最大特征根近似值 。,仍以前面例子中的OC判断矩阵为例：,，,以上近似方法计算都很简单，计算结果与实际值相差很小，且A的非一致性越弱相差越小，而当A为一致矩阵时两者完全相同。,三
34、、层次分析法应用举例,在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个：（1）如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构；（2）如何将某些定性的量作比较接近实际的定量化处理。层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力的依据。但层次分析法也有其局限性，主要表现在：（1）它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性（即矛盾性），却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性。（2）比较、判断过程较为粗糙，不能用于精度要求较高的决策问题。AHP至多只能算是一种半定量（或定性与定量结合）的方法，如何用更
35、科学、更精确的方法来研究问题并作出决策，还有待于进一步的探讨研究。 在应用层次分析法时，建立层次结构模型是十分关键的一步。现再分析若干实例，以便说明如何从实际问题中抽象出相应的层次结构。,例8.14 招聘工作人员,某单位拟从应试者中挑选外销工作人员若干名，根据工作需要，单位领导认为招聘来的人员应具备某些必要的素质，由此建立层次结构如图8.9所示。,该单位领导认为，作为外销工作人员，知识面与外观形象同样重要，而在能力方面则应有稍强一些的要求。根据以上看法，建立AB层成对比较判断矩阵,求得max =3，CR = 0。,类似建立BC层之间的三个成对比较矩阵:,注：权系数是根据后面的计算添加上去的,W
36、 = ( , , )T,经层次总排序，可求得C层中各因子Ci在总目标中的权重分别为：0.047,0.184,0.019，0.167,0.167,0.167,0.184,0.042,0.024,招聘工作可如下进行，根据应试者的履历、笔试与面试情况，对他们的九项指标作19级评分。设其得分为X= (x1,x9)T，用公式,y = 0.047x1 + 0.184x2 +0.019x3 +0.167 (x4 + x5 + x6 ) + 0.184x7 + 0.042x8 + 0.024x9,计算总得分，以y作为应试者的综合指标，按高到低顺序录用。,例8.15 （挑选合适的工作）经双方恳谈，已有三个单位表
37、示愿意录用某毕业生。该生根据已有信息建立了一个层次结构模型，如图8.10所示。,该生经冷静思考、反复比较，建立了各层次的成对比较矩阵：,由于比较因素较多，此成对比较矩阵甚至不是正互反矩阵。,（方案层）,(层次总排序)如表8.13所示。,表8.13,根据层次总排序权值，该生最满意的工作为工作1。（由于篇幅限止，本例省略了一致性检验）,例8.16 作品评比。,电影或文学作品评奖时，根据有关部门规定，评判标准有教育性、艺术性和娱乐性，设其间建立的成对比较矩阵为,由此可求得,W = (0.158,0.187,0.656)T,，CR = 0.048 ( 0.1),本例的层次结构模型如图8.11所示,在具
38、体评比时，可请专家对作品的教育性、艺术性和娱乐性分别打分。根据作品的得分数X = (x1, x2, x3)T，利用公式,y = 0.158x1 + 0.187x2 +0.656x3,计算出作品的总得分，据此排出的获奖顺序。,读者不难看出，A矩阵的建立对评比结果的影响极大。事实上，整个评比过程是在组织者事先划定的框架下进行的，评比结果是按组织者的满意程度来排序的。这也说明，为了使评比结果较为理想，A矩阵的建立应尽可能合理。,例8.17 教师工作情况考评。,某高校为了做好教师工作的综合评估，使晋级、奖励等尽可能科学合理，构造了图8.12所示的层次结构模型。,图8.12,在C层中共列出了十项指标，有
39、些可用数量表示，有些只能定性表示（如教学效果只能分为若干等级）。即使对于可以定量表示的指标，由于各指标具有不同的量纲，例如一篇论文并不等同于一个获奖项目，互相之间不能直接进行比较。为此，在层次单排序与总排序时应先统一化成无量纲量。如可将每一指标分为若干等级并对每一等级规定一个合适的得分数。然后再根据各因子的重要程度利用成对比较及层次排序来确定各因子的权。,在评估某教师时，只要根据该教师的各项指标，利用由层次分析得到的评估公式计算其最终得分即可。,上述诸例有一个共同的特征，模型涉及的因素间存在着较为明确的因果关系，这些因果关系又可以分成若干个层次。同一层次中的各因素间相互影响很小基本上可略去不计，上层因素对下层的某些因素存在着逐层传递的支配关系，但不考虑相反的逆关系。,更复杂的层次结构可以考虑同一层次内各因素间的相互影响，也可以考虑下层因素对上层因素的反馈作用，因研究这类层次结构需要用到更多的数学知识，本处不准备再作进一步的介绍，有兴趣的读者可以查阅有关的书籍和文献。,
